考题猜想4.2 二元一次方程组 （11种计算题）（原卷版+解析版）

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【考试题型1】根据二元一次方程组的错解求参数/代数式的值
1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，能求出a、b的值是解此题的关键．根据已知条件，把方程的解代入相应的方程，即可求出a、b的值．
【详解】解：，
将代入②得：③，
将代入①得：④，
联立③④解得：
综上所述：
2．（23-24七年级下·江西新余·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得，乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值；把m与n的值代入即可求得平方根．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴的平方根为，
即：的平方根为．
3．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）甲、乙两名同学在解方程组时，甲同学因看错了，从而求得解为，乙同学因看错了，从而求得解为，计算，并用幂的形式表示结果．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同底数幂的乘法及幂的乘方，解题关键是由二元一次方程组的解，求出，的值．根据题意，甲同学看错了，可将甲的解代入得，乙同学看错了，将乙的解代入得，求解即可得出，的值，再代入式子计算即可．
【详解】解：由题意得 ，解得，
，解得，
．
【考试题型2】根据二元一次方程组的错解求原方程的解
4．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．
【答案】．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求解即可得到答案．
【详解】解：把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把，代入方程组得：，
得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为．
5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的n，得到的方程组的解为．
(1)求出方程组正确的解；
(2)计算的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解方程的解满足方程是解答的关键．
（1）根据题意得到，进而求得m、n值，然后代入原方程组中解方程组即可；
（2）将求得的m、n代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，解得，
∴原方程组为，
得，
将代入①中，得，
∴原方程组的解为；
（2）解：将代入中，得
．
6．（23-24七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得
(1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？
(2)试求原方程组的解．
【答案】(1)甲把m错看成了2，乙把n错看成了1
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，二元一次方程解的定义：
（1）把代入中求出m的值，把代入求出n的值即可得到答案；
（2）根据题意可得甲的结果满足②，则是方程的解，同理可得是方程的解，据此求出m、n的值，然后得到正确的原方程组，再解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解： 把代入中得，解得，
把代入中得，解得，
∴甲把m错看成了2，乙把n错看成了1；
（2）解：∵甲解题看错了①中的m，
∴甲的结果满足②，
∴是方程的解，
∴，
∴，
同理可得是方程的解，
∴，
∴；
∴原方程组为
解得．
【考试题型3】解含参数的二元一次方程组
7．（21-22七年级下·重庆·期中）已知，是整数，且满足，，则整数的所有可能值有（ ）个
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】先联立两个方程组成方程组，再消去y可得再根据整数解的条件进行讨论，并检验即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
②-①得：
当时，
都为整数，
∴或或或或或
此时也为整数，
所以a的所有的可能的值有6个，
故选C
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法及整数解的含义”是解本题的关键．
8．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的正整数解 ；
(2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ；
(3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解．
【答案】(1)
(2)0或
(3)当时；当时
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程：
（1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解；
（2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案；
（3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵、为正整数，
∴是3的倍数，且，
∴只有，满足题意，
∴方程的正整数解为；
故答案为： ；
（2）解；∵为负整数，，
∴或或或，
解得或（舍去）或或（舍去）；
故答案为：0或；
（3）解：，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为
∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，
∴都是正整数，
∴当为正整数时，或或或；
当为正整数数，或，
∴只有当或时都是正整数，
∴或，
∴当时，；当时，。
9．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在整数m，使不等式的解集为．若不存在，请说明理由；若存在，请求出整数m的值．
【答案】(1)
(2)存在．，
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式(组)，解决本题的关键是求出方程组的解集．
（1）根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围；
（2）根据不等式的解集为，求出m的取值范围，即可解答；
【详解】（1）解：
解得．
∵解满足，，
∴．
解得．
（2）存在．
理由：∵，
∴．
∵解集为，
，
解得．
由（1）得，
∴．
∵m取整数，
∴，．
【考试题型4】根据二元一次方程组有公共解求解
10．（22-23七年级下·福建福州·期中）已知关于的方程组．
(1)当时，求的值；
(2)将方程①和方程②左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，求这个公共解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）①加②式得到一个新方程，根据方程的特点即可求得的值；
（2））①加②式得到一个新方程根据题意列方程即可得到公共解．
【详解】（1）解：，
①②，得：，
整理得：，
∵，
∴，
∴将，代入①，得：，
（2）解：，
①②，得：，
整理得：，
根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关，
∴，
解得：，
【点睛】本题考查了二元一次方程的解法及与解二元一次方程相关的知识点，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
11．（2023九年级下·广东江门·学业考试）已知关于x，y的方程组和有公共解，求m，n的值．
【答案】
【分析】利用已知得出方程组与题干中的两个方程组的解相同，进行求解即可．
【详解】和有公共解，
的解也是上述两个方程的解，
解得：，
故，即，
．
∴
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，利用方程组的有公共解得出，的值是解题关键．
12．（21-22七年级下·福建厦门·期中）已知关于，的方程组
(1)若方程组的解满足，求m的值；
(2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，联立方程组，可求得x，y的值，再将x，y代入m﹣2y+mx+9＝0，即可求得m的值．
（2）将m﹣2y+mx+9＝0变形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，由题意可得1+x＝0，可求得x的值，将所求x的值代入m﹣2y+mx+9＝0，可求得y的值，即为所求的公共解．
【详解】（1）解：根据题意，联立，
①﹣②，得y＝5，
将y＝5代入①，得x＝﹣5．
把代入m﹣2y+mx+9＝0，
可得m﹣2×5﹣5m+9＝0，
解得m＝．
∴m的值为．
（2）解：这个公共解为．
理由：将m﹣2y+mx+9＝0变形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，
∵无论实数m取何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，
∴1+x＝0，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入m﹣2y+mx+9＝0，
可得y＝．
∴这个公共解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法．
【考试题型5】根据二元一次方程组解的情况求参数
13．（23-24七年级下·山东威海·期中）二元一次方程组的解x，y的值相等，求k的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，根据的解x，y的值相等，求出x、y的值，然后再代入求值即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解x，y的值相等，
∴，
解得：，
把代入得：，
解得：．
14．（23-24七年级下·北京昌平·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，严格遵循解不等式的基本步骤是解答本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．将两个方程相加得出，结合知，据此列出关于的不等式，解之可得．
【详解】解：两个方程相加可得，
，
，
则，
解得．
15．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握解法步骤是解本题的关键，先把②①，得．再利用代入法可得新的方程，再解方程可得答案．
【详解】解：令，
②①，得．
方程组的解满足，
．
．
解得．
16．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式，熟练掌握方程组和不等式的解法是解题关键．先利用加减消元法求出，再根据建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
∵，
∴，
解得．
【考试题型6】同解方程组
17．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于，的方程组与有相同的解，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了方程组同解得问题，解一元二次方程组，代数式求值，根据给出的方程组同解，联立即可求得，代入即可求出a，b的值，进而代入得出结果．
【详解】解：方程组与有相同的解，
联立得，解得，
将代入，得，
解得
则．
18．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)已知实数的两个平方根是的立方根是n，求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查同解方程组、解二元一次方程组及平方根和立方根，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）根据题意，联立，解方程组可求得x，y的值，即为所求．
（2）将代入，可得关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n，进而可求a和b的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，
联立，
①②，得，
解得，
把代入①，得，
解得．
∴这个相同的解为．
（2）解：将代入，
得，
③④，得，
把代入③，得，
解得．
∴，
∴；
∴，即，
∴，
∴，
∵4的算术平方根是2．
∴的算术平方根为2．
【考试题型7】换元法解二元一次方程组
19．（23-24七年级下·山东威海·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，将方程组化为与方程组系数相同的形式是本题的关键．设， 由得：，再求解即可．
【详解】解：由，得：
，
设，
由得：，
∵方程组的解是，
是方程组的解， ，
解得：．
20．（23-24七年级下·河南南阳·期中）（1）观察发现：
材料：解方程组
将①整体代入②，得，
解得
把代入①，得，
所以②，
这种解法称“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为 ．
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值．
【答案】（1）（2）（3）1，2
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
（2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
（3）方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出正整数值即可．
【详解】解：（1）由①得：③，
将③代入②得：，即，
将代入③得：，
则方程组的解为．
故答案为．
（2）由①得：③，
将③代入②得：，即，
将代入③得：，
解得，
则方程组的解为．
（3）
得：，即，
代入不等式得：，
解得：，
则满足条件的正整数值为1，2．
故答案为：1，2．
21．（23-24七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．原方程组化为，解得，
把代入，，得，解得，
原方程组的解为．
(1)学以致用：
运用上述方法解方程组：
(2)拓展提升：
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组：
（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解；
（2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可．
【详解】（1）解：令，，
原方程组化为，
解得，
，
解得：，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：在中，令，，
则可化为，
∵方程组解为，
∴，
，
故答案为：．
【考试题型8】与二元一次方程组有关的新定义问题
22．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求+的值．
【答案】(1)1；
(2) ．
【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组：
（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
， 则有方程组，
解得，
∴．
23．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组．
(1)请写出方程的共轭二元一次方程： ；
(2)若方程中的值满足表格：
求这个方程的共轭二元一次方程；
(3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到；
（2）根据表格的数据求得，即可求得这个方程的共轭二元一次方程；
（3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中与的关系即可得到答案．
【详解】（1）解：方程的共轭二元一次方程是，
故答案为：；
（2）解：方程中，当时，；当时，，
，
解得，
这个方程的共轭二元一次方程是；
（3）解：，
得，，
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
，
共轭方程组的解是，
．
24．（23-24七年级下·广东珠海·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，
如，所以的麓外区间为．
(1)无理数的“麓外区间”是______；
(2)实数x，y，m满足关系式： ，求m的算术平方根的“麓外区间”．
(3)若某一个无理数T的“麓外区间”为，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T．
【答案】(1)
(2)
(3)，（答案不唯一）
【分析】本题考查无理数的估算，解三元一次方程组以及二元一次方程组的应用．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
（1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果；
（2）结合算术平方根的非负性得到求出m的值，进而求出求m的算术平方根的“麓外区间”即可．
（3）根据二元一次方程组的解代入方程，组成新的二元一次方程组，从而求得m，n的值，然后根据“麓外区间”定义写出一个符合题意的无理数即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的“麓外区间”是，
故答案为：．
（2）
∴，
联立得：
∴，
∵，
∴，
∴m的算术平方根的“麓外区间”是
（3）∵是关于 x，y的二元一次方程的一组正整数解，
∴
又由题意，有，
∴，解得
∴符合题意的无理数T为（答案不唯一）
【考试题型9】与二元一次方程组有关的规律探究问题
25．（2024七年级下·全国·专题练习）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下：
，，，．……
，，，．……
(1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处．
(2)猜想第n个方程组和它的解并验证．
(3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，它不符合（1）中的规律
【分析】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数、常数与解的关系是解题的关键．
（1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数、常数与解的关系，确定第4个方程组，求解即可；
（2）通过观察，知第n个方程组及其解，将解代入方程组验证；
（3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律．
【详解】（1）解：解方程组，得；
（2）解：猜想第n个方程组为，解为，
验证如下：
把代入得，，
所以成立；
（3）解：将代入，解得，
即方程组为，所以它不符合（1）中的规律．
26．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析，，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为．
(1)直接写出满足方程的一个解______；
(2)解方程组．
【答案】(1)（答案不确定，满足方程即可）
(2)
【分析】（1）根据方程解的定义，先假定x等于一个数，再求出对应的y即可；
（2）仿照例题，设，，，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出m，n的值，进而求出方程组的解．
【详解】（1）解：当时，方程成立，
故方程的解可以是：，
故答案为：（答案不确定，满足方程即可）
（2）设，，原方程组转化为，
解得，
∴，由倒数定义得，原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键．
27．（19-20七年级下·内蒙古兴安盟·期末）三位同学对下面这个问题提出了自己的看法：
若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解．
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；
乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；
丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，将方程组化为，然后通过换元替代的方法来解决？”
你认为这个方程组有解吗？如果认为有，求出它的解．
【答案】有解；．
【分析】方程组有解，理由为：根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可．
【详解】方程组有解，
∵方程组的解是，
∴方程组解为，
解得：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【考试题型10】与二元一次方程组有关的阅读理解问题
28．（23-24七年级下·云南·期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的一组正整数解______．
(2)若为正整数，则满足条件的正整数x的值有______个．
(3)2022-2023学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)6
(3)共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用：
（1）先求出，再求出方程的一组正整数解即可；
（2）根据题意可得是18的正因数，据此可得答案；
（3）设购买m本笔记本，n支钢笔，依题意得：，求出方程的非负整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴当时，，
∴原方程的一组正整数解为；
（2）解：∵是正整数，
∴是18的正因数，
∴或或或或或，
∴满足条件的正整数x的值有6个，
故答案为：6；
（3）解：设购买m本笔记本，n支钢笔，
依题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种购买方案．
答：共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔．
29．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：．
【答案】．
【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可变形为二元一次方程组，求得二元一次方程组的解，据此求解即可．
【详解】解：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，x
﹣1
2
y
2
1