[数学]福建省泉州市惠安县2024年中考模拟试题（解析版）

这是一份[数学]福建省泉州市惠安县2024年中考模拟试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 化简的结果是（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】，
故选：D．
2. 如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从正面看，图形上面为一个圆，下面是一个矩形，
故选：C．
3. 据报道，华为公司坚持每年将10%以上的销售收入投入研究与开发，近十年累计投入的研发费用超过人民币11100亿元，用科学记数法表示数据“11100亿”，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】11100亿，故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，故该选项是错误的，不符合题意；
B、，故该选项是错误的，不符合题意；
C、，故该选项是错误的，不符合题意；
D、，故该选项是正确的，符合题意；
故选：D．
5. 我们定义：若一个三角形的两个内角与，满足，则这样的三角形称为“奇妙互余三角形”．已知是“奇妙互余三角形”，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是“奇妙互余三角形”，，
，
故选∶B．
6. 如图，在长为，宽为矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意得，．
故选：C．
7. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将绕点按逆时针方向旋转，
∴，，，
，
，
故选：C．
8. 为了解学生体育锻炼情况，某学校随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数据统计，得到如下折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大
B. 班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72
C. 班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65
D. 班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大
【答案】A
【解析】A．由折线图可知，班级甲的极差为，班级乙的极差为，
，
班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大，故A项正确，符合题意；
B．由折线图可知，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B项错误，不符合题意；
C．由折线图可知，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，故C项错误，不符合题意；
D．由折线图可知，班级甲的平均数为：，
班级乙的平均数为：，
，
班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的小．故D项错误，不符合题意；
故答案为：A．
9. 如图，内接于，若，则的半径为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】连接，并延长交于点，连接，
，
，
为的直径，
，
，
，，
，
的半径．故选：B.
10. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】一次函数与反比例函数的图象相交于点，
，，
解得，
关于的方程为，
，
解得，，
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 如图，点A在数轴上的坐标为a，试比较大小：______．（填“<”或“>”）
【答案】>
【解析】由数轴可得，
∴，
即．
故答案为：＞
12. 如图，中，垂直平分，交于，交于，连结．若，则的长为______．
【答案】3
【解析】∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
13. 某大学自主招生考试需要考查数学和物理．计算综合得分时，按数学，物理占计算．已知小明数学得分为130分，综合得分为114分，那么小明物理得分是______分．
【答案】90
【解析】设小明物理得分是分，
由题意得，
解得，
小明物理得分是90分．
故答案为：90．
14. 设是方程两个根，且，则的值为______．
【答案】
【解析】，
，
解得．
故答案为：．
15. 如图，点是矩形的边的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，若，矩形的面积为8，则图中扇形的面积为______．
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，，，
点是边的中点，
，
以点为圆心，长为半径作弧，交于点，
，
，
，
即，整理得，
设，则，，
矩形的面积为8，
，解得，
，
图中扇形的面积为．
故答案为：．
16. 已知，直线（）与x轴交于点C，A是直线上一点，轴于点B，且，若的面积为，则k的值为______．（用含a的式子表示）
【答案】
【解析】把代入函数中，得，
解得，
∴点C的坐标为，
∵，，
∴
∴点B的坐标为或，
∵，
∴点A的坐标为或，，．
若点A的坐标为，则，解得；
若点A的坐标为，则，解得；
若点A的坐标为，则，解得；
若点A的坐标为，则，解得；
综上所述，．
故答案为：
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
解：原式．
18. 如图，点D，E分别在上，，求证：．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19. 先化简，再求值：，其中．
解：原式=
==，
当时，
原式==．
考点：分式的化简求值．
20. 某文具店准备购进型号的文具一共100件，两种文具的进价和售价情况如下表：
（1）问该文具店应如何进货，使得进货款恰好是1340元？
（2）若购进这两种文具全部售完后，获得利润不超过进货款总数，求该文具店可获利润的最大值．（注：利润=售价-进价）
解：（1）设购进型号文具件，购进型号文具件，
依题意，得
解得
答：应购进型号文具32件，购进型号文具68件．
（2）若购进型号文具件，则购进型号文具件，
由题意，得：所获利润，
∵
∴解得，
由题意，得
随着的增大而减小
则当时，
当文具店购进A型号文具50件时，所获利润最大，最大值为500元．
21. 如图，四边形中，，，过三点的圆与交于点．
（1）求证：是的中点；
（2）若，求证：．
（1）证明：如图，连接．
三点共圆，且，
为直径，
，即
又
即是的中点．
（2）证明：连接．
，
则，
又，，
，，．
22. 一个袋中装有2个红球，4个白球和2个黑球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．袋中的球已经被搅匀．
（1）求从袋中随机摸出1个球是白球的概率；
（2）若先从袋中取出1个红球和个白球，不放回．搅匀后，再从袋中余下的球中随机摸出2个球，求“摸出2个黑球”事件发生的概率．
解：（1）一个袋中装有2个红球，4个白球和2个黑球，共有8个球，
则从袋中随机摸出1个球是白球的概率是；
（2）当时，说明口袋里还有1个红球，1个白球，2个黑球，列表如下：
一共有12种情况，其中摸出2个黑球的情况数有2种，
“摸出2个黑球”事件发生的概率是；
当时，说明口袋里还有1个红球，2个黑球，列表如下：
一共有6种情况，其中摸出2个黑球的情况数有2种，
“摸出2个黑球”事件发生的概率是．
综上所述，“摸出2个黑球”事件发生的概率是或．
23. 某中学九年级（1）班开展“发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活动，爱思考的小丽积极响应，认真做好下面项目及任务．
一、收集资料，阅读理解
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．
黄金分割被视为最美丽的几何学比率，并广泛地应用于建筑和艺术中，如埃及的金字塔，女神维纳斯的雕像等，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618．还有黄金矩形（即长与宽之比为黄金比）、黄金三角形（顶角为的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．让我们去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！
二、动手操作，直观感知
任务一：如图1，已知正方形，点是的中点．连结，以点为圆心，为半径作弧，与的延长线交于点，过点作于，与的延长线交于点，则所得到的四边形是黄金矩形．
①根据题意，利用尺规作图，将图1补充完整；
②写出黄金矩形的两边与之比，即______（结果保留根号）
三、探究延伸，灵活运用
任务二：如果正边形的中心角等于，其外接圆半径为，则______，其边长与的关系式为______；（用三角函数表示）
任务三：如图2，在中，已知，求的值．（结果保留根号）
请结合上述材料，解决下面问题：
（1）补全任务一①、②所缺的内容；
（2）根据任务二，写出______，边长与R的关系式为______；（用三角函数表示）
（3）完成任务三问题的解答．
解：（1）①将图1补充完整如图所示．
②解：设正方形的边长为，则，
∴，
∵
∴
∴
（2）
如图所示，
依题意，，，
过点作于点，
∴
在中，
∴，
∴
（3）如图，延长至，使得，连结．
，即，则垂直平分
又
过点作的平分线，交于点，则，
则
法1：设，则
又
即
，解得
为正数，
．
法2：由题意知是的比例中项，
由任务一结论，可知，
又，
．
24. 已知抛物线与轴交于两点，为抛物线上不与重合的相异两点，设直线的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若四点构成的四边形是轴对称图形，且，求四边形的面积；
（3）若直线的交点在直线上，则直线必过定点，直接写出该定点的坐标．
解：（1）两点在抛物线上
∴，
解得
抛物线的函数表达式为．
（2）如图，由图形的轴对称，可知四点构成的四边形是等腰梯形．
又，且
∴
设点，则点
，则
，则点
（3）直线过定点．
如图，设，
设直线解析式为．
依题意，得
则有
设直线解析式为．
在直线上
，
即
又，
设直线解析式为
在直线上
即
又，
直线的交点在直线上
，
即
，
整理得
故，
解得
直线解析式为
故直线过定点．
25. 如图，在正方形中，点是上一点，的垂直平分线分别与、交于点，连结，其中与交于点．
（1）求证：；
（2）如图1，若正方形的边长为1，当时，求的长；
（3）如图2，当时，求证：．
解：（1）如图1，垂直平分，
，
，即，
，
，
，
又，
，
在正方形中，，
，则，
，
（2）如图2，设，则，
由（1）知，
，
又，且，
，
又，
，
则，，
又，
，解得，
，，
，则，
．
（3）如图3，过点作于点，连结．
由（1）知，
，
则为等腰直角三角形，
，
垂直平分，
，
，
，即为等腰直角三角形，
则，又，
，
在与中，
，
，
在中，，
，
即． 价格
型号
进价（元/件）
售价（元/件）
型
10
12
型
15
23
红
黑
黑
白
红
（红，黑）
（红，黑）
（红，白）
黑
（黑，红）
（黑，黑）
（黑，白）
黑
（黑，红）
（黑，黑）
（黑，白）
白
（白，红）
（白，黑）
（白，黑）
红
黑
黑
红
（红，黑）
（红，黑）
黑
（黑，红）
（黑，黑）
黑
（黑，红）
（黑，黑）