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高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.2 平面与平面垂直评课ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.2 平面与平面垂直评课ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了学习目标，情境与问题，二面角，讲授新课，典例精析，总结归纳，平面与平面垂直，这可以用符号表示为，连接BC，在Rt△BAC中有等内容，欢迎下载使用。
11.4空间中的垂直关系
11.4.2平面与平面垂直
1.理解平面与平面垂直的定义.2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面垂直的有关判定方法及性质.3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的垂直性问题.4.理解二面角的定义并能求解二面角大小.
如图 11-4-13 所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉，你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢?
一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. 如图 11-4-14所示，以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α-AB-β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可记作 C-AB-D，那么如何来刻画二面角的大小呢?
如图 11-4-15所示，在二面角a-l- β的棱上任取一点O，以O为垂足,分别在半平面a和β内作垂直于校的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
如图11-4-16所示，在正方体ABCD-A'BC'D'中，求二面角 D'-AB-D的大小.
连接 D'A 和C'B.由已知有 AB⊥平面 ADD'A',所以 AD‘⊥AB， AD⊥AB，因此∠D'AD 即为二面角D'-AB-D 的平面角.由于△D'AD 是等腰直角三角形，因此∠D'AD=45°，所以二面角D‘-AB-D 的大小是 45°.
一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于 90°的角的大小.因此，如图11-4-16中，平面ABC ' D'与平面ABCD 所成角的大小为1 ,平面ADD'A'与平面ABCD 所成角的大小为2 .
不难看到，利用二面角来判断两个平面是否互相垂直有时候是不方便的，那么有没有其他的判断面面垂直的办法呢?
如图 11-4-18所示，建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平面垂直，通常会用铅锤等先构造出一条与水平面垂直的线，然后紧贴线来砌墙.(1)你知道为什么此时墙面就一定会与水平面垂直吗?(2)从数学的角度，这一现象能概括出什么结论?试分别用自然语言与符号语言描述，
一般地，我们可以归纳出如下平面与平面垂直的判定定理(简称为面面垂直的判定定理).
如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
这就是说，如果 这给出了面面垂直的一个充分条件.
由面面垂直的判定定理，容易证明直棱柱的每个侧面都与底面互相垂直，理由是直棱柱的侧棱垂直于底面.
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
如果α⊥β，a∩β=m， ，AO⊥m，则 AO⊥β.这给出了面面垂直的一个必要条件.
因为α⊥β ，所以∠AOB=90°，因此 AO ⊥OB.
又因为 AO⊥m，m∩OB=O， ，所以 AO⊥β. 值得注意的是，面面垂直的判定定理与性质定理是有区别的，前者是由线面垂直得到面面垂直，后者是由面面垂直得到线面垂直.
因为αβ，a∩β=AB， BD⊥AB，所以BD⊥a.又因为 所以BD⊥BC，因此△CBD是直角三角形.
进而在Rt△CBD中，有
如图11-4-22(1)所示，已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高.如图11-4-22(2)所示，以AD为折痕将△ABC 折起，使∠BDC为直角.在图11-4-22(2)中，求证:
(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC;(2)∠BAC=60°.
(1)由已知有AD ⊥ BD，AD ⊥ DC，因此在图 11-4-22(2)中， 有AD ⊥平面 BDC.
又因为 ，所以平面 ABD ⊥平面 BDC.同理，平面ACD ⊥平面 BDC.
因此图 11-4-22(2)中BDC是等腰直角三角形，所以
从而AB=AC=BC，所以∠BAC=60°.
5.求证:若3条直线OX，OY，OZ两两互相垂直，则3个平面XOY，YOZ,ZOX也两两互相垂直.
1.一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角，对吗?为什么?
2.如图，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要将曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和面密合就可以了.为什么?如果不转动可以检查是否垂直吗?
11.4空间中的垂直关系
11.4.2平面与平面垂直
1.理解平面与平面垂直的定义.2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面垂直的有关判定方法及性质.3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的垂直性问题.4.理解二面角的定义并能求解二面角大小.
如图 11-4-13 所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉，你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢?
一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. 如图 11-4-14所示，以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α-AB-β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可记作 C-AB-D，那么如何来刻画二面角的大小呢?
如图 11-4-15所示，在二面角a-l- β的棱上任取一点O，以O为垂足,分别在半平面a和β内作垂直于校的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
如图11-4-16所示，在正方体ABCD-A'BC'D'中，求二面角 D'-AB-D的大小.
连接 D'A 和C'B.由已知有 AB⊥平面 ADD'A',所以 AD‘⊥AB， AD⊥AB，因此∠D'AD 即为二面角D'-AB-D 的平面角.由于△D'AD 是等腰直角三角形，因此∠D'AD=45°，所以二面角D‘-AB-D 的大小是 45°.
一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于 90°的角的大小.因此，如图11-4-16中，平面ABC ' D'与平面ABCD 所成角的大小为1 ,平面ADD'A'与平面ABCD 所成角的大小为2 .
不难看到，利用二面角来判断两个平面是否互相垂直有时候是不方便的，那么有没有其他的判断面面垂直的办法呢?
如图 11-4-18所示，建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平面垂直，通常会用铅锤等先构造出一条与水平面垂直的线，然后紧贴线来砌墙.(1)你知道为什么此时墙面就一定会与水平面垂直吗?(2)从数学的角度，这一现象能概括出什么结论?试分别用自然语言与符号语言描述，
一般地，我们可以归纳出如下平面与平面垂直的判定定理(简称为面面垂直的判定定理).
如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
这就是说，如果 这给出了面面垂直的一个充分条件.
由面面垂直的判定定理，容易证明直棱柱的每个侧面都与底面互相垂直，理由是直棱柱的侧棱垂直于底面.
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
如果α⊥β，a∩β=m， ，AO⊥m，则 AO⊥β.这给出了面面垂直的一个必要条件.
因为α⊥β ，所以∠AOB=90°，因此 AO ⊥OB.
又因为 AO⊥m，m∩OB=O， ，所以 AO⊥β. 值得注意的是，面面垂直的判定定理与性质定理是有区别的，前者是由线面垂直得到面面垂直，后者是由面面垂直得到线面垂直.
因为αβ，a∩β=AB， BD⊥AB，所以BD⊥a.又因为 所以BD⊥BC，因此△CBD是直角三角形.
进而在Rt△CBD中，有
如图11-4-22(1)所示，已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高.如图11-4-22(2)所示，以AD为折痕将△ABC 折起，使∠BDC为直角.在图11-4-22(2)中，求证:
(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC;(2)∠BAC=60°.
(1)由已知有AD ⊥ BD，AD ⊥ DC，因此在图 11-4-22(2)中， 有AD ⊥平面 BDC.
又因为 ，所以平面 ABD ⊥平面 BDC.同理，平面ACD ⊥平面 BDC.
因此图 11-4-22(2)中BDC是等腰直角三角形，所以
从而AB=AC=BC，所以∠BAC=60°.
5.求证:若3条直线OX，OY，OZ两两互相垂直，则3个平面XOY，YOZ,ZOX也两两互相垂直.
1.一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角，对吗?为什么?
2.如图，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要将曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和面密合就可以了.为什么?如果不转动可以检查是否垂直吗?
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