2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题（含解析）

这是一份2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=−1,0,1,2,B=xx>0，则下列结论不正确的是
A. 1∈A∩BB. ⌀⊆A∩B
C. 2⊆A∩BD. xx>0=A∪B
2.函数y=1 2x−1的定义域是( )
A. 12,+∞B. −∞,12C. 12,+∞D. −∞,12
3.复数i2+i在复平面上所对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知平面向量a=(1,−1),b=(2,λ)，若a→⊥b→，则实数λ=( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
5.已知sinθ+π6=csθ，则tan2θ=
A. 33B. 3C. 2 33D. 2 3
6.上、下底面圆的半径分别为r、2r，高为3r的圆台的体积为
A. 7πr3B. 21πr3C. 5+2 2πr3D. 5+ 2πr3
7.从集合1,2,3,4,5中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是
A. 35B. 710C. 45D. 910
8.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=klg3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100，则游速为1m/s的鲑鱼耗氧量是静止状态下鲑鱼耗氧量的
A. 3倍B. 6倍C. 9倍D. 12倍
9.不等式(x−e)(ex−1)<0(其中e为自然对数的底数)的解集是( )
A. {x|0C. {x|x<0或x>1}D. {x|x<0或x>e}
10.已知a为实数，则“∀x>0，ax+1x⩾2”是“a⩾1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
11.若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在区间[−π12,π6]上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. (0,2]B. (0,4]C. (0,6]D. (0,8]
12.在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2，AB>A1B1，侧棱AA1与底面ABC所成角的余弦值为 33.若此三棱台存在内切球(球与棱台各面均相切)，则此棱台的表面积是( )
A. 7 32B. 5 32C. 9 34D. 3 34
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.下列不等式正确的是( )
A. ( 2)4>4 2B. ( 2)4<4 2C. lg23>lg45D. lg2314.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A. BC1//A1DB. BC1//平面A1ADD1
C. BC1⊥B1D1D. BC1⊥平面A1B1CD
15.已知函数f(x)=2sinx+cs2x，则( )
A. f(x)的最小值是−3B. f(x)的最大值是 5
C. f(x)在区间(−π6,0)内存在零点D. f(x)在区间(π2,π)内不存在零点
16.在ΔABC中，AB=3，AC=1，∠BAC=π3，点D，M分别满足AB=3AD，BC=2MC，AM与CD相交于点F，则( )
A. CD=13AB−23ACB. AF=12AM
C. |AM|= 132D. cs∠DFM= 1313
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
17.已知A, B是相互独立事件，PA=23,PB=12，则PAB=_________．
18.函数y=lg2x的反函数是 ．
19.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)+f(2−x)=4，则f(2023)= ．
20.已知a,b,c是同一平面上的3个向量，满足|a|=3,|b|=2 2,a⋅b=−6，则向量a与b的夹角为 ，若向量c−a与c−b的夹角为π4，则c的最大值为 ．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表.“地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了55,65,65,75,75,85,85,95,95,105(单位：秒)这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
(1)求图中a的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数(结果精确到0.1)；
(2)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
22.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2．
(1)求三棱锥P−ABC的体积；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(3)设点D在棱PB上，AD=CD，求二面角D−AC−B的正弦值．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−2x−asin(π2x)，a∈R．
(1)若a=1，求f(x)在区间[0,1]上的最大值；
(2)若关于x的方程f(x)+a+1=0有且只有三个实数根x1，x2，x3，且x1证明：(i)x1+x3=2x2；(ii)f(2x3+1)−7f(x1)+8x1≤18．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的基本运算，根据交集和并集的定义以及集合之间的关系求解即可。
【解答】
解：A∩B={1,2}，A∪B={x|x≥0或x=−1}，
1∈A∩B，⌀⊆A∩B，2⊆A∩B，
故D:{x|x>0}=A∪B错误.故选择：D
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数定义域的求解，属于基础题．
根据二次根式的性质求出函数的定义域．
【解答】
解：要使函数y=1 2x−1有意义，则2x−1>0，解得x>12．
所以函数y=1 2x−1的定义域为12,+∞．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，属于基础题．
利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
【解答】
解：z=i(2+i)=i2+2i=−1+2i，在复平面内对应的点是−1,2，位于第二象限．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用向量垂直的性质，能求出实数λ．
【解答】
解：平面向量a=(1,−1)，b=(2,λ)，
∵a→⊥b→，
∴a⋅b=2−λ=0，
解得实数λ=2．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两角和的正弦公式及同角三角函数的关系，属于基础题．
由题可得 tanθ= 33，同角三角函数的关系计算即得．
【解答】解：
sin(θ+π6)= 32sinθ+12csθ=csθ，得tanθ= 33，所以tan2θ=2× 331−13= 3．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆台的体积，根据圆台的体积公式进行求解即可．
【解答】
解：V=π(r2+4r2+2r2)⋅3r3=7πr3故选择：A
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查古典概型，属于基础题．
利用列举法，由此可解．
【解答】
解：不考虑顺序，两数之和大于5的组合有(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)六种，
而共有C52=5×41×2=10种取法，
故P=610=35．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了对数函数模型应用问题，属于基础题．
根据条件求出k的值，再代入速度公式列方程求出O的值．
【解答】解：由题意，2=klg381得k=12，设静止状态下鲑鱼耗氧量为O0，游速为1m/s时为O1，O=100⋅320，则O1O0=3230=9．
故选：C．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次不等式的解集问题，属于基础题．
根据题意，(x−e)(ex−1)=0的两个零点为0，e；分段讨论可得(x−e)(ex−1)<0时{x|0【解答】
解：设fx=(x−e)(ex−1)，两个零点为0，e，
根据y=x−e,y=ex−1都是R上的增函数，
所以可得：
当x<0时，x−e<0且ex−1<0，所以fx>0；
当00，所以fx<0;
当x>e时，x−e>0且ex−1>0，所以fx>0;
综上所述：不等式(x−e)(ex−1)<0解集为{x|0故选：B．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查基本不等式和充分必要条件的判断，属于基础题．
根据二次函数的性质与基本不等式，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】
解：若∀x>0，ax+1x⩾2，
则a≥−1x2+2x=−(1x−1)2+1，
当x=1时，不等式的右边取得最大值1，故a≥1，
故∀x>0， ax+1x⩾2时a≥1，充分性成立;
若a≥1，则x>0时，ax+1x⩾2 a≥2，当且仅当x=a=1时，等号成立，
即ax+1x⩾2恒成立，
因此，由“a≥1”可以推出“∀x>0，ax+1x⩾2”，必要性成立．
综上所述，“∀x>0，ax+1x⩾2”是“a≥1”的充要条件．
故选：C．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
根据正弦函数的单调性，得出不等式2kπ−π2−π6ω⩽−π12 且π6⩽2kπ+π2−π6ω，k∈Z，求解即可．
【解答】
解：由2kπ−π2⩽ωx+π6⩽2kπ+π2 ，k∈Z，
得2kπ−π2−π6ω⩽x⩽2kπ+π2−π6ω，k∈Z，
所以2kπ−π2−π6ω⩽−π12 且π6⩽2kπ+π2−π6ω，k∈Z，
解得ω≤−24k+8且ω≤12k+2，k∈Z.
又ω>0，所以0<ω≤2.
故选：A．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了棱台表面积，球的切、接问题、棱台的结构特征，属于中档题．
取BC和B1C1的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为O1，O2，设A1B1=x，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及O2P，O1Q，再根据切线的性质及等腰梯形BB1C1C和梯形AA1QP的几何特点列方程组求出半径即可．
【解答】
解：如图，
取BC和B1C1的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为O1，O2，
设A1B1=x，内切球半径为r，因为tan∠A1AO2= 2，棱台的高为2r，
所以AA1=BB1=CC1= (2r)2+( 2r)2= 6r，
O2P=13AP=13× 32AB= 33，同理O1Q= 36x，
因为内切球与平面BCC1B1相切，切点在PQ上，所以PQ=O2P+O1Q= 36(x+2) ①
在等腰梯形BB1C1C中，PQ2=( 6r)2−(2−x2)2 ②，
由①②得6r2−(2−x2)2=(x+2)212，
在梯形AA1QP中，PQ2=(2r)2+( 33− 36x)2 ③，
由②③得2−x= 6r，代入得x= 1，则A1B1=1，PQ= 32，
所以此棱台的表面积是12×1×1× 32+12×2×2× 32+(1+2)× 322×3=7 32
故选：A．
13.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查比较大小，属于基础题．
利用指数函数和对数函数的性质即可比较．
【解答】
解：( 2)4=4<4 2，因此A错误，B正确;
lg45=12lg25=lg2 5故选：BC．
14.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查空间中线线、线面的位置关系等基础知识，属于中档题．
由直线与直线之间的关系判断A；线面平行的判定定理判断B;由线线位置关系判断C；由线面垂直的判定定理判断D．
【解答】
解：如图，连接AD1，A1D，B1D1，B1C，BD，
根据正方体结构特征，平面BCC1B1//平面AA1D1D，
故BC1,A1D分别在两个平行平面内，且它们不平行，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB/​/C1D1，AB=C1D1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，
所以BC1/​/AD1，
又AD1与A1D相交，所以BC1与A1D是异面直线，故A错误；
∵BC1/​/AD1，BC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，
所以BC1//平面A1ADD1 ，故B正确；
因为BD=BC1=C1D，则△BC1D为等边三角形，
BC1,BD夹角为60°，
又BD//B1D1 ，所以BC1,B1D1成角为60°， 故C错误；
因为A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1，
又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1，A1B1,B1C⊂平面A1B1CD，
所以BC1⊥平面A1B1CD，故D正确．
故选：BD．
15.【答案】ACD
【解析】【分析】本题主要考查的是含sinx函数的最值，二倍角公式，零点与方程根的关系，二次函数的最值，属于中档题．
由二倍角公式原函数可化为f(x)=−2sin2 x+2sin x+1，令sinx=t，t∈−1,1，则g(t)=−2t2+2t+1，利用二次函数的最值即可判断AB，由x∈(−π6,0)，则t=sinx∈(−12,0)，利用零点存在定理即可判断g(t)的零点情况，进而判断f(x)的零点情况，即可判断C，同理判断D．
【解答】解：由题，f(x)=2sin x+cs 2x=2sin x+1−2sin2 x=−2sin2 x+2sin x+1，
令sinx=t，t∈−1,1，则g(t)=−2t2+2t+1=−2t−122+32∈−3,32，
故函数f(x)的最小值是−3，最大值为32，A正确，B错误；
当x∈(−π6,0)时，t=sinx∈(−12,0)，因为g−12=−12<0，g0=1>0，则g−12·g0<0，
故g(t)在(−12,0)内存在零点，故f(x)在区间(−π6,0)内存在零点，C正确；
当x∈(π2,π)时，t=sinx∈(0,1) ，因为g0=1>0，g1=1>0，则g0·g1>0，且gtmax=32>0
故g(t)在(0,1)内不存在零点，故f(x)在区间(π2,π)内不存在零点， D正确；
故选ACD．
16.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查平面向量的线性运算、数量积、模和夹角，属于一般题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：由题意，AB⋅AC=1×3×12=32，
取BD的中点N，连接MN，则DF/​/MN，且D为AN的中点，
因此F为AM的中点，选项B正确;
CD=AD−AC=13AB−AC，因此A错误;
AM=12AB+12AC⇒|AM|= (AB+AC)22= 1+9+32= 132，因此C正确;
cs∠DFM=cs=CD⋅AM|CD||AM|=(13AB−AC)⋅(12AB+12AC)|CD||AM|
=16AB2−12AC2−13AB⋅AC|CD||AM|= 1313，因此D正确．
17.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
可由事件A与事件B相互独立，得出结论．
【解答】
解：∵A、B是相互独立事件，且P(A)=23，P(B)=12，
∴ P(AB)= 23×12=13．
故答案为：13．
18.【答案】y=2x(x∈R)
【解析】【分析】
本题主要考查反函数的基本概念，属于基础题．
由题意知x=2y(y∈R)，再将x，y互换即可得到答案．
【解答】
解：∵y=lg2x，
∴x=2y(y∈R)，
∴函数y=lg2x的反函数为y=2x(x∈R)，
故答案为：y=2x(x∈R)．
19.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．
令x=1，求出f1=2，且f−1=2，再令x=−1，所以f3=2，总结出f(2n+1)=2，n∈N*，即可求出结果．
【解答】
解：因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
因为f(x)+f(2−x)=4，
令x=1，得f1+f1=4，解得f1=2，
且f−1=2，
令x=−1，得f−1+f3=4，
所以f3=2，则f−3=2
令x=−3，则f−3+f5=4，则f5=2，
故f(2n+1)=2，n∈N*，
∴f(2023)=2．
故答案为2．
20.【答案】135°
58

【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，以及三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
由向量数量积的定义，可得a，b的夹角为135°，设BA=a，BC=b，BD=c，要使|c|=|BD|取得最大，只需∠BAD=90°，∠BCD=90°，由解直角三角形和三角函数的和差公式，化简整理，可得所求最大值．
【解答】解：a⋅b=|a|⋅|b|⋅csa，b>=6 2cs=−6，
即有cs=− 22，∈(0°,180°)，
故a，b的夹角为135°，
如图，设BA=a，BC=b，BD=c，
又向量c−a与向量c−b的夹角为45°，
要使|c|=|BD|取得最大，只需∠BAD=90°，∠BCD=90°，
设∠ABD=θ，则|BD|=|BA|csθ=|BC|cs(135∘−θ)，
即3csθ=2 2cs(135°−θ)，
即有2 2csθ=−3 22csθ+3 22sinθ，
即为7 22csθ=3 22sinθ，
所以tanθ=sinθcsθ=73，
即有tanθ=|AD||AB|=AD3=73，AD=7，
所以|BD|= |BA|2+|AD|2= 9+49= 58．
故答案为：135°； 58．
21.【答案】解：(1)因为各组频率之和为1，组距为10，所以10×(0.01+0.025+a+0.02+0.01)=1，
解得a=0.035．
根据题意，第60百分位数将落在区间[75,85)内，故第60百分位数=75+10⋅2535≈82.1．
(2)红灯等待时间低于85秒的频率为0.1+0.25+0.35=0.7．
估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为10×0.7=7次．
【解析】本题主要考查频率分布直方图的解读、中位数和概率的估算，属于基础题．
(1)利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，可求出a的值；利用百分位数的定义可得出等待时间的百分位数；
(2)计算出红灯等待时间低于85秒的频率，即可估计出次数．
22.【答案】解：(1)因为PA⊥平面ABC，AC⊥BC，
所以VP−ABC=13SΔABC⋅PA=13×12×AC×BC×PA=13×12×1× 2×1= 26．
(2)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA;
又因为BC⊥AC，PA与AC相交于点A，PA,AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，因为BC⊂平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC．
(3)由(2)得：ΔPAB与ΔPBC是有公共斜边PB的直角三角形，
所以当点D是PB的中点时，有AD=CD=12PB成立，符合题意．
分别取AB，BC的中点E，F，连结DE，EF．
则由DE/​/PA得DE⊥平面ABC，且DF⊥AC，EF⊥AC，
所以∠DFE就是二面角D−AC−B的平面角．
因为DE=12PA=12，EF=12BC= 22，所以DF= 32，
所以sin∠DFE=DEDF= 33，即二面角D−AC−B的正弦值为 33．
【解析】本题考查三棱锥体积的计算，线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，求解二面角，属中档题．
(1)利用三棱锥的体积公式得出结论；
(2)证明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理进行证明；
(3)分别取AB，BC的中点E，F，连结DE，EF.证明∠DFE就是二面角D−AC−B的平面角，再求其正弦值得出结论．
23.【答案】(1)解： a=1 时， f(x)=x2−2x−sin (π2x)=(x−1)2−sin (π2x)−1 ，
当x∈[0,1]时，f′(x)=2x−2−π2cs(π2x)⩽0，当且仅当x=1时等号成立，
所以 f(x) 在区间 [0,1] 上单调递减，所以 f(x)max=f(0)=0 ．
(2)证明： f(x)=(x−1)2−asin(π2x)−1 ，
所以方程 f(x)+a+1=0 ，即 (x−1)2−a(sin(π2x)−1)=0 有且只有三个实数根，所以 a<0 ，
(i) 令 g(x)=(x−1)2−a(sin(π2x)−1) ，则 g(x) 的图象关于直线 x=1 对称，所以 x1+x3=2=2x2 ．
(ii) 由题意可知， f(x1)+a+1=0 ， f(x3)+a+1=0 ，
f(2x3+1)−7f(x1)+8x1=4x32−1−acs πx3+8(2−x3)+7(a+1) =4(x32−2x3)−acs πx3+15+7(a+1)
=4(asin (π2x3)−a−1)+7a+22−a(1−2sin2(π2x3))=a(2t2+4t+2)+18 ， (t=sin (π2x3)) ，
因为 a<0 ，所以 a(2t2+4t+2)+18≤18 ，
即 f(2x3+1)−7f(x1)+8x1≤18 ．

【解析】本题考查函数零点、方程的根的个数，利用函数的单调性求最值，求正弦型函数的值域或最值，函数的对称性，属于较难题．
(1)把a=1代入f(x)求解即可；
(2)(x−1)2−a(sin(π2x)−1)=0 有且只有三个实数根，所以 a<0 ，
(i)令 g(x)=(x−1)2−a(sin(π2x)−1) ，则 g(x) 的图象关于直线 x=1 对称求解即可；
(ii)根据 f(x1)+a+1=0 ， f(x3)+a+1=0 ，求解即可．