中考数学（包头卷）-2024年中考数学第三次模考试

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试（包头卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，故不正确，不符合题意；
B．，故不正确，不符合题意；
C．，故不正确，不符合题意；
D．，正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约55000000000千克．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．千克B．千克
C．千克D．千克
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
【详解】解：55000000000千克千克．
故选：C．
3．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题的关键．直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵的解集在数轴上为：，
∴，
解得：．
故选C．
4．如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，三角板的特点．掌握平行线的性质是解题关键．由三角板的特点可知，再根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
【详解】解：如图，
由含角的直角三角板的特点可知．
∵，
∴．
故选A．
5．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图形有两列，数量分别为1、2，据此即可判断答案．
【详解】解：由图形可知，主视图为
故选：D．
6．根据高考综合改革实施方案，河南2025年首届新高考，实行“3+1+2”模式. 其中“3”指的是语文、数学、外语三科必考科目，“1”指的是在物理和历史中任选一科，“2”指的是在思想政治、地理、生物和化学中任选两科，若小明在思想政治、地理、生物和化学中任选两科，则选中思想政治和化学的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题考查的是树状图法求概率．画出树状图，共有12种等可能的结果，其中小明选中地理和化学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：把思想政治、地理、生物和化学分别记为、、、，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明选中地理和化学的结果有2种，
小明选中地理和化学的概率是，
故选：B．
7．美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（ ）
A．1B．2C．D．5
【答案】C
【分析】由题意求得，根据的面积为梯形面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可求解．
【详解】解：∵的面积为1，
∴，即，
∵，即，
∴，即，
∴的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是利用面积关系，完全平方公式的变形求解．
8．在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后图象经过点，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为，然后把代入解得即可．
【详解】解：将直线向右平移2个单位长度后得到，
∵经过点，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，正确把握平移变换规律是解题关键．
9．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接BD，作，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出的度数，再由可得出是等边三角形，则，，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】连接BD，作，连接OD，
为四边形ABCD的外接圆，，
．
，
是等边三角形．
，，
．
故选D．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，．若的面积为，则k的值为（ ）
A．2B．C．D．8
【答案】C
【分析】作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解，
本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．
【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点、在反比例函数上，
∴，即：，即，
∴，即：，
∴，
∴，
∵反比例函数经过第一象限，
∴，
∴，
故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若，且为两个连续的正整数，则 ．
【答案】
【分析】
本题考查了无理数的整数估算，根据且为两个连续的正整数，得，再代入计算，即可作答．
【详解】解：∵，且为两个连续的正整数，
∴
即
∴
故答案为：
12．若关于的方程的一个根为3，则的值为 ．
【答案】
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
13．如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识．连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，设l交于点D，
由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
14．已知抛物线C：，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线的函数解析式为的 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于y轴对称点的特点．
由函数关于y轴对称点的特点是∶纵坐标不变，横坐标变为相反数，故把原抛物线上的顶点变换后，化简后可得关于y轴对称的抛物线解析式．
【详解】解∶，
抛物线的顶点
与关于轴对称，
顶点坐标是，
抛物线的函数解析式为的，即．
故答案为∶．
15．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
【答案】
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据三角形的面积公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而求得AE，最后由三角形面积公式求得结果．
【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∵∠ADC＝90°，CD=2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形．
16．如图，和都是等边三角形，连接AD，BD，BE，．下列四个结论中：①≌；②；③；④，正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③/③①
【分析】利用等边三角形的性质即可证明出；在四边形中，根据，可得，即；先求出，得，通过等量代换即可；根据即可判断．
【详解】解：和都是等边三角形，
，
，
，
，
故①正确；
，
在四边形中，
，
，
故②错误；
，
，
，
，
，
故③正确；
，
，
不一定等于，
不一定成立，
故④错误；
故答案是：①③．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定定理、勾股定理、多边形内角和，解题的关键掌握等边三角形的性质，通过等量代换的思想进行求解．
三、解答题本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17．（本小题满分8分）
（1）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是先利用完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，最后将代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
（2）解方程：．
【答案】
【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．
【详解】解：去分母（两边都乘以），得，
．
去括号，得，
，
移项，得，
．
合并同类项，得，
．
系数化为1，得，
．
检验：把代入．
∴是原方程的根．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．
18．（本小题满分8分）
“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．，B． ，C． ，D． ），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）；（2）6个；（3）见解析
【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解a，b的值，由扇形统计图可解得m的值；
（2）先计算在10个班中，八年级A等级的比例，再乘以30即可解题；
（3）分别根据各年级的众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可．
【详解】解：（1）根据题意得，七年级10个班的餐厨垃圾质量中， 出现的此时最多，即众数是 ；
由扇形统计图可知，
八年级的A等级的班级数为10×20%=2个，八年级共调查10个班，故中位数为第5个和第6个数的平均数，A等级2个班，B等级的第3个数和第4个数是1.0和1.0，故八年级10个班的餐厨垃圾质量的中位数为（1.0+1.0）÷2=1.0
；
（2）∵八年级抽取的10个班级中，餐厨垃圾质量为A等级的百分比是20%，
∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）；
答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．
（3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0；
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A等级的20%；
八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1；
②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26．
【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．（本小题满分8分）
数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点处测得砖塔顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走到达斜坡上的点，在点处测得砖塔顶端的仰角为．若斜坡的坡比，且点在同一水平线上．
(1)求点到水平线的距离；
(2)求砖塔的高度（结果保留根号）．
【详解】（1）解：如图，作于，则，
，
斜坡的坡比，
，
设，则，
由题意得：，，
，
解得：，
，
点到水平线的距离为；
（2）解：如图，作于，
，
则，
四边形为矩形，
，，
设，则，
，，
，
，
解得：，
，
砖塔的高度为．
20．（本小题满分11分）
荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．
(1)求，饰品每件的进价分别为多少元？
(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件，
①求的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【详解】（1）（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元．
由题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．
（2）①根据题意得：，
解得：且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元．
当时，，
即，
，
随的增大而减小．
当时，有最大值3480．
当时，
整理得：，
，
随的增大而增大．
当时，有最大值3630．
，
的最大值为3630，此时．
即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
21．（本小题满分12分）
如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．
(1)求证：；
(2)若⊙的半径，求线段的长．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴．
∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，连接．
∵为直径，
∴
，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
22．（本小题满分12分）
平行四边形ABCD中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
(1)当点E在线段上，时，如图①，求证：；
(2)当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_______．
【详解】（1）证明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
；
（2）如图②，当点E在线段延长线上，时，

同（1），，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即；
如图③，当点E在线段延长线上，时，

∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
∴
四边形是平行四边形，
．
∴
即
（3）如图①，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵
∴
中，,，
由，得；
如图②，，则,中，，
∴,与矛盾，故图②中，不存在，的情况；
如图③，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
综上，或7．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定是解题的关键．
23．（本小题满分13分）
抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．
【详解】（1）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，作轴于点，
对于，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵∠CAP=90°，
∴，
∵，
∴，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点，
∵，
∴点，
∴，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%