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2022-2023学年湖南省邵阳二中高一（下）期末数学试卷（含答案解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省邵阳二中高一（下）期末数学试卷（含答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知i为虚数单位，z（1+i3）＝1+i，则z＝（ ）
A．﹣1B．iC．1﹣iD．﹣i
2．（5分）在锐角三角形ABC中，a＝2bsinA，则B＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β
4．（5分）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
5．（5分）已知，，c＝sin22°cs24°+cs22°sin24°，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．b＞c＞a
6．（5分）在△ABC中，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台ABCD﹣A′B′C′D′是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中AB＝2A′B′＝2，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
A．20πB．C．D．
8．（5分）设函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有，且对任意的，
不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，0]B．[﹣5，0]C．[﹣5，1]D．[﹣2，1]
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2≤0”
B．若x∈R，则“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分条件
C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A，B是对立事件
D．若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立
（多选）10．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为，则下列四个结论错误的是（ ）
A．
B．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1•z2＝0
C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|恒成立
D．若，则Z1＝Z2
（多选）11．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的是（ ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若a＝2，b，B，则该三角形有两解
C．若acsA＝bcsB，则△ABC一定为等腰三角形
D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．CH⊥BD
B．二面角D1﹣AB1﹣C的大小为
C．点H到平面B1CD1距离的取值范围是
D．若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知x＞0，则的最小值为 ．
14．（5分）若，则 ．
15．（5分）一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为 ．
16．（5分）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，，若，，与的夹角为60°．
（1）求；
（2）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
18．（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；
（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，PD＝2，M是PC的中点．
（1）证明：BM∥面PAD；
（2）证明：平面ABM⊥平面PCD；
（3）求三棱锥M﹣PAB的体积．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若D为边BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB＝2∠ACB，求的取值范围．
21．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1，AA1⊥平面ABC，平面AB1C⊥平面ABB1A1．
（1）求证：AC⊥BB1；
（2）若AB＝2A1B1＝2，△AB1C的面积为4，求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg4（4x+1）﹣mx是偶函数．
（1）求m的值；
（2）若g（x）＝4f（x），a＞0，b∈R，不等式b•g2（x）﹣|a•g（x）﹣b|+a≥0对任意恒成立，求的取值范围．
2022-2023学年湖南省邵阳二中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，z（1+i3）＝1+i，则z＝（ ）
A．﹣1B．iC．1﹣iD．﹣i
【解答】解：z（1+i3）＝1+i，
则z（1﹣i）＝1+i，
故z．
故选：B．
2．（5分）在锐角三角形ABC中，a＝2bsinA，则B＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵a＝2bsinA，
由正弦定理可得：sinA＝2sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴sinB，
∵△ABC为锐角三角形，
∴B．
故选：A．
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β
【解答】解：A：m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，错误；
B：m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，错误；
C：α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行，错误；
D：m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α∥β，故n⊥β，正确．
故选：D．
4．（5分）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
【解答】解：该难题没被解出的概率为p＝（1﹣0.4）（1﹣0.5）＝0.3，
所以该难题被解决出的概率为1﹣p＝0.7．
故选：C．
5．（5分）已知，，c＝sin22°cs24°+cs22°sin24°，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．b＞c＞a
【解答】解：∵cs（45°+1°）＝cs46°，
cs45°，
c＝sin22°cs24°+cs22°sin24°＝sin（22°+24°）＝sin46°＝cs44°，
∵函数y＝csx在（0°，90°）上单调递减，46°＞45°＞44°，
∴cs46°＜cs45°＜cs44°，即a＜b＜c，
故选：B．
6．（5分）在△ABC中，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，
∴（），
∴32，∵，
∴λ＝﹣2，μ＝3，
∴，
故选：A．
7．（5分）在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台ABCD﹣A′B′C′D′是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中AB＝2A′B′＝2，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
A．20πB．C．D．
【解答】解：如图，连接AC、BD、A′C′、B′D′，
设AC∩BD＝M，A′C′∩B′D′＝N，连接MN．
∵棱台ABCD﹣A′B′C′D′侧棱相等，
∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，
如图当球心在线段MN延长线上时，
易得，MC＝2，
，NC′＝1，MN＝1，
由OC＝OC′得，NC′2+ON2＝OM2+MC2，
即1+（OM+MN）2＝OM2+4⇒1+（OM+1）2＝OM2+4⇒OM＝1，
故OC，
∴外接球表面积为．
如图当球心在线段MN上时，
由OC＝OC′得，NC′2+ON2＝OM2+MC2，
即1+（MN﹣OM）2＝OM2+4⇒1+（1﹣OM）2＝OM2+4⇒OM＝﹣1（舍）．
故选：A．
8．（5分）设函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有，且对任意的，
不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，0]B．[﹣5，0]C．[﹣5，1]D．[﹣2，1]
【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+∞）递增，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，
时，x﹣2∈[，﹣1]，
故f（x﹣2）≥f（1），
若任意的，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，
则时，|ax+1|≤1恒成立，
故﹣1≤ax+1≤1，x∈[，1]，
故﹣2≤ax≤0，x∈[，1]，
故a≤0，x∈[，1]，
而a≥（）max＝﹣2，
故﹣2≤a≤0，
故选：A．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2≤0”
B．若x∈R，则“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分条件
C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A，B是对立事件
D．若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立
【解答】解：对于A，命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”，所以A不正确．
对于B，若x∈R，则“x2＝1”推不出“x＝1”，反之成立，所以若x∈R，则“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分条件．所以B正确．
对于C，举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，
举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，
事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，
则P（A）＝P（B），满足P（A）+P（B）＝1，但A，B不是对立事件，C说法错误．
对于D，若事件A，B相互独立，则满足P（AB）＝P（A）P（B），D说法正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为，则下列四个结论错误的是（ ）
A．
B．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1•z2＝0
C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|恒成立
D．若，则Z1＝Z2
【解答】解：对于A，设z1＝i，z2＝﹣i，则|z1﹣z2|2＝|2i|2＝4，
而（z1+z2）2﹣4z1z2＝﹣4，显然不相等，故A错误；
对于B，取z1＝1，z2＝i，则有|z1+z2|＝|z1﹣z2|，
但z1．z2≠0，故B错误；
对于C，|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|即||≤||+||，
由向量减法的运算法则可知，当与反向共线时等号成立，
故此不等式恒成立，C正确；
对于D，由可得，
即||＝||，不一定有z1＝z2，故D错误．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的是（ ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若a＝2，b，B，则该三角形有两解
C．若acsA＝bcsB，则△ABC一定为等腰三角形
D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形
【解答】解：A中，在三角形中，由大边对大角，因为A＞B，所以a＞b，再由正弦定理可得sinA＞sinB，所以A正确；
B中，若a＝2，b，B，因为a•sin2b，且b＞a，可得该三角形有一个解，故B不正确；
C中，acsA＝bcsB，由正弦定理可得sinAcsA＝sinBcsB，可得sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以可得A＝B或A+B，即可得三角形为等腰三角形或直角三角形，故C不正确；
D中，sin2C＞sin2A+sin2B，由正弦定理c2＞a2+b2，可得csC0，所以C为钝角，所以D正确；
故选：AD．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．CH⊥BD
B．二面角D1﹣AB1﹣C的大小为
C．点H到平面B1CD1距离的取值范围是
D．若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为
【解答】解：对于A，如图1，易得DB⊥面A1ACC1，由CH⊂面A1ACC1，可得CH⊥BD，故A正确；
对于B，如图2，易得D1B1＝D1A＝B1C＝AC＝D1C，
取AB1中点O，连接D1O，OC，可得D1O⊥AB1，CO⊥AB1，
∴∠D1OC为二面角D1﹣AB1﹣C的平面角，
在△D1OC中，∵D1O＝CO，D1C，
∴cs∠D1OC，故B错误；
对于C，∵H在A处时距离最大，在A1距离最小，
当H在A处时，此时A﹣B1CD1为正四面体，且边长为，
设B1CD1的中心为O，则CO，则AO，
当H在A1处时，由，∴•h1×1×1，
解得h，
∴点H到平面B1CD1距离的取值范围是，故C正确；
对于D，如图3建立空间直角坐标系，则C（0，1，0），设H（1，0，t），0≤t≤1，
∵CH⊥平面β，∴平面β的法向量为（1，﹣1，t），
则直线CD与平面β所成角的正弦值为∈[，]，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知x＞0，则的最小值为 4 ．
【解答】解：∵x＞0，则24，当且仅当x 时，等号成立，
故答案为 4．
14．（5分）若，则 ．
【解答】解：
．
故答案为：．
15．（5分）一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为 5 ．
【解答】解：设这组数据为x1，x2，⋯，x6，均值为，
不妨设x1＝4，x2＝6，
方差为；
一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，
则新数据为1，9，⋯，x6，显然新数据的均值与原数据的均值相等，
其方差为；
即新数据的方差比原数据的方差增加了5．
故答案为：5．
16．（5分）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为 ．
【解答】解：作，，以为x轴建立平面直角坐标系，如图所示；
因为，，，所以点A的坐标为（3，0），点E的坐标为（，），
作，设点B（x，y），因为||＝||＝||＝1，所以1，
所以（x﹣3）3+y2＝1，所以点B在以（3，0）为圆心，以1为半径的圆上；
因为对任意的实数t，均有，所以，又||＝1，
所以t2﹣2•t+4•c﹣4≥0恒成立，所以4（4•4）≤0，
所以0，即•2，作，设点C（x′，y′），则x′y′+4＝0，即x′y′+4＝0，所以点C在直线x′y′+4＝0上；
因为||＝||，且点B在圆（x﹣3）2+y2＝1上，点C在直线x′y′+4＝0上，
所以点B到点C的最小距离是圆心A到最新的距离减去圆的半径，
即||≥||﹣1，当且仅当点B为线段AC与圆的交点时“＝”成立；
因为点A（3，0）到直线x′y′+4＝0的距离为d，
所以点A到点C的距离大于或等于，即||，
所以||≥||﹣1，当且仅当AC垂直于直线x′y′+4＝0，且点B为线段AC与圆的交点时“＝”成立；
所以||的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，，若，，与的夹角为60°．
（1）求；
（2）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
【解答】解：（1）由已知可得，，，，
所以，
所以；
（2）由已知可得，
即，
所以有λ+3λ﹣1﹣12＝0，解得．
18．（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；
（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数，
（2）因为成绩在[40，70）的频率为0.45，成绩在[70，80）的频率为0.3，所以中位数为，
（3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为100×（0.015×10）＝15和100×（0.01×10）＝10人，故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，两人得分在[90，100]的概率为．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，PD＝2，M是PC的中点．
（1）证明：BM∥面PAD；
（2）证明：平面ABM⊥平面PCD；
（3）求三棱锥M﹣PAB的体积．
【解答】（1）证明：如图，取PD的中点N，连接MN，AN，
又M为PC中点，∴MN∥DC，MNDC，
又AB∥DC，ABDC，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∴四边形ABMN为平行四边形，
∴BM∥AN，又BM⊄面PAD，AN⊂面PAD，
∴BM∥面PAD；
（2）证明：取PD的中点N，连接MN，AN，
∵PA＝AD，∴AN⊥PD，
∵AB∥CD，AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AN，
又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，
∴AN⊥平面PCD，
∵AN⊂平面ABM，
∴平面ABM⊥平面PCD．
（3）解：由（1）知，AN⊥PD，∴AN3，
∵M，N分别为PC，PD的中点，
∴MN∥CD∥AB，
∵MN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB，
∴三棱锥M﹣PAB的体积V＝VN﹣PAB＝VB﹣PAN•AB••AN•PN23．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若D为边BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB＝2∠ACB，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，结合正弦定理可得：
sinB（sinAcsA）﹣sinAsinB＝0，
因为B∈（0，π），所以sinB≠0，sinAcsA，
所以tanA，而A∈（0，π），所以A；
（2）由∠ADB＝2∠ACB知：AD＝CD，所以C＜A，即C∈（0，），
在△ABD中，有BC，∠BADC，
由正弦定理可得：，
所以1，
由C∈（0，）可得tanC∈（0，），所以∈（0，1）．
21．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1，AA1⊥平面ABC，平面AB1C⊥平面ABB1A1．
（1）求证：AC⊥BB1；
（2）若AB＝2A1B1＝2，△AB1C的面积为4，求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．
【解答】（1）证明：取AB1中点D，连接BD，
因为AB＝BB1，所以BD⊥AB1，又因为AB1＝平面AB1C∩平面ABB1A1，
平面 AB1C⊥平面ABB1A1，BD⊂平面ABB1A1，所以BD⊥平面AB1C，
AC⊂平面AB1C，所以BD⊥AC①，又因为 AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AC②，易知BD与AA1相交③．由①②③可得AC⊥平面ABB1A1，
又因为BB1⊂平面ABB1A1，所以AC⊥BB1；
（2）解：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
由（1）可知AC⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以AC⊥AB，
所以以A为原点，AB、AC、AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的坐标系：因为AB＝BB1＝2A1B1＝2，所以 2，
又因为ΔAB1C的面积为4，即•AB1•AC＝4，解得AC＝4，
所以A（0，0，0），C（0，4，0），，，
所以 ，，
设平面AB1C的法向量为，
则有，即，
所以取，设平面A1B1C的法向量为，
则有，所以，
取，
设二面角A﹣B1C﹣A1的大小为θ，则有csθ＝|cs，|．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg4（4x+1）﹣mx是偶函数．
（1）求m的值；
（2）若g（x）＝4f（x），a＞0，b∈R，不等式b•g2（x）﹣|a•g（x）﹣b|+a≥0对任意恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lg4（4x+1）﹣mx，x∈R，
又因为f（x）为偶函数，
所以f（1）＝f（﹣1），
即lg45﹣m＝lg4m，
即lg45﹣m＝lg45+m﹣1，
解得m；
（2）因为f（x）＝lg4（4x+1）x＝lg2，
g（x）＝4f（x）2x+2﹣x，
所以g（x）在[，0）上单调递减，在[0，1]上单调递增，
令g（x）＝t，则t∈[2，]，
问题转化为：bt2+a≥|at﹣b|，即•t2+1≥|t|，
再令m，所以mt2+1≥|t﹣m|对t∈[2，]恒成立，
①当m≤0时，左边≤1，右边＞1，不符合题意；
②当m＞0时，
a．当m时，则当t＝2时，不等式左边取到最小值，右边取到最大值，满足题意，
则4m+1≥m﹣2，解得m≥﹣1，所以m；
b．当0＜m≤2时，有mt2+1≥t﹣m，即m≥（）max＝[]max，
则当t1时，[]max，
则m，
所以m≤2；
c．当2＜m，mt2+1＞1＞|t﹣m|恒成立，符合题意；
综上所述，m的取值范围是[，+∞）．
所以的取值范围是[，+∞）．
1．（5分）已知i为虚数单位，z（1+i3）＝1+i，则z＝（ ）
A．﹣1B．iC．1﹣iD．﹣i
2．（5分）在锐角三角形ABC中，a＝2bsinA，则B＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β
4．（5分）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
5．（5分）已知，，c＝sin22°cs24°+cs22°sin24°，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．b＞c＞a
6．（5分）在△ABC中，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台ABCD﹣A′B′C′D′是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中AB＝2A′B′＝2，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
A．20πB．C．D．
8．（5分）设函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有，且对任意的，
不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，0]B．[﹣5，0]C．[﹣5，1]D．[﹣2，1]
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2≤0”
B．若x∈R，则“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分条件
C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A，B是对立事件
D．若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立
（多选）10．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为，则下列四个结论错误的是（ ）
A．
B．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1•z2＝0
C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|恒成立
D．若，则Z1＝Z2
（多选）11．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的是（ ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若a＝2，b，B，则该三角形有两解
C．若acsA＝bcsB，则△ABC一定为等腰三角形
D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．CH⊥BD
B．二面角D1﹣AB1﹣C的大小为
C．点H到平面B1CD1距离的取值范围是
D．若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知x＞0，则的最小值为 ．
14．（5分）若，则 ．
15．（5分）一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为 ．
16．（5分）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，，若，，与的夹角为60°．
（1）求；
（2）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
18．（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；
（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，PD＝2，M是PC的中点．
（1）证明：BM∥面PAD；
（2）证明：平面ABM⊥平面PCD；
（3）求三棱锥M﹣PAB的体积．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若D为边BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB＝2∠ACB，求的取值范围．
21．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1，AA1⊥平面ABC，平面AB1C⊥平面ABB1A1．
（1）求证：AC⊥BB1；
（2）若AB＝2A1B1＝2，△AB1C的面积为4，求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg4（4x+1）﹣mx是偶函数．
（1）求m的值；
（2）若g（x）＝4f（x），a＞0，b∈R，不等式b•g2（x）﹣|a•g（x）﹣b|+a≥0对任意恒成立，求的取值范围．
2022-2023学年湖南省邵阳二中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，z（1+i3）＝1+i，则z＝（ ）
A．﹣1B．iC．1﹣iD．﹣i
【解答】解：z（1+i3）＝1+i，
则z（1﹣i）＝1+i，
故z．
故选：B．
2．（5分）在锐角三角形ABC中，a＝2bsinA，则B＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵a＝2bsinA，
由正弦定理可得：sinA＝2sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴sinB，
∵△ABC为锐角三角形，
∴B．
故选：A．
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m∥n，α∥β，m⊥α，则n⊥β
【解答】解：A：m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，错误；
B：m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，错误；
C：α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行，错误；
D：m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α∥β，故n⊥β，正确．
故选：D．
4．（5分）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
【解答】解：该难题没被解出的概率为p＝（1﹣0.4）（1﹣0.5）＝0.3，
所以该难题被解决出的概率为1﹣p＝0.7．
故选：C．
5．（5分）已知，，c＝sin22°cs24°+cs22°sin24°，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．b＞c＞a
【解答】解：∵cs（45°+1°）＝cs46°，
cs45°，
c＝sin22°cs24°+cs22°sin24°＝sin（22°+24°）＝sin46°＝cs44°，
∵函数y＝csx在（0°，90°）上单调递减，46°＞45°＞44°，
∴cs46°＜cs45°＜cs44°，即a＜b＜c，
故选：B．
6．（5分）在△ABC中，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，
∴（），
∴32，∵，
∴λ＝﹣2，μ＝3，
∴，
故选：A．
7．（5分）在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台ABCD﹣A′B′C′D′是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中AB＝2A′B′＝2，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
A．20πB．C．D．
【解答】解：如图，连接AC、BD、A′C′、B′D′，
设AC∩BD＝M，A′C′∩B′D′＝N，连接MN．
∵棱台ABCD﹣A′B′C′D′侧棱相等，
∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，
如图当球心在线段MN延长线上时，
易得，MC＝2，
，NC′＝1，MN＝1，
由OC＝OC′得，NC′2+ON2＝OM2+MC2，
即1+（OM+MN）2＝OM2+4⇒1+（OM+1）2＝OM2+4⇒OM＝1，
故OC，
∴外接球表面积为．
如图当球心在线段MN上时，
由OC＝OC′得，NC′2+ON2＝OM2+MC2，
即1+（MN﹣OM）2＝OM2+4⇒1+（1﹣OM）2＝OM2+4⇒OM＝﹣1（舍）．
故选：A．
8．（5分）设函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有，且对任意的，
不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，0]B．[﹣5，0]C．[﹣5，1]D．[﹣2，1]
【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+∞）递增，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，
时，x﹣2∈[，﹣1]，
故f（x﹣2）≥f（1），
若任意的，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，
则时，|ax+1|≤1恒成立，
故﹣1≤ax+1≤1，x∈[，1]，
故﹣2≤ax≤0，x∈[，1]，
故a≤0，x∈[，1]，
而a≥（）max＝﹣2，
故﹣2≤a≤0，
故选：A．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2≤0”
B．若x∈R，则“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分条件
C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A，B是对立事件
D．若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立
【解答】解：对于A，命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”，所以A不正确．
对于B，若x∈R，则“x2＝1”推不出“x＝1”，反之成立，所以若x∈R，则“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分条件．所以B正确．
对于C，举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，
举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，
事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，
则P（A）＝P（B），满足P（A）+P（B）＝1，但A，B不是对立事件，C说法错误．
对于D，若事件A，B相互独立，则满足P（AB）＝P（A）P（B），D说法正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为，则下列四个结论错误的是（ ）
A．
B．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1•z2＝0
C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|恒成立
D．若，则Z1＝Z2
【解答】解：对于A，设z1＝i，z2＝﹣i，则|z1﹣z2|2＝|2i|2＝4，
而（z1+z2）2﹣4z1z2＝﹣4，显然不相等，故A错误；
对于B，取z1＝1，z2＝i，则有|z1+z2|＝|z1﹣z2|，
但z1．z2≠0，故B错误；
对于C，|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|即||≤||+||，
由向量减法的运算法则可知，当与反向共线时等号成立，
故此不等式恒成立，C正确；
对于D，由可得，
即||＝||，不一定有z1＝z2，故D错误．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的是（ ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若a＝2，b，B，则该三角形有两解
C．若acsA＝bcsB，则△ABC一定为等腰三角形
D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形
【解答】解：A中，在三角形中，由大边对大角，因为A＞B，所以a＞b，再由正弦定理可得sinA＞sinB，所以A正确；
B中，若a＝2，b，B，因为a•sin2b，且b＞a，可得该三角形有一个解，故B不正确；
C中，acsA＝bcsB，由正弦定理可得sinAcsA＝sinBcsB，可得sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以可得A＝B或A+B，即可得三角形为等腰三角形或直角三角形，故C不正确；
D中，sin2C＞sin2A+sin2B，由正弦定理c2＞a2+b2，可得csC0，所以C为钝角，所以D正确；
故选：AD．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．CH⊥BD
B．二面角D1﹣AB1﹣C的大小为
C．点H到平面B1CD1距离的取值范围是
D．若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为
【解答】解：对于A，如图1，易得DB⊥面A1ACC1，由CH⊂面A1ACC1，可得CH⊥BD，故A正确；
对于B，如图2，易得D1B1＝D1A＝B1C＝AC＝D1C，
取AB1中点O，连接D1O，OC，可得D1O⊥AB1，CO⊥AB1，
∴∠D1OC为二面角D1﹣AB1﹣C的平面角，
在△D1OC中，∵D1O＝CO，D1C，
∴cs∠D1OC，故B错误；
对于C，∵H在A处时距离最大，在A1距离最小，
当H在A处时，此时A﹣B1CD1为正四面体，且边长为，
设B1CD1的中心为O，则CO，则AO，
当H在A1处时，由，∴•h1×1×1，
解得h，
∴点H到平面B1CD1距离的取值范围是，故C正确；
对于D，如图3建立空间直角坐标系，则C（0，1，0），设H（1，0，t），0≤t≤1，
∵CH⊥平面β，∴平面β的法向量为（1，﹣1，t），
则直线CD与平面β所成角的正弦值为∈[，]，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知x＞0，则的最小值为 4 ．
【解答】解：∵x＞0，则24，当且仅当x 时，等号成立，
故答案为 4．
14．（5分）若，则 ．
【解答】解：
．
故答案为：．
15．（5分）一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为 5 ．
【解答】解：设这组数据为x1，x2，⋯，x6，均值为，
不妨设x1＝4，x2＝6，
方差为；
一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，
则新数据为1，9，⋯，x6，显然新数据的均值与原数据的均值相等，
其方差为；
即新数据的方差比原数据的方差增加了5．
故答案为：5．
16．（5分）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为 ．
【解答】解：作，，以为x轴建立平面直角坐标系，如图所示；
因为，，，所以点A的坐标为（3，0），点E的坐标为（，），
作，设点B（x，y），因为||＝||＝||＝1，所以1，
所以（x﹣3）3+y2＝1，所以点B在以（3，0）为圆心，以1为半径的圆上；
因为对任意的实数t，均有，所以，又||＝1，
所以t2﹣2•t+4•c﹣4≥0恒成立，所以4（4•4）≤0，
所以0，即•2，作，设点C（x′，y′），则x′y′+4＝0，即x′y′+4＝0，所以点C在直线x′y′+4＝0上；
因为||＝||，且点B在圆（x﹣3）2+y2＝1上，点C在直线x′y′+4＝0上，
所以点B到点C的最小距离是圆心A到最新的距离减去圆的半径，
即||≥||﹣1，当且仅当点B为线段AC与圆的交点时“＝”成立；
因为点A（3，0）到直线x′y′+4＝0的距离为d，
所以点A到点C的距离大于或等于，即||，
所以||≥||﹣1，当且仅当AC垂直于直线x′y′+4＝0，且点B为线段AC与圆的交点时“＝”成立；
所以||的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，，若，，与的夹角为60°．
（1）求；
（2）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
【解答】解：（1）由已知可得，，，，
所以，
所以；
（2）由已知可得，
即，
所以有λ+3λ﹣1﹣12＝0，解得．
18．（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；
（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数，
（2）因为成绩在[40，70）的频率为0.45，成绩在[70，80）的频率为0.3，所以中位数为，
（3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为100×（0.015×10）＝15和100×（0.01×10）＝10人，故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，两人得分在[90，100]的概率为．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，PD＝2，M是PC的中点．
（1）证明：BM∥面PAD；
（2）证明：平面ABM⊥平面PCD；
（3）求三棱锥M﹣PAB的体积．
【解答】（1）证明：如图，取PD的中点N，连接MN，AN，
又M为PC中点，∴MN∥DC，MNDC，
又AB∥DC，ABDC，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∴四边形ABMN为平行四边形，
∴BM∥AN，又BM⊄面PAD，AN⊂面PAD，
∴BM∥面PAD；
（2）证明：取PD的中点N，连接MN，AN，
∵PA＝AD，∴AN⊥PD，
∵AB∥CD，AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AN，
又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，
∴AN⊥平面PCD，
∵AN⊂平面ABM，
∴平面ABM⊥平面PCD．
（3）解：由（1）知，AN⊥PD，∴AN3，
∵M，N分别为PC，PD的中点，
∴MN∥CD∥AB，
∵MN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB，
∴三棱锥M﹣PAB的体积V＝VN﹣PAB＝VB﹣PAN•AB••AN•PN23．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若D为边BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB＝2∠ACB，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，结合正弦定理可得：
sinB（sinAcsA）﹣sinAsinB＝0，
因为B∈（0，π），所以sinB≠0，sinAcsA，
所以tanA，而A∈（0，π），所以A；
（2）由∠ADB＝2∠ACB知：AD＝CD，所以C＜A，即C∈（0，），
在△ABD中，有BC，∠BADC，
由正弦定理可得：，
所以1，
由C∈（0，）可得tanC∈（0，），所以∈（0，1）．
21．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1，AA1⊥平面ABC，平面AB1C⊥平面ABB1A1．
（1）求证：AC⊥BB1；
（2）若AB＝2A1B1＝2，△AB1C的面积为4，求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．
【解答】（1）证明：取AB1中点D，连接BD，
因为AB＝BB1，所以BD⊥AB1，又因为AB1＝平面AB1C∩平面ABB1A1，
平面 AB1C⊥平面ABB1A1，BD⊂平面ABB1A1，所以BD⊥平面AB1C，
AC⊂平面AB1C，所以BD⊥AC①，又因为 AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AC②，易知BD与AA1相交③．由①②③可得AC⊥平面ABB1A1，
又因为BB1⊂平面ABB1A1，所以AC⊥BB1；
（2）解：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
由（1）可知AC⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以AC⊥AB，
所以以A为原点，AB、AC、AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的坐标系：因为AB＝BB1＝2A1B1＝2，所以 2，
又因为ΔAB1C的面积为4，即•AB1•AC＝4，解得AC＝4，
所以A（0，0，0），C（0，4，0），，，
所以 ，，
设平面AB1C的法向量为，
则有，即，
所以取，设平面A1B1C的法向量为，
则有，所以，
取，
设二面角A﹣B1C﹣A1的大小为θ，则有csθ＝|cs，|．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg4（4x+1）﹣mx是偶函数．
（1）求m的值；
（2）若g（x）＝4f（x），a＞0，b∈R，不等式b•g2（x）﹣|a•g（x）﹣b|+a≥0对任意恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lg4（4x+1）﹣mx，x∈R，
又因为f（x）为偶函数，
所以f（1）＝f（﹣1），
即lg45﹣m＝lg4m，
即lg45﹣m＝lg45+m﹣1，
解得m；
（2）因为f（x）＝lg4（4x+1）x＝lg2，
g（x）＝4f（x）2x+2﹣x，
所以g（x）在[，0）上单调递减，在[0，1]上单调递增，
令g（x）＝t，则t∈[2，]，
问题转化为：bt2+a≥|at﹣b|，即•t2+1≥|t|，
再令m，所以mt2+1≥|t﹣m|对t∈[2，]恒成立，
①当m≤0时，左边≤1，右边＞1，不符合题意；
②当m＞0时，
a．当m时，则当t＝2时，不等式左边取到最小值，右边取到最大值，满足题意，
则4m+1≥m﹣2，解得m≥﹣1，所以m；
b．当0＜m≤2时，有mt2+1≥t﹣m，即m≥（）max＝[]max，
则当t1时，[]max，
则m，
所以m≤2；
c．当2＜m，mt2+1＞1＞|t﹣m|恒成立，符合题意；
综上所述，m的取值范围是[，+∞）．
所以的取值范围是[，+∞）．
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