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试卷 2020年福建省泉州市惠安县广海中学中考数学模拟试卷（4月份） 解析版
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这是一份试卷 2020年福建省泉州市惠安县广海中学中考数学模拟试卷（4月份） 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算﹣1+5，结果正确的是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣6D．6
2．举世瞩目的港珠澳大桥工程总投资约726亿元，用科学记数法表示726亿元正确的是（ ）
A．72.6×109元B．7.26×1010元
C．0.726×1011元D．7.26×1011元
3．某初中校学生会为了解2017年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查，下列抽样调查方案中最合适的是（ ）
A．到学校图书馆调查学生借阅量
B．对全校学生暑假课外阅读量进行调查
C．对初三年级学生的课外阅读量进行调查
D．在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．a6÷a2＝a3C．（﹣）0＝0D．3﹣2＝
5．由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最大B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大D．三种视图的面积相等
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是（ ）
A．75°B．78°C．80°D．92°
8．若967×85＝p，则967×84的值可表示为（ ）
A．p﹣967B．p﹣85C．p﹣1D． p
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．15°
10．在欧洲有很多古老而且美丽的中世纪建筑群，如图，古罗马教堂建筑物CD的高为30米，从C点测得A点的仰角α等于45°，从A点看D点的俯角，因无法测得准确的角度，只能记为β．则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）
11．在“我爱我的祖国：合唱比赛中，10位评委给某队的评分如下表所示：
则该队成绩的中位数是 ．
12．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公．众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？设该店有房x间，则可列方程： ．
13．如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为 ．
14．已知等腰三角形的一边长6，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的底边长为 ．
15．已知a+1＝20192+20202，计算：＝ ．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝5，BC＝6，P是△ABC内部的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．
三、解答题（共9题，满分74分）
17．（8分）解方程组．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，且DE＝AB，连接AE、BD，证明AE＝BD．
19．（8分）化简求值：（+m﹣2）÷；其中m＝+1
20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．
（1）求证：AB＝BC；
（2）尺规作图：在AE上找一点D，使得四边形ABCD为菱形（不写作法，保留作图痕迹）
21．（8分）惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售，由于深受顾客喜爱，很快脱销，惠好商场又用50000元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了10元．
（Ⅰ）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？
（Ⅱ）惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？
22．（10分）在文明县城的城市道路改造中，某路段上有A、B两处相距近300m且未设红绿灯的斑马线．为使交通高峰期该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯，图1，图2分别是交通高峰期来往车辆在A、B斑马线前停留时间的抽样统计图．根据统计图解决下列问题：
（1）若某日交通高峰期共有300辆车经过A斑马线，请估计该日停留时间为6s～8s的车辆数；
（2）请你利用所学的统计的知识，设计移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由．（说明：组中值是各组上下限数的简单平均，如6s～8s的组中值为7s）
23．（10分）如图，已知等腰Rt△ABC，AC＝BC＝4，将△ABC沿CD对折，展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．
（1）试探究△PFM的形状，并说明理由；
（2）求△PFM的周长的取值范围．
24．如图，将⊙O内的一条弦AB绕点A按顺时针方向旋转得到弦AC，过点B作弦BD，与AC相交于点M，且∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠ACD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）作△ACD关于直线AD对称的△AED（E与C是对应点）．若CD＝5，DM＝3，求点O到弦AD的距离．
25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式；
（2）若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B（点A在点B的左侧），与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有+＝成立．
2020年福建省泉州市惠安县广海中学中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，满分40分）
1．计算﹣1+5，结果正确的是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣6D．6
【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣1+5＝4．
故选：A．
2．举世瞩目的港珠澳大桥工程总投资约726亿元，用科学记数法表示726亿元正确的是（ ）
A．72.6×109元B．7.26×1010元
C．0.726×1011元D．7.26×1011元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：726亿＝72600 000 000，用科学记数法表示时n＝10，
∴72600 000 000＝7.26×1010．
故选：B．
3．某初中校学生会为了解2017年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查，下列抽样调查方案中最合适的是（ ）
A．到学校图书馆调查学生借阅量
B．对全校学生暑假课外阅读量进行调查
C．对初三年级学生的课外阅读量进行调查
D．在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【解答】解：A、抽查对象不具有代表性，故A错误；
B、调查对象时间不具有代表性，故B错误；
C、调查对象不具广泛性和代表性，故C错误；
D、在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查，调查对象比较合适，故此选项正确；
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．a6÷a2＝a3C．（﹣）0＝0D．3﹣2＝
【分析】根据同底数幂的乘、除法法则、零次幂和负整数指数幂的性质进行计算即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故原题计算错误；
B、a6÷a2＝a4，故原题计算错误；
C、（﹣）0＝1，故原题计算错误；
D、3﹣2＝，故原题计算正确；
故选：D．
5．由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最大B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大D．三种视图的面积相等
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边起2个小正方形，主视图的面积是5；
从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为3；
从上边看第一列是2个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是1个小正方形，俯视图的面积是4，
主视图的面积最大，故A正确；
故选：A．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式x﹣1≤0，得：x≤1；
解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
在数轴上表示为：，
故选：D．
7．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是（ ）
A．75°B．78°C．80°D．92°
【分析】证明△BCE≌△ACD，求出∠EBC度数，利用∠ABE＝∠EBC+∠ABC求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°．
∴∠DAC＝45°﹣10°＝35°．
在△BEC和△ADC中
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴∠EBC＝∠DAC＝35°．
∴∠ABE＝∠EBC+∠ABC＝80°．
故选：C．
8．若967×85＝p，则967×84的值可表示为（ ）
A．p﹣967B．p﹣85C．p﹣1D． p
【分析】将967×85＝p代入967×84＝967×（85﹣1）＝967×85﹣967可得．
【解答】解：∵967×85＝p，
∴967×84＝967×（85﹣1）＝967×85﹣967＝p﹣967，
故选：A．
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．15°
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，求出OB＝OC，OB＝OA，根据矩形性质和已知求出∠BAE＝∠DAE＝45°，求出∠OBC＝∠OCB＝30°，求出△AOB是等边三角形，推出AB＝OB＝BE，求出∠OEB＝75°，最后减去∠AEB的度数，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OB＝OC，OB＝OA，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∵∠1＝15°，
∴∠OCB＝∠AEB﹣∠EAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠AOB＝30°+30°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∴OB＝BE，
∴∠OEB＝∠EOB，
∵∠OBE＝30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO＝180°，
∴∠OEB＝75°，
∵∠AEB＝45°，
∴∠2＝∠OEB﹣∠AEB＝30°，
故选：B．
10．在欧洲有很多古老而且美丽的中世纪建筑群，如图，古罗马教堂建筑物CD的高为30米，从C点测得A点的仰角α等于45°，从A点看D点的俯角，因无法测得准确的角度，只能记为β．则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DCBE，在Rt△ADE中，AE＝AB﹣BE＝AB﹣30，根据锐角三角函数可得tanβ＝＝，进而可表示AB．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DCBE，
∴BE＝CD＝30，DE＝BC，∠ADE＝β，
∵∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴DE＝AB，
在Rt△ADE中，AE＝AB﹣BE＝AB﹣30，
tanβ＝＝，
解得AB＝．
则建筑物AB的高度为米．
故选：A．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）
11．在“我爱我的祖国：合唱比赛中，10位评委给某队的评分如下表所示：
则该队成绩的中位数是 9.35分 ．
【分析】利用中位数的定义求得答案后即可．
【解答】解：∵共10名评委，
∴中位数应该是第5和第6人的平均数，为9.3分和9.4分，
∴中位数为9.35分，
故答案为：9.35分．
12．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公．众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？设该店有房x间，则可列方程： 7x+7＝9（x﹣1） ．
【分析】直接利用住店人数不变进而得出等式即可．
【解答】解：设该店有房x间，则可列方程：7x+7＝9（x﹣1）．
故答案为：7x+7＝9（x﹣1）．
13．如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为 9 ．
【分析】根据中位线的性质以及相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，2DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABC＝4S△ADE＝12，
∴四边形DECB的面积为12﹣3＝9，
故答案为：9．
14．已知等腰三角形的一边长6，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的底边长为 3或5或6 ．
【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念分类讨论求解可得．
【解答】解：∵x2﹣8x+15＝0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得x＝3或x＝5，
若3为腰的长，则三角形三边长度为3、3、6，不能构成三角形，舍去；
若5为腰长，则三角形三边长度为5、5、6，此时符合题意，所以底边长为6；
若6为腰长，则三角形三边长度为6、6、3或6、6、5，均符合题意，所以底边长为3或5；
故答案为：3或5或6．
15．已知a+1＝20192+20202，计算：＝ 4039 ．
【分析】把a+1＝20002+20012代入得到，再根据完全平方公式得到原式＝＝，再根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可求解．
【解答】解：∵a+1＝20002+20012，
∴
＝
＝
＝
＝
＝4039．
故答案为：4039．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝5，BC＝6，P是△ABC内部的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．
【分析】以BP为边作等边三角形BPD，将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDC'，连接AC'，可得BP＝BD＝DP，∠PBD＝60°，PC＝C'D，∠PBC＝∠DBC'，BC＝BC'＝6，则当点A，点P，点D，点C'共线时，PA+PB+PC有最小值为PC'，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，以BP为边作等边三角形BPD，将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDC'，连接AC'，
∵△BPD是等边三角形，
∴BP＝BD＝DP，∠PBD＝60°，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°，
∴PC＝C'D，∠PBC＝∠DBC'，BC＝BC'＝6，
∴∠ABC'＝∠ABP+∠PBD+∠DBC'＝∠PBD+∠ABC+∠PBC＝60°+30°＝90°，
∵PA+PB+PC＝PA+PD+DC'，
∴当点A，点P，点D，点C'共线时，PA+PB+PC有最小值为PC'，
∴PC'＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共9题，满分74分）
17．（8分）解方程组．
【分析】用加减消元法解方程组即得到答案．
【解答】解：
①﹣②得：（x+y）﹣（x﹣2y）＝4﹣1
y+2y＝3
3y＝3
y＝1
把y＝1代入①得：x+1＝4，
x＝3
∴原方程组的解为
18．（8分）如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，且DE＝AB，连接AE、BD，证明AE＝BD．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，再根据等腰三角形的性质可得∠DCE＝∠DEC，即可证明△ABE≌△DEB，再根据全等三角形性质可得到结论．
【解答】证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∵DE＝AB，
∴DE＝DC．
∴∠DCE＝∠DEC，
∵AB∥DC，
∴∠ABC＝∠DCE．
∴∠ABC＝∠DEC．
在△ABE与△DEB中
，
∴△ABE≌△DEB（SAS）．
∴AE＝BD．
19．（8分）化简求值：（+m﹣2）÷；其中m＝+1
【分析】先化简分式，然后将m的值代入求值．
【解答】解：原式＝（）÷
＝•
＝，
当m＝+1时，
原式＝＝．
20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．
（1）求证：AB＝BC；
（2）尺规作图：在AE上找一点D，使得四边形ABCD为菱形（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论；
（2）在射线AE上截取AD＝AB，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
又∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BA＝BC；
（2）在射线AE上截取AD＝AB，连接CD，则四边形ABCD即为所求．
21．（8分）惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售，由于深受顾客喜爱，很快脱销，惠好商场又用50000元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了10元．
（Ⅰ）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？
（Ⅱ）惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？
【分析】（Ⅰ）设惠好商场第一次购x套玩具，那么第二次购进2x套玩具，根据第二次比第一次每套进价多了10元，可列方程求解．
（Ⅱ）根据利润＝售价﹣进价，根据且全部售完后总利润率不低于12%，这个不等量关系可列式求解．
【解答】解：（Ⅰ）设惠好商场第一次购进这种玩具x套，
依题意，得．
解得x＝100．
经检验，x＝100是该方程的根．
答：惠好商场第一次购进这种玩具100套；
（Ⅱ）设剩余玩具每套的售价为y元，则：
第二次进价为50000÷200＝250（元/套）．
（300﹣250）××200+（1﹣）×200×（y﹣250）≥50000×12%．
解得y≥200．
答：剩余玩具每套售价至少要200元．
22．（10分）在文明县城的城市道路改造中，某路段上有A、B两处相距近300m且未设红绿灯的斑马线．为使交通高峰期该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯，图1，图2分别是交通高峰期来往车辆在A、B斑马线前停留时间的抽样统计图．根据统计图解决下列问题：
（1）若某日交通高峰期共有300辆车经过A斑马线，请估计该日停留时间为6s～8s的车辆数；
（2）请你利用所学的统计的知识，设计移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由．（说明：组中值是各组上下限数的简单平均，如6s～8s的组中值为7s）
【分析】（1）从条形统计图1中的数据可得6s～8s的车辆占，用总车辆乘以这个百分比即可；
（2）利用加权平均数分别求出在A处、B处停留时间的平均数即可得到结论．
【解答】解：（1）300×＝48（辆），
答：估计该日停留时间为6s～8s的车辆数为48辆；
（2）车辆在A处的停留时间为（1×10+3×12+5×10+7×8+9×7+11×1）＝4.72s，
车辆在B处的停留时间为（1×3+3×2+5×10+7×13+9×12）＝6.45s，
∵4.72＜6.45，
∴移动红绿灯放置在B处斑马线上较为合适．
23．（10分）如图，已知等腰Rt△ABC，AC＝BC＝4，将△ABC沿CD对折，展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．
（1）试探究△PFM的形状，并说明理由；
（2）求△PFM的周长的取值范围．
【分析】（1）△PFM的形状是等腰直角三角形，想办法证明△POF∽△MOC，可得∠PFO＝∠MCO＝45°，延长即可解决问题；
（2）设FM＝y，由勾股定理可知：PF＝PM＝y，可得△PFM的周长＝（1+）y，由2＜y＜4，可得结论．
【解答】解：（1）△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，
理由如下：由折叠的性质可知，∠PMF＝∠B＝45°，
∵CD是中垂线，
∴∠ACD＝∠DCF＝45°，
∴∠PMO＝∠FCO，
∵∠POM＝∠FOC，
∴△POM∽△FOC，
∴＝，
∴＝，
∵∠POF＝∠MOC，
∴△POF∽△MOC，
∴∠PFO＝∠MCO＝45°，
∴∠PFM＝∠PMF＝45°，
∴∠MPF＝90°，
∴△PFM是等腰直角三角形．
（2）∵△PFM是等腰直角三角形，设FM＝y，
由勾股定理可知：PF＝PM＝y，
∴△PFM的周长＝（1+）y，
∵2＜y＜4，
∴△PFM的周长满足：2+2＜（1+）y＜4+4．
24．如图，将⊙O内的一条弦AB绕点A按顺时针方向旋转得到弦AC，过点B作弦BD，与AC相交于点M，且∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠ACD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）作△ACD关于直线AD对称的△AED（E与C是对应点）．若CD＝5，DM＝3，求点O到弦AD的距离．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAC+∠ACD＝∠ACB+∠CAD，等量代换得到∠BAC+∠ABD＝∠ACB+∠CBD，得到∠AMB＝90°，于是得到结论；
（2）根据旋转的性质得到AB＝AC，根据轴对称的性质得到AC＝AE＝AB，∠ADC＝∠ADE，推出B，D，E三点共线，作OH⊥AD于H，作⊙O的直径DF，连接AF，则AH＝DH，∠FAD＝90°，得到∠ADF＝∠BAC，求得AF＝BC，根据勾股定理得到AF＝4，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠BAC+∠ACD＝∠ACB+∠CAD，
∵∠ACD＝∠ABD，∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAC+∠ABD＝∠ACB+∠CBD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB+∠CBD＝180°，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AC⊥BD；
（2）∵将弦AB绕点A按顺时针方向旋转得到弦AC，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADB，
∵△ACD与△AED关于直线AD对称，
∴AC＝AE＝AB，∠ADC＝∠ADE，
∵∠ABC+∠ADC＝∠ADB+∠ADE＝180°，
∴B，D，E三点共线，
作OH⊥AD于H，作⊙O的直径DF，连接AF，则AH＝DH，∠FAD＝90°，
∴∠F+∠ADF＝90°，
∵∠F＝∠ABD，∠ABD+∠BAC＝90°，
∴∠ADF＝∠BAC，
∴＝，
∴AF＝BC，
∵CD＝5，DM＝3，
∴EM＝ED+DM＝CD+DM＝8，
∵AB＝AE，AC⊥BD，
∴BM＝EM＝8，CM＝＝＝4，
∴BC＝＝＝4，
∴AF＝4，
∵AH＝DH，OD＝OF，
∴OH＝AF＝2，
即点O到弦AD的距离为2．
25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式；
（2）若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B（点A在点B的左侧），与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有+＝成立．
【分析】（1）抛物线顶点坐标为（1，1），当x＝1时，y＝a+b+c＝1，而x＝﹣＝1，即可求解；
（2）①PQ＝2t，OP＝＝OQ，△OPQ是等腰直角三角形，则OP2+OQ2＝PQ2，即可求解；②求出点A、B、R的横坐标，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与直线y＝1只有一个公共点，则抛物线顶点的纵坐标为1，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，故顶点坐标为（1，1），
当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
而x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
故﹣a+c＝1，
故a＝c﹣1；
（2）①b＝﹣2，则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2x+c，
设点P（t，1），则点Q（﹣t，1），
则PQ＝2t，OP＝＝OQ，
∵△OPQ是等腰直角三角形，
∴OP2+OQ2＝PQ2，即2（t2+1）＝4t2，
解得：t＝±1（舍去﹣1），
故点P（1，1），
由（1）得，b＝﹣2a＝﹣2，解得：a＝1，c＝a+1＝2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+2；
②如图，过点A、R、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、H、N，
则，
设＝（m＞0，m为常数），
则OM＝m•AO，ON＝m•OB，OH＝m•OR
∵点A、B是直线y＝kx与抛物线的交点，
∴联立两个函数表达式并整理得：x2﹣（2+k）x+2＝0，
故x1+x2＝2+k，x1•x2＝2，
故＝＝，
∴，即，
联立两条直线表达式得，解得：x＝＝OH＝m•OR，
∴＝＝（），
故每个给定的实数k，总有+＝成立．
成绩（分）
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
人数
3
2
3
1
1
成绩（分）
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
人数
3
2
3
1
1
1．计算﹣1+5，结果正确的是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣6D．6
2．举世瞩目的港珠澳大桥工程总投资约726亿元，用科学记数法表示726亿元正确的是（ ）
A．72.6×109元B．7.26×1010元
C．0.726×1011元D．7.26×1011元
3．某初中校学生会为了解2017年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查，下列抽样调查方案中最合适的是（ ）
A．到学校图书馆调查学生借阅量
B．对全校学生暑假课外阅读量进行调查
C．对初三年级学生的课外阅读量进行调查
D．在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．a6÷a2＝a3C．（﹣）0＝0D．3﹣2＝
5．由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最大B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大D．三种视图的面积相等
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是（ ）
A．75°B．78°C．80°D．92°
8．若967×85＝p，则967×84的值可表示为（ ）
A．p﹣967B．p﹣85C．p﹣1D． p
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．15°
10．在欧洲有很多古老而且美丽的中世纪建筑群，如图，古罗马教堂建筑物CD的高为30米，从C点测得A点的仰角α等于45°，从A点看D点的俯角，因无法测得准确的角度，只能记为β．则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）
11．在“我爱我的祖国：合唱比赛中，10位评委给某队的评分如下表所示：
则该队成绩的中位数是 ．
12．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公．众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？设该店有房x间，则可列方程： ．
13．如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为 ．
14．已知等腰三角形的一边长6，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的底边长为 ．
15．已知a+1＝20192+20202，计算：＝ ．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝5，BC＝6，P是△ABC内部的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．
三、解答题（共9题，满分74分）
17．（8分）解方程组．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，且DE＝AB，连接AE、BD，证明AE＝BD．
19．（8分）化简求值：（+m﹣2）÷；其中m＝+1
20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．
（1）求证：AB＝BC；
（2）尺规作图：在AE上找一点D，使得四边形ABCD为菱形（不写作法，保留作图痕迹）
21．（8分）惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售，由于深受顾客喜爱，很快脱销，惠好商场又用50000元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了10元．
（Ⅰ）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？
（Ⅱ）惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？
22．（10分）在文明县城的城市道路改造中，某路段上有A、B两处相距近300m且未设红绿灯的斑马线．为使交通高峰期该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯，图1，图2分别是交通高峰期来往车辆在A、B斑马线前停留时间的抽样统计图．根据统计图解决下列问题：
（1）若某日交通高峰期共有300辆车经过A斑马线，请估计该日停留时间为6s～8s的车辆数；
（2）请你利用所学的统计的知识，设计移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由．（说明：组中值是各组上下限数的简单平均，如6s～8s的组中值为7s）
23．（10分）如图，已知等腰Rt△ABC，AC＝BC＝4，将△ABC沿CD对折，展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．
（1）试探究△PFM的形状，并说明理由；
（2）求△PFM的周长的取值范围．
24．如图，将⊙O内的一条弦AB绕点A按顺时针方向旋转得到弦AC，过点B作弦BD，与AC相交于点M，且∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠ACD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）作△ACD关于直线AD对称的△AED（E与C是对应点）．若CD＝5，DM＝3，求点O到弦AD的距离．
25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式；
（2）若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B（点A在点B的左侧），与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有+＝成立．
2020年福建省泉州市惠安县广海中学中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，满分40分）
1．计算﹣1+5，结果正确的是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣6D．6
【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣1+5＝4．
故选：A．
2．举世瞩目的港珠澳大桥工程总投资约726亿元，用科学记数法表示726亿元正确的是（ ）
A．72.6×109元B．7.26×1010元
C．0.726×1011元D．7.26×1011元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：726亿＝72600 000 000，用科学记数法表示时n＝10，
∴72600 000 000＝7.26×1010．
故选：B．
3．某初中校学生会为了解2017年本校学生人均课外阅读量，计划开展抽样调查，下列抽样调查方案中最合适的是（ ）
A．到学校图书馆调查学生借阅量
B．对全校学生暑假课外阅读量进行调查
C．对初三年级学生的课外阅读量进行调查
D．在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【解答】解：A、抽查对象不具有代表性，故A错误；
B、调查对象时间不具有代表性，故B错误；
C、调查对象不具广泛性和代表性，故C错误；
D、在三个年级的学生中分别随机抽取一半学生进行课外阅读量的调查，调查对象比较合适，故此选项正确；
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．a6÷a2＝a3C．（﹣）0＝0D．3﹣2＝
【分析】根据同底数幂的乘、除法法则、零次幂和负整数指数幂的性质进行计算即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故原题计算错误；
B、a6÷a2＝a4，故原题计算错误；
C、（﹣）0＝1，故原题计算错误；
D、3﹣2＝，故原题计算正确；
故选：D．
5．由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最大B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大D．三种视图的面积相等
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边起2个小正方形，主视图的面积是5；
从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为3；
从上边看第一列是2个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是1个小正方形，俯视图的面积是4，
主视图的面积最大，故A正确；
故选：A．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式x﹣1≤0，得：x≤1；
解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
在数轴上表示为：，
故选：D．
7．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是（ ）
A．75°B．78°C．80°D．92°
【分析】证明△BCE≌△ACD，求出∠EBC度数，利用∠ABE＝∠EBC+∠ABC求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°．
∴∠DAC＝45°﹣10°＝35°．
在△BEC和△ADC中
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴∠EBC＝∠DAC＝35°．
∴∠ABE＝∠EBC+∠ABC＝80°．
故选：C．
8．若967×85＝p，则967×84的值可表示为（ ）
A．p﹣967B．p﹣85C．p﹣1D． p
【分析】将967×85＝p代入967×84＝967×（85﹣1）＝967×85﹣967可得．
【解答】解：∵967×85＝p，
∴967×84＝967×（85﹣1）＝967×85﹣967＝p﹣967，
故选：A．
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．15°
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，求出OB＝OC，OB＝OA，根据矩形性质和已知求出∠BAE＝∠DAE＝45°，求出∠OBC＝∠OCB＝30°，求出△AOB是等边三角形，推出AB＝OB＝BE，求出∠OEB＝75°，最后减去∠AEB的度数，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OB＝OC，OB＝OA，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∵∠1＝15°，
∴∠OCB＝∠AEB﹣∠EAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠AOB＝30°+30°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∴OB＝BE，
∴∠OEB＝∠EOB，
∵∠OBE＝30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO＝180°，
∴∠OEB＝75°，
∵∠AEB＝45°，
∴∠2＝∠OEB﹣∠AEB＝30°，
故选：B．
10．在欧洲有很多古老而且美丽的中世纪建筑群，如图，古罗马教堂建筑物CD的高为30米，从C点测得A点的仰角α等于45°，从A点看D点的俯角，因无法测得准确的角度，只能记为β．则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DCBE，在Rt△ADE中，AE＝AB﹣BE＝AB﹣30，根据锐角三角函数可得tanβ＝＝，进而可表示AB．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DCBE，
∴BE＝CD＝30，DE＝BC，∠ADE＝β，
∵∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴DE＝AB，
在Rt△ADE中，AE＝AB﹣BE＝AB﹣30，
tanβ＝＝，
解得AB＝．
则建筑物AB的高度为米．
故选：A．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）
11．在“我爱我的祖国：合唱比赛中，10位评委给某队的评分如下表所示：
则该队成绩的中位数是 9.35分 ．
【分析】利用中位数的定义求得答案后即可．
【解答】解：∵共10名评委，
∴中位数应该是第5和第6人的平均数，为9.3分和9.4分，
∴中位数为9.35分，
故答案为：9.35分．
12．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公．众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？设该店有房x间，则可列方程： 7x+7＝9（x﹣1） ．
【分析】直接利用住店人数不变进而得出等式即可．
【解答】解：设该店有房x间，则可列方程：7x+7＝9（x﹣1）．
故答案为：7x+7＝9（x﹣1）．
13．如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为 9 ．
【分析】根据中位线的性质以及相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，2DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABC＝4S△ADE＝12，
∴四边形DECB的面积为12﹣3＝9，
故答案为：9．
14．已知等腰三角形的一边长6，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的底边长为 3或5或6 ．
【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念分类讨论求解可得．
【解答】解：∵x2﹣8x+15＝0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得x＝3或x＝5，
若3为腰的长，则三角形三边长度为3、3、6，不能构成三角形，舍去；
若5为腰长，则三角形三边长度为5、5、6，此时符合题意，所以底边长为6；
若6为腰长，则三角形三边长度为6、6、3或6、6、5，均符合题意，所以底边长为3或5；
故答案为：3或5或6．
15．已知a+1＝20192+20202，计算：＝ 4039 ．
【分析】把a+1＝20002+20012代入得到，再根据完全平方公式得到原式＝＝，再根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可求解．
【解答】解：∵a+1＝20002+20012，
∴
＝
＝
＝
＝
＝4039．
故答案为：4039．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝5，BC＝6，P是△ABC内部的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．
【分析】以BP为边作等边三角形BPD，将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDC'，连接AC'，可得BP＝BD＝DP，∠PBD＝60°，PC＝C'D，∠PBC＝∠DBC'，BC＝BC'＝6，则当点A，点P，点D，点C'共线时，PA+PB+PC有最小值为PC'，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，以BP为边作等边三角形BPD，将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDC'，连接AC'，
∵△BPD是等边三角形，
∴BP＝BD＝DP，∠PBD＝60°，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°，
∴PC＝C'D，∠PBC＝∠DBC'，BC＝BC'＝6，
∴∠ABC'＝∠ABP+∠PBD+∠DBC'＝∠PBD+∠ABC+∠PBC＝60°+30°＝90°，
∵PA+PB+PC＝PA+PD+DC'，
∴当点A，点P，点D，点C'共线时，PA+PB+PC有最小值为PC'，
∴PC'＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共9题，满分74分）
17．（8分）解方程组．
【分析】用加减消元法解方程组即得到答案．
【解答】解：
①﹣②得：（x+y）﹣（x﹣2y）＝4﹣1
y+2y＝3
3y＝3
y＝1
把y＝1代入①得：x+1＝4，
x＝3
∴原方程组的解为
18．（8分）如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，且DE＝AB，连接AE、BD，证明AE＝BD．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，再根据等腰三角形的性质可得∠DCE＝∠DEC，即可证明△ABE≌△DEB，再根据全等三角形性质可得到结论．
【解答】证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∵DE＝AB，
∴DE＝DC．
∴∠DCE＝∠DEC，
∵AB∥DC，
∴∠ABC＝∠DCE．
∴∠ABC＝∠DEC．
在△ABE与△DEB中
，
∴△ABE≌△DEB（SAS）．
∴AE＝BD．
19．（8分）化简求值：（+m﹣2）÷；其中m＝+1
【分析】先化简分式，然后将m的值代入求值．
【解答】解：原式＝（）÷
＝•
＝，
当m＝+1时，
原式＝＝．
20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．
（1）求证：AB＝BC；
（2）尺规作图：在AE上找一点D，使得四边形ABCD为菱形（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论；
（2）在射线AE上截取AD＝AB，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
又∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BA＝BC；
（2）在射线AE上截取AD＝AB，连接CD，则四边形ABCD即为所求．
21．（8分）惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售，由于深受顾客喜爱，很快脱销，惠好商场又用50000元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了10元．
（Ⅰ）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？
（Ⅱ）惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？
【分析】（Ⅰ）设惠好商场第一次购x套玩具，那么第二次购进2x套玩具，根据第二次比第一次每套进价多了10元，可列方程求解．
（Ⅱ）根据利润＝售价﹣进价，根据且全部售完后总利润率不低于12%，这个不等量关系可列式求解．
【解答】解：（Ⅰ）设惠好商场第一次购进这种玩具x套，
依题意，得．
解得x＝100．
经检验，x＝100是该方程的根．
答：惠好商场第一次购进这种玩具100套；
（Ⅱ）设剩余玩具每套的售价为y元，则：
第二次进价为50000÷200＝250（元/套）．
（300﹣250）××200+（1﹣）×200×（y﹣250）≥50000×12%．
解得y≥200．
答：剩余玩具每套售价至少要200元．
22．（10分）在文明县城的城市道路改造中，某路段上有A、B两处相距近300m且未设红绿灯的斑马线．为使交通高峰期该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯，图1，图2分别是交通高峰期来往车辆在A、B斑马线前停留时间的抽样统计图．根据统计图解决下列问题：
（1）若某日交通高峰期共有300辆车经过A斑马线，请估计该日停留时间为6s～8s的车辆数；
（2）请你利用所学的统计的知识，设计移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由．（说明：组中值是各组上下限数的简单平均，如6s～8s的组中值为7s）
【分析】（1）从条形统计图1中的数据可得6s～8s的车辆占，用总车辆乘以这个百分比即可；
（2）利用加权平均数分别求出在A处、B处停留时间的平均数即可得到结论．
【解答】解：（1）300×＝48（辆），
答：估计该日停留时间为6s～8s的车辆数为48辆；
（2）车辆在A处的停留时间为（1×10+3×12+5×10+7×8+9×7+11×1）＝4.72s，
车辆在B处的停留时间为（1×3+3×2+5×10+7×13+9×12）＝6.45s，
∵4.72＜6.45，
∴移动红绿灯放置在B处斑马线上较为合适．
23．（10分）如图，已知等腰Rt△ABC，AC＝BC＝4，将△ABC沿CD对折，展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．
（1）试探究△PFM的形状，并说明理由；
（2）求△PFM的周长的取值范围．
【分析】（1）△PFM的形状是等腰直角三角形，想办法证明△POF∽△MOC，可得∠PFO＝∠MCO＝45°，延长即可解决问题；
（2）设FM＝y，由勾股定理可知：PF＝PM＝y，可得△PFM的周长＝（1+）y，由2＜y＜4，可得结论．
【解答】解：（1）△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，
理由如下：由折叠的性质可知，∠PMF＝∠B＝45°，
∵CD是中垂线，
∴∠ACD＝∠DCF＝45°，
∴∠PMO＝∠FCO，
∵∠POM＝∠FOC，
∴△POM∽△FOC，
∴＝，
∴＝，
∵∠POF＝∠MOC，
∴△POF∽△MOC，
∴∠PFO＝∠MCO＝45°，
∴∠PFM＝∠PMF＝45°，
∴∠MPF＝90°，
∴△PFM是等腰直角三角形．
（2）∵△PFM是等腰直角三角形，设FM＝y，
由勾股定理可知：PF＝PM＝y，
∴△PFM的周长＝（1+）y，
∵2＜y＜4，
∴△PFM的周长满足：2+2＜（1+）y＜4+4．
24．如图，将⊙O内的一条弦AB绕点A按顺时针方向旋转得到弦AC，过点B作弦BD，与AC相交于点M，且∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠ACD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）作△ACD关于直线AD对称的△AED（E与C是对应点）．若CD＝5，DM＝3，求点O到弦AD的距离．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAC+∠ACD＝∠ACB+∠CAD，等量代换得到∠BAC+∠ABD＝∠ACB+∠CBD，得到∠AMB＝90°，于是得到结论；
（2）根据旋转的性质得到AB＝AC，根据轴对称的性质得到AC＝AE＝AB，∠ADC＝∠ADE，推出B，D，E三点共线，作OH⊥AD于H，作⊙O的直径DF，连接AF，则AH＝DH，∠FAD＝90°，得到∠ADF＝∠BAC，求得AF＝BC，根据勾股定理得到AF＝4，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠BAC+∠ACD＝∠ACB+∠CAD，
∵∠ACD＝∠ABD，∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAC+∠ABD＝∠ACB+∠CBD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB+∠CBD＝180°，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AC⊥BD；
（2）∵将弦AB绕点A按顺时针方向旋转得到弦AC，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADB，
∵△ACD与△AED关于直线AD对称，
∴AC＝AE＝AB，∠ADC＝∠ADE，
∵∠ABC+∠ADC＝∠ADB+∠ADE＝180°，
∴B，D，E三点共线，
作OH⊥AD于H，作⊙O的直径DF，连接AF，则AH＝DH，∠FAD＝90°，
∴∠F+∠ADF＝90°，
∵∠F＝∠ABD，∠ABD+∠BAC＝90°，
∴∠ADF＝∠BAC，
∴＝，
∴AF＝BC，
∵CD＝5，DM＝3，
∴EM＝ED+DM＝CD+DM＝8，
∵AB＝AE，AC⊥BD，
∴BM＝EM＝8，CM＝＝＝4，
∴BC＝＝＝4，
∴AF＝4，
∵AH＝DH，OD＝OF，
∴OH＝AF＝2，
即点O到弦AD的距离为2．
25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式；
（2）若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B（点A在点B的左侧），与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有+＝成立．
【分析】（1）抛物线顶点坐标为（1，1），当x＝1时，y＝a+b+c＝1，而x＝﹣＝1，即可求解；
（2）①PQ＝2t，OP＝＝OQ，△OPQ是等腰直角三角形，则OP2+OQ2＝PQ2，即可求解；②求出点A、B、R的横坐标，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与直线y＝1只有一个公共点，则抛物线顶点的纵坐标为1，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，故顶点坐标为（1，1），
当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
而x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
故﹣a+c＝1，
故a＝c﹣1；
（2）①b＝﹣2，则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2x+c，
设点P（t，1），则点Q（﹣t，1），
则PQ＝2t，OP＝＝OQ，
∵△OPQ是等腰直角三角形，
∴OP2+OQ2＝PQ2，即2（t2+1）＝4t2，
解得：t＝±1（舍去﹣1），
故点P（1，1），
由（1）得，b＝﹣2a＝﹣2，解得：a＝1，c＝a+1＝2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+2；
②如图，过点A、R、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、H、N，
则，
设＝（m＞0，m为常数），
则OM＝m•AO，ON＝m•OB，OH＝m•OR
∵点A、B是直线y＝kx与抛物线的交点，
∴联立两个函数表达式并整理得：x2﹣（2+k）x+2＝0，
故x1+x2＝2+k，x1•x2＝2，
故＝＝，
∴，即，
联立两条直线表达式得，解得：x＝＝OH＝m•OR，
∴＝＝（），
故每个给定的实数k，总有+＝成立．
成绩（分）
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
人数
3
2
3
1
1
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