中考数学（北京卷）-2024年中考数学第三次模考试

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，是一行两个矩形．
故选：B．
2．（2分）风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ）
A．0.358×105B．35.8×103C．3.58×105D．3.58×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：35800＝3.58×104．
故选：D．
3．（2分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
4．（2分）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为2340°，那么这个多边形的一个外角的度数为（ ）
A．24°B．30°C．36°D．60°
【分析】根据多边形的内角和公式为（n﹣2）180°列出方程，求出边数，再根据外角和定理求出这个多边形的一个外角．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意列方程：（n﹣2）180°＝2340°，
解得n＝15，
360°÷15＝24°，
故选：A．
5．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b﹣c＞0B．ac＞0C．b+c＜0D．ab＜1
【分析】根据数轴可知：﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，由此逐一判断各选项即可．
【解答】解：由数轴可知：﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，
A、∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴b﹣c＜0，故选项A不符合题意；
B、∵﹣3＜a＜﹣2，0＜c＜1，∴ac＜0，故选项B不符合题意；
C、∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴b+c＜0，故选项C符合题意；
D、∵﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1，∴ab＞1，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．（2分）如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果，
所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为，
故选：D．
7．（2分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＞﹣且k≠0
C．k＞﹣D．k＜且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0且二次项系数不为0，求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（4k﹣1）2﹣4k（4k﹣3）＞0且k≠0，
解得：k且k≠0．
故选：B．
8．（2分）在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点，∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①；②AE2+BF2＝EF2；③；④△DEF始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】连接CD，根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE＝CF，进而得出CE＝BF，就有AE+BF＝AC，由勾股定理AE2+BF2＝EF2，因为S四边形CEDF＝S△EDC+S△EDF，得出．
【解答】解：连接CD，
∵AC＝BC，
点D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°．
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°，
∴∠ADE＝CDF．
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF．
∵AC＝BC，
∴AC﹣AE＝BC﹣CF，
∴CE＝BF．
∵AC＝AE+CE，
∴AC＝AE+BF．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
∴．
∵DE＝DF，∠GDH＝90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形．
∵CE2+CF2＝EF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
∵S四边形CEDF＝S△EDC+S△EDF，
∴．
∴正确的有4个．
故选：D．
第Ⅱ卷
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 x≠3 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
10．（2分）因式分解：xy3﹣25xy＝ xy（x+5）（x﹣5） ．
【分析】先提公因式xy，然后根据平方差公式进行计算即可求解．
【解答】解：原式＝xy（y2﹣25）＝xy（y+5）（y﹣5）．
故答案为：xy（y+5）（y﹣5）．
11．（2分）分式方程的解为 ．
【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可．
【解答】解：，
3x＝x﹣3，
2x＝﹣3，
，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：．
12．（2分）已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x2＜0＜x1，那么y1 ＞ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣4＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x2＜0＜x1，
∴B在第二象限，A在第四象限，
∴y1＜y2；
故答案为：＜．
13．（2分）如图，在▱ABCD中，，连接BE，交AC于点F，AC＝10，则CF的长为 6 ．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥CB，AD＝CB，则AE＝AD＝CB，可证明△EAF∽△BCF，得＝＝，则CF＝AC＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∵AE＝AD，
∴AE＝CB，
∵AE∥CB，
∴△EAF∽△BCF，
∴＝＝，
∵AC＝10，
∴CF＝AC＝AC＝×10＝6，
故答案为：6．
14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠P＝62°，C是⊙O上的动点（异于A，B），连接CA，CB，则∠C的度数为 59或121 °．
【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝118°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，而∠P＝62°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣62°＝118°，
当点P在劣弧AB上，则∠ACB＝∠AOB＝59°，
当点P在优弧AB上，则∠ACB＝180°﹣59°＝121°．
故答案为：59或121．
15．（2分）一笔总额为1078元的奖金，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍．若把这笔奖金发给6个人，评一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且0＜a≤b≤c，那么三等奖的奖金金额是 98或77 元．
【分析】由a，b，c之间的关系结合a，b，c均为整数，即可得出a，b，c的值，设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，根据奖金的总额为1078元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论（取其为整数的值）．
【解答】解：∵a+b+c＝6，0＜a≤b≤c，且a，b，c均为整数，
∴，，．
设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，
依题意，得：4x+2x+4x＝1078，4x+2×2x+3x＝1078，2×4x+2×2x+2x＝1078，
解得：x＝107.8（不合题意，舍去），x＝98，x＝77．
故答案为：98或77．
16．（2分）把红、蓝、黄三种颜色的筷子各5根混在一起．如果让你闭上眼睛，每次最少拿出 4 根才能保证一定有2根同色的筷子；如果要保证有2双不同色的筷子，每次最少拿出 8 根．（2双不同色的筷子是指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）
【分析】根据题意可知，筷子的颜色共有3种，根据抽屉原理可知，先拿出3根是三种颜色，所以一次至少要拿出3+1＝4（根）筷子才能保证一定有2根同色的筷子；根据题意可知，先把其中一种颜色的全部（5根）摸出，剩下的2种颜色的筷子各再摸出1根，即2根，还不能满足条件，则此时再任意拿出1根，必定会出现有2双不同色的筷子，据此解答即可．
【解答】解：3+1＝4（根），
答：每次最少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子；
5+2+1＝8（根），
答：要保证有2双不同色的筷子，每次最少拿出8根．
故答案为：4，8．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：．
【分析】先分别按照负整数指数幂、求立方根、绝对值的化简法则及特殊角的三角函数值化简，再合并同类项及同类二次根式即可．
【解答】解：
＝﹣3+2+﹣1﹣4×
＝﹣2+﹣2
＝﹣2﹣．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得x≤﹣1，
由②得x＞﹣3，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤﹣1．
19．（5分）已知x+y＝6，xy＝9，求的值．
【分析】首先化简，然后把x+y＝6，xy＝9代入化简后的算式计算即可．
【解答】解：∵x+y＝6，xy＝9，
∴
＝
＝
＝
＝．
20．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC＝60°，∠C＝45°，DE＝2，求BC的长．
【分析】（1）四边形EBGD为菱形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断；
（2）过D作DM⊥BC于M，分别求出CM、BM即可；
【解答】解：（1）四边形EBGD为菱形；
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB＝ED，GB＝GD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDF＝∠GBF，
∴DE∥BG，同理BE∥DG，
∴四边形BEDG为平行四边形，
又∵DE＝BE，∴四边形EBGD为菱形；
（2）如图，过D作DM⊥BC于M，
由（1）知，∠DGC＝∠ABC＝60°，∠DBM＝∠ABC＝30°，DE＝DG＝2，
∴在Rt△DMG中，得DM＝3，在Rt△DMB中，得BM＝3
又∵∠C＝45°，
∴CM＝DM＝3，
∴BC＝3+3．
21．（6分）小明到文具店买文具，请你根据对话信息（小明：阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是一共112元？店员：不对呀，一共是144元．小明：啊……哦，我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了），求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
【分析】设中性笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设中性笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：中性笔的单价是2元，笔记本的单价是6元．
22．（5分）已知一次函数 y＝（k﹣2）x﹣3k+12．
（1）k为何值时，函数图象经过点（0，9）？
（2）若一次函数 y＝（k﹣2）x﹣3k+12 的函数值y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12图象经过点（0，9），列方程即可得到结论；
（2）根据k﹣2＜0时一次函数 y＝（k﹣2）x﹣3k+12 的函数值y随x的增大而减小，求出k的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12图象经过点（0，9），
∵（k﹣2）×0﹣3k+12＝9，
解得k＝1，
故当k＝1时，函数图象经过点（0，9）；
（2）∵一次函数 y＝（k﹣2）x﹣3k+12 的函数值y随x的增大而减小，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2．
故当k＝1或﹣1时，一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k+12的值都是随x值的增大而减小．
23．（5分）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67；
乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75；
【整理与分析】
（1）由上表填空：a＝ 1.68 ，b＝ 1.70 ；
（2）这两人中， 甲 的成绩更为稳定．
【判断与决策】
（3）经预测，跳高1.69m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由．
【分析】（1）利用众数及中位数的定义分别求得a、b的值即可；
（2）根据方差的计算公式分别计算方差，再根据方差的意义判断即可；
（3）看哪位运动员的成绩在1.69m以上的多即可．
【解答】解：（1）∵甲的成绩中1.68出现了3次，最多，
∴a＝1.68，
乙的中位数为b＝＝1.70，
故答案为：1.68，1.70；
（2）分别计算甲、乙两人的跳高成绩的方差分别：
S甲2＝×[（1.71﹣1.69）2+（1.65﹣1.69）2+…+（1.67﹣1.69）2]＝0.00065，
S乙2＝×[（1.60﹣1.69）2+（1.74﹣1.69）2+…+（1.75﹣1.69）2]＝0.00255，
∵S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩更为稳定；
故答案为：甲；
（3）应该选择乙，理由如下：
若1.69m才能获得冠军，那么成绩在1.69m及1.69m以上的次数乙多，所以选择乙．
24．（6分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠EAD；
（2）连接AC，若CD＝1，DE＝3，求AB的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质、圆内接四边形的性质证明∠BAD＝∠EAD；
（2）连接AC，证明△ADB≌△ADE，得到∠ABD＝∠E，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，证明△ACE∽△DAE，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD＝ED，
∴∠EAD＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E+∠BCD＝180°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠EAD；
（2）解：如图，连接AC，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴∠ABD＝∠E，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠E＝∠EAD，
∵∠E＝∠E，
∴△ACE∽△DAE，
∴＝，即＝，
解得：AE＝2，
∴AB＝AE＝2．
25．（5分）【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线y＝﹣0.04x2+bx+c的一部分，场景B的图象是直线y＝ax+c（a≠0）的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；
任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【分析】（1）应用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）分别求出y＝3时，x的值，再比较即可得到答案．
【解答】解：（1）场景A：把 （0，21），（10，16），代入 y＝﹣0.04x2+bx+c，
得：，
解得，
∴y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21；
场景B：把 （0，21），（5，16），代入y＝ax+c，
得：，
解得，
∴y＝﹣x+21；
场景A的函数表达式为 y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，场景B的函数表达式为 y＝﹣x+21；
（2）当y＝3时，
场景A中，3＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，
解得：x1＝20，x2＝﹣22.5（舍去），
场景B中，3＝﹣x+21，
解得 x＝18，
∵20＞18，
∴化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣（a+2）x+2a+1．
（1）若a＝2，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若A（m，n），B（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞﹣8．
【分析】（1）将a＝2代入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案；
（2）由题意可得（﹣1，y0）为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为x＝﹣1，从而计算出a的值，再将A（m，n），B（2﹣m，p）代入如抛物线的解析式得到n+p＝2（m﹣1）2﹣8，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝2，
∴抛物线的解析式为 y＝x2−4x+5，
∵y＝x2−4x+5＝（x−2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）；
（2）∵抛物线过点 （−1，yn），且对于抛物线上任意一点 （x1，y1） 都有 y1≥y0，
∴（−1，y0） 为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，
∴＝−1．
∴a＝﹣4，
∴该抛物线的解析式为 y＝x2+2x−7，
∵A（m，n），B（2﹣m，p）是抛物线上不同的两点，
∴n＝m2+2m−7，p＝（2−m）2+2（2−m）−7．
∴n+p＝m2+2m﹣7+（2﹣m）2+2（2﹣m）﹣7＝2（m﹣1）2﹣8，
又∵m≠2﹣m，
∴m≠1，
∴n+p＞﹣8．
27．（7分）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF．
观察猜想：
（1）如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的位置关系为 AE＝CF ；
探究发现：
（2）如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）若△ABC中，，在△DEF旋转过程中，当且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长．
【分析】（1）如图所示，连接AD，根据等腰三角形的性质可证△AED≌△CFD（SAS），由此即可求解；
（2）由（1）中△AED≌△CFD（SAS），再根据△DEF为等腰直角三角形，由此即可求解；
（3）点C、E、F三点共线，分类讨论，根据（2），（3）中的结论即可求解．
【解答】解：（1）AE＝CF，理由如下，
如图所示，连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ACD＝∠DAC＝45°，
∴AD＝CD，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，
∴DE＝DF，∠EDA+∠ADF＝∠ADF+∠FDC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDC，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：如图2所示，连接AD，
由（1）可知，△AED≌△CFD（SAS），
∴∠EAD＝∠FCD，AE＝CF，
∴CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴CE﹣AE＝CE﹣CF＝EF，
∵△DEF是等腰直角三角形，即DE＝DF，
∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，
∴EF＝DE＝DF，
∴CE﹣AE＝DE；
（3）解：AB＝，AE＝，C、E、N三点共线，
①由（2）可知，CE﹣AE＝DE，
由（1）可知，∠EAD＝∠FCD，
∵∠ACD＝∠ACE+∠FCD＝45°，∠DCF+∠FCA+∠DAC＝90°，
∴∠EAD+∠FCA+∠DAC＝90°，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，AB＝AC＝，AE＝CF＝，
∴CE＝＝＝，
∴EF＝CE﹣CF＝，
∴DE＝FE＝；
②如图所示，由（1）可知，△ADE≌△CDN，AE＝CF＝，∠DAE＝∠DCF，
∴∠DAE+∠EAC+∠ACD＝∠DCF+∠EAC+∠ACD＝90°，
∴△AEC是直角三角形，
∴CE＝＝＝，
∴EF＝CF﹣CE＝（不符合题意舍去）；
③如图，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠F＝∠DEF＝45°，
同法可证△ADE≌△CDF，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∴∠AED+∠DEF＝45°+45°＝90°，即△ACM是直角三角形，
在Rt△ACE中，AB＝AC＝，AE＝CF＝，
∴CE＝＝＝，
∴EF＝CE+CF＝，
∵EF＝DE，
∴DE＝＝；
综上所述，DE的长为或．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．
（1）如图1，点C（，0），D（0，﹣1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP，DP．
①线段DP的最小值为 ，最大值为 2 ；线段OP的取值范围是 ；
②点O与线段DE 是 （填“是”或“否”）满足限距关系；
（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点G纵坐标的取值范围；
（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，3为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，DP的最大值，最小值即可解决问题；
②根据限距关系的定义判断即可；
（2）根据两直线平行k相等计算设FG的解析式为：y＝﹣x+b，得G（0，b），F（b，0），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG 与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可；
（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵点C（，0），E（0，1），
∴OE＝1，OC＝，
∴EC＝2，∠ECO＝30°，
当OP⊥EC时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是，
Rt△OPC中，OP＝OC＝，即OP的最小值是；
如图2，当DP⊥EC时，DP的值最小，
Rt△DEP中，∠OEC＝60°，
∴∠EDP＝30°，
∵DE＝2，
∴cs30°＝，
∴＝，
∴DP＝，
∴当P与E重合时，DP的值最大，DP的最大值是2，
线段DP的最小值为，最大值为2；线段OP的取值范围是；
故答案为：，2，；
②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，如图3，
故点O与线段DE满足限距关系；
故答案为：是；
（2）∵点C（，0），E（0，1），
∴设直线CE的解析式为：y＝kx+m，
∴，解得，
∴直线CE的解析式为：y＝﹣x+1，
∵FG∥EC，
∴设FG的解析式为：y＝﹣x+b，
∴G（0，b），F（b，0），
∴OG＝b，OF＝b，
当0＜b＜时，如图5，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1﹣b，最大距离为1+b，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+b≥2（1﹣b），
解得b≥，
∴b的取值范围为≤b＜；
当1≤b≤6时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，
当b＞6时，如图6，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为b﹣1，最大距离为b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴b+1≥2（b﹣1），
而b+1≥2（b﹣1）总成立，
∴b＞6时，线段FG 与⊙O满足限距关系，
综上所述，点G的纵坐标的取值范围是：b≥2；
（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，
两圆的距离的最小值为2r﹣6，最大值为2r+6，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+6≥2（2r﹣6），
解得r≤9，
故r的取值范围为0＜r≤9．
阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是共112元．

不对呀，是144元．
啊……哦我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了．
平均数
众数
中位数
甲
1.69
a
1.68
乙
1.69
1.69
b