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2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷（含答案解析）
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这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）复数（2+i）2的实部是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（5分）已知向量，满足，，，则（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．﹣10
3．（5分）在△ABC中，，，则sinC＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
5．（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A＝“抽到的两人都是男生”，事件B＝“抽到1名男生与1名女生”，则（ ）
A．在有放回简单随机抽样方式下，
B．在不放回简单随机抽样方式下，
C．在按性别等比例分层抽样方式下，
D．在按性别等比例分层抽样方式下，P（B）＝1
6．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．中位数为3，众数为3
B．平均数为3，中位数为3
C．中位数为2，极差为2
D．平均数为2，标准差为2
7．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，则下列结论中不成立的是（ ）
A．平面PAB内任意一条直线都不与CD平行
B．平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行
C．平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行
D．平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号为2”，事件B＝“第二次摸出球的标号为3”，事件C＝“两次摸出球的标号之和为4”，事件D＝“两次摸出球的标号之和为5”，则（ ）
A．事件A与B互斥B．事件A与C相互独立
C．事件C与D互斥D．事件B与D相互独立
（多选）10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是
B．f（x）的图象关于点对称
C．|f（x）|的图象关于直线对称
D．f（x）在区间上单调递增
（多选）11．（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若z0，则z∈R
B．若z（1+i）＝2，则
C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，则
D．若复数z满足1＜|z|＜2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π
（多选）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则（ ）
A．Sa+Sb≥2Sc
B．Va+Vb≥2Vc
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
14．（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2＝ ．
15．（5分）如图，在扇形OPO中，半径OP＝1，圆心角，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为 ．
16．（5分）已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，点G为△D1AC的重心，点E在线段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A．若CE＝λEB，则λ＝ ，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a（单位：t），使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费．通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t）的数据，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5，2）内的频率；
（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at，试估计a的值，并说明理由．
18．（12分）如图是函数f（x）＝cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的图象，点A是函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C分别是函数f（x）图象的最低点与最高点，且．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若，求f（x）的解析式．
19．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求事件“X＝2”的概率；
（2）求事件“X＝4且乙获胜”的概率．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC．
（1）证明：平面ABC1⊥平面BCC1；
（2）若直线AC与平面ABC1所成的角为θ，二面角C1﹣AB﹣C的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若点D在边BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．
22．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α．
（1）设平面BCC1B1∩α＝l，求证：AD1∥l；
（2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比（其中V1≤V2）；
（3）当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积．
2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数（2+i）2的实部是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：（2+i）2＝3+2i，实部为3．
故选：B．
2．（5分）已知向量，满足，，，则（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．﹣10
【解答】解：∵，，，
∴1725，
∴．
故选：A．
3．（5分）在△ABC中，，，则sinC＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，，
则，
又，
则
．
故选：C．
4．（5分）为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
【解答】解：为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点向右平行移动个单位长度，
故选：A．
5．（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A＝“抽到的两人都是男生”，事件B＝“抽到1名男生与1名女生”，则（ ）
A．在有放回简单随机抽样方式下，
B．在不放回简单随机抽样方式下，
C．在按性别等比例分层抽样方式下，
D．在按性别等比例分层抽样方式下，P（B）＝1
【解答】解：记3名男生为1，2，3，3名女生为a，b，c．
对于A，有放回简单随机抽样的样本空间Ω1为：
共36个样本点，事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}，有9个样本点，
所以，故A错误；
对于B，不放回简单随机抽样的样本空间Ω2为：
共30个样本点，
事件B＝{（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3）}，有18个样本点，
所以，故B错误；
对于C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以P（A）＝0，故C错误；
对于D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，
其样本空间Ω3＝{（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c）}，共有9个样本点，
事件B＝Ω3，所以，故D正确．
故选：D．
6．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．中位数为3，众数为3
B．平均数为3，中位数为3
C．中位数为2，极差为2
D．平均数为2，标准差为2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6 时，满足中位数为3，众数为3，不能判断出一定没有出现点数6；
对于B，当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6 时，满足平均数为3，中位数为3，不能判断出一定没有出现点数6；
对于C，若数据的中位数为2，极差为2，则数据的最小值小于2，又由极差为2，则数据的最大值小于4，可以判断出一定没有出现点数6；
对于D，当掷骰子出现的结果为1，1，1，1，6 时，满足平均数为2，标准差为2，不能判断出一定没有出现点数6；
故选：C．
7．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
【解答】解：因为AB⊥BD，AB⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD⊂平面BCD，
所以AB⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AB⊥BC，
则AC2＝AB2+BC2，所以BC＝4，
又BD⊥CD，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：B．
8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，则下列结论中不成立的是（ ）
A．平面PAB内任意一条直线都不与CD平行
B．平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行
C．平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行
D．平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行
【解答】解：如图，
在四棱锥P﹣ABCD中，∵AD∥BC，AD＝2BC，
∴AB与DC相交，设交点为F，则CD与平面PAB相交于F，
可知平面PAB内任意一条直线都不与CD平行，故A正确；
∵AB∩DC＝F，∴平面PAB∩平面PDC＝PF，
则平面PCD内与PF平行的直线都与平面PAB平行，故B正确；
平面PCD和平面PAB的交线为PF，与底面ABCD相交，不与底面ABCD平行，故C正确；
∵AD∥BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD，
又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，可得BC∥l，则l∥平面ABCD，故D错误．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号为2”，事件B＝“第二次摸出球的标号为3”，事件C＝“两次摸出球的标号之和为4”，事件D＝“两次摸出球的标号之和为5”，则（ ）
A．事件A与B互斥B．事件A与C相互独立
C．事件C与D互斥D．事件B与D相互独立
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，两次摸球中，第一次摸出球的标号为2．二次摸出球的标号为3，
即事件A、B可以同时发生，则事件A、B不是互斥事件，A错误；
对于B，若事件A发生，即第一次摸出球的标号为2，则事件C一定不会发生，则A、C不是相互独立事件，B错误；
对于C，事件C、D不会同时发生，是互斥事件，C正确；
对于D，P（B），P（D），P（BD），
有P（B）P（D）＝P（BD），则B、D是相互独立事件，D正确．
故选：CD．
（多选）10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是
B．f（x）的图象关于点对称
C．|f（x）|的图象关于直线对称
D．f（x）在区间上单调递增
【解答】解：因为函数，所以f（x）的最小正周期是T2π，选项A错误；
x时，0，所以f（x）＝tan（x）的图象关于点对称，选项B正确；
因为|f（x）|＝|tan（x）|＝|tanx|，|f（x）|＝|tanx|，所以|f（x）|＝|f（x）|，
|f（x）|的图象关于直线对称，选项C正确；
x∈（，）时，x∈（，0），所以f（x）＝tan（x）在区间上单调递增，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若z0，则z∈R
B．若z（1+i）＝2，则
C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，则
D．若复数z满足1＜|z|＜2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π
【解答】解：对于A，z0，
则z，
故z∈R，故A正确；
对于B，z（1+i）＝2，
则z，
，故B错误；
对于C，设z1，z2在复平面内对应的向量为，，
则，，
故，
，解得，
故，即，故C正确；
对于D，设z＝x+yi（x，y∈R），
∵1＜|z|＜2，
∴1＜x2+y2＜4，
∴复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×22﹣π×12＝3π，故D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则（ ）
A．Sa+Sb≥2Sc
B．Va+Vb≥2Vc
C．
D．
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝h，则h，c2＝a2+b2．
侧面积Sa＝πbc，Sb＝πac，Sc．
Sa+Sb﹣2Sc＝π[bc+ac]＝π0，因此A正确；
由题意可得：Vaπb2×a，Vbπa2b，Vcπcπ，
∴Va+Vb﹣2Vcab（a+b）ab（2）ab（2）0，因此B错误；
（），•（a2+b2），
0，∴，因此C错误；
（），（），
∴，因此D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为 （﹣1，3） ．
【解答】解：∵向量，，∴（1+λ，2），
又∵，
∴1+λ﹣6＝0，
解得λ＝5．
∴（5，5），
∴1×5﹣3×5＝﹣10，||，
∴在方向上的投影向量的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
14．（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2＝ 37.5 ．
【解答】解：已知在样本中，男生有100人，女生有60人，
所以该校高中学生身高的平均数172164＝169，
则该校高中学生身高的总样本方差s2[18+（172﹣169）2][30+（164﹣169）2]＝37.5．
故答案为：37.5．
15．（5分）如图，在扇形OPO中，半径OP＝1，圆心角，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为 2 ．
【解答】解：连接OB，OC，过BN⊥OP于N，
可得OB＝OC，可得∠OCB＝∠OBC，
因为四边形ABCD为矩形，所以∠OCD＝∠OBA，
由题意可得DC＝AB，
可得△ODC≌△OAB，
可得OD＝OA，
而∠AOD，
所以△OAD为等边三角形，所以AD＝OA，
设∠BON＝α，则∠BAN，在Rt△ABN中，则ON＝OBcsα＝csα，BN＝OBsinα＝sinα，
AB2•sinα，AN＝ABcssinα，AD＝OA＝ON﹣AN＝csαsinα，
所以S矩形ABCD＝AB•AD＝2sinα（csαsinα）＝2sinαcsα﹣2sin2α＝sin2α（1﹣cs2α）＝2sin（2α）2，
当且仅当2α，即α时取等号，
所以矩形ABCD的面积的最大值为2．
故答案案为：2．
16．（5分）已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，点G为△D1AC的重心，点E在线段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A．若CE＝λEB，则λ＝ 2 ，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 3 ．
【解答】解：如图所示：
空1：延长CG交AD1于点F，连接BF，则F为AD1中点，如下图所示，
因为GE∥平面D1AB，GE⊂平面CBF，平面CBF∩平面D1AB＝BF，
所以GE∥BF，因为点G为△D1AC 的重心，所以CG＝2GF，
所以CE＝2EB，即λ＝2；
空2：取CA中点O，连接OB，GB，GO，OD1，则 OB⊥AC，
设正方形ABCD边长为2，因为GE∥BF，GE⊥D1A，
所以BF⊥D1A，又F为AD1中点，所以AB＝D1B＝2，
Rt△ABC中，，，同理可得，
因为，所以OB⊥D1O，又AC∩D1O＝O，
所以OB⊥平面 D1AC，则GO为GB在平面D1AC内的投影，
所以∠OGB或其补角为直线GB与平面D1AC所成角，
Rt△OGB中，，．
故答案为：2；3．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a（单位：t），使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费．通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t）的数据，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5，2）内的频率；
（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at，试估计a的值，并说明理由．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知[1.5，2）内的频率为1﹣（0.08+0.16+0.3+0.5+0.3+0.12+0.08+0.04）×0.5＝0.21．
（2）因为0.21÷0.5＝0.42，又（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5）×0.5＝0.73，
（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5+0.3）×0.5＝0.88＞0.85，
则a∈[2.5，3），依题意可得0.73+（a﹣2.5）×0.3＝0.85，解得a＝2.9．
所以要使85%的居民生活月均用水量不超过标准，则居民生活用水量标准为2.9t．
18．（12分）如图是函数f（x）＝cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的图象，点A是函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C分别是函数f（x）图象的最低点与最高点，且．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若，求f（x）的解析式．
【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，依题意设A（a，0），则，，
所以，，所以，
即T2＝16，解得T＝4或T＝﹣4（舍去）；
（2）由（1）可得，解得，所以，
又，
即，
即，所以，
所以，解得，
又0＜φ＜π，所以，所以．
19．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求事件“X＝2”的概率；
（2）求事件“X＝4且乙获胜”的概率．
【解答】解：（1）又打了2个球该局比赛结束，有两种情况，甲连赢2个球或乙连赢2个球，
所以P（X＝2）＝0.4×0.6+（1﹣0.4）×（1﹣0.6）＝0.48；
（2）设事件A为“X＝4且乙获胜”，
则事件A发生表示前2个球甲乙各赢1个球，第3个球和第4个球都是乙赢，
所以P（A）＝[0.4×（1﹣0.6）+（1﹣0.4）×0.6]×（1﹣0.4）×（1﹣0.6）＝0.1248．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC．
（1）证明：平面ABC1⊥平面BCC1；
（2）若直线AC与平面ABC1所成的角为θ，二面角C1﹣AB﹣C的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．
【解答】 （1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，易知AB⊥BB1，
又AB⊥BC，BB1∩BC＝B，且两直线在平面内，
所以AB⊥平面BCC1，又AB⊂平面ABC1，
所以平面ABC1⊥平面BCC1．
（2）过C作CD垂直BC于D点，连接AD，
由（1）可知平面ABC1⊥平面BCC1，
又平面ABC1∩平面BCC1＝BC1，所以CD⊥平面ABC1，垂足为D，
则∠CAD是直线AC与平面ABC1所成的角，即∠CAD＝θ，
由（1）可知AB⊥平面BCC1，所以AB⊥BC1，
又AB⊥BC，所以∠CBC1是二面角C1﹣AB﹣C的平面角，即∠CBC1＝φ，
在Rt△ADC中，，在Rt△CDB中，，
又BC＜AC，得sinθ＜sinφ，
又θ∈（0，），φ∈（0，），
所以θ＜φ．
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若点D在边BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．
【解答】解：（1）由题意及正弦定理可得sinB+csB，
即sinBsinA+csBsinA＝sinB+sinC＝sinB+sin（B+A），
即sinBsinA+csBsinA＝sinB+sinBcsA+csBsinA，
整理可得sinBsinA＝sinB+sinBcsA，在△ABC中，sinB≠0，
所以sinA﹣csA＝1，即sin（A），
因为A∈（0，π），可得A，
解得A；
（2）在△ABC，A，AD＝BD＝3，CD＝2，BC＝BD+CD＝3+2＝5，
由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcs∠BAC，
即25＝AB2+AC2﹣AB•AC，①
因为cs∠ADC＝﹣cs∠ADB，
在△ABD中，AB2＝BD2+AD2﹣2AD•BDcs∠ADB＝9+9﹣2×3×3cs∠ADB＝18﹣18cs∠ADB，②
在△ACD中，AC2＝CD2+AD2﹣2AD•CDcs∠ADC＝4+9+2×3×2cs∠ADB＝13+12cs∠ADB，③
②×2+③×3可得2AB2+3AC2＝75，④
由①④可得AC．
即b．
22．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α．
（1）设平面BCC1B1∩α＝l，求证：AD1∥l；
（2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比（其中V1≤V2）；
（3）当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积．
【解答】证明：（1）连接BC1，因为AB＝D1C1且AB∥D1C1，
所以ABC1D1为平行四边形，
所以AD1∥BC1，AD1⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以AD1∥平面BCC1B1，
又平面BCC1B1∩α＝l，AD1⊂平面α，
所以AD1∥l；
解：（2）在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，
设D1E∩DC＝F，连接AF，设BC∩AF＝G，连接GE，
由E为CC1的中点，得G为BC的中点，∴EG∥AD1，
所以平面AGED1即为平面α，
因为E为CC1的中点，所以C为DF的中点，
所以平面α将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE﹣DAD1，
因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，
所以
，
∴另一部分几何体的体积，
∴两部分的体积；
（3）取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接MN、ME、A1M、A1N，
显然MN∥BC1，EG∥BC1，所以MN∥EG，MN⊄平面AGED1，EG⊂平面AGED1，
所以MN∥平面AGED1，
又E为CC1的中点，所以ME∥B1C1且ME＝B1C1，又A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，
所以A1D1∥ME且A1D1＝ME，
所以A1D1EM为平行四边形，所以A1M∥D1E，
A1M⊄平面AGED1，D1E⊂平面AGED1，
所以A1M∥平面AGED1，
又A1M∩ME＝M，A1M，ME⊂平面A1MN，所以平面A1MN∥平面AGED1，
又点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α，
所以P在线段MN上，又，
即△A1MN为等腰三角形，所以当P为MN的中点时A1P最小，
因为△AA1D1为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边AD1的中点，设为Q，
令ME∩BC1＝H，则H为BC1的中点，连接QH，则QH∥AB，
所以QH⊥平面AA1D1，所以球心在QH上，设球心为O，连接OD1、OP、PH，
设外接球的半径为R，OQ＝h，则OD1＝OP＝R，
又，
所以，解得，则，
所以外接球的表面积．
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30
1
2
3
a
b
c
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，a）
（1，b）
（1，c）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，a）
（2，b）
（2，c）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，a）
（3，b）
（3，c）
a
（a，1）
（a，2）
（a，3）
（a，a）
（a，b）
（a，c）
b
（b，1）
（b，2）
（b，3）
（b，a）
（b，b）
（b，c）
c
（c，1）
（c，2）
（c，3）
（c，a）
（c，b）
（c，c）
1
2
3
a
b
c
1
×
（1，2）
（1，3）
（1，a）
（1，b）
（1，c）
2
（2，1）
×
（2，3）
（2，a）
（2，b）
（2，c）
3
（3，1）
（3，2）
×
（3，a）
（3，b）
（3，c）
a
（a，1）
（a，2）
（a，3）
×
（a，b）
（a，c）
b
（b，1）
（b，2）
（b，3）
（b，a）
×
（b，c）
c
（c，1）
（c，2）
（c，3）
（c，a）
（c，b）
×
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30
1．（5分）复数（2+i）2的实部是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（5分）已知向量，满足，，，则（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．﹣10
3．（5分）在△ABC中，，，则sinC＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
5．（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A＝“抽到的两人都是男生”，事件B＝“抽到1名男生与1名女生”，则（ ）
A．在有放回简单随机抽样方式下，
B．在不放回简单随机抽样方式下，
C．在按性别等比例分层抽样方式下，
D．在按性别等比例分层抽样方式下，P（B）＝1
6．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．中位数为3，众数为3
B．平均数为3，中位数为3
C．中位数为2，极差为2
D．平均数为2，标准差为2
7．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，则下列结论中不成立的是（ ）
A．平面PAB内任意一条直线都不与CD平行
B．平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行
C．平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行
D．平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号为2”，事件B＝“第二次摸出球的标号为3”，事件C＝“两次摸出球的标号之和为4”，事件D＝“两次摸出球的标号之和为5”，则（ ）
A．事件A与B互斥B．事件A与C相互独立
C．事件C与D互斥D．事件B与D相互独立
（多选）10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是
B．f（x）的图象关于点对称
C．|f（x）|的图象关于直线对称
D．f（x）在区间上单调递增
（多选）11．（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若z0，则z∈R
B．若z（1+i）＝2，则
C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，则
D．若复数z满足1＜|z|＜2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π
（多选）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则（ ）
A．Sa+Sb≥2Sc
B．Va+Vb≥2Vc
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
14．（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2＝ ．
15．（5分）如图，在扇形OPO中，半径OP＝1，圆心角，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为 ．
16．（5分）已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，点G为△D1AC的重心，点E在线段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A．若CE＝λEB，则λ＝ ，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a（单位：t），使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费．通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t）的数据，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5，2）内的频率；
（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at，试估计a的值，并说明理由．
18．（12分）如图是函数f（x）＝cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的图象，点A是函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C分别是函数f（x）图象的最低点与最高点，且．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若，求f（x）的解析式．
19．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求事件“X＝2”的概率；
（2）求事件“X＝4且乙获胜”的概率．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC．
（1）证明：平面ABC1⊥平面BCC1；
（2）若直线AC与平面ABC1所成的角为θ，二面角C1﹣AB﹣C的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若点D在边BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．
22．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α．
（1）设平面BCC1B1∩α＝l，求证：AD1∥l；
（2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比（其中V1≤V2）；
（3）当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积．
2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数（2+i）2的实部是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：（2+i）2＝3+2i，实部为3．
故选：B．
2．（5分）已知向量，满足，，，则（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．﹣10
【解答】解：∵，，，
∴1725，
∴．
故选：A．
3．（5分）在△ABC中，，，则sinC＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，，
则，
又，
则
．
故选：C．
4．（5分）为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
【解答】解：为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点向右平行移动个单位长度，
故选：A．
5．（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A＝“抽到的两人都是男生”，事件B＝“抽到1名男生与1名女生”，则（ ）
A．在有放回简单随机抽样方式下，
B．在不放回简单随机抽样方式下，
C．在按性别等比例分层抽样方式下，
D．在按性别等比例分层抽样方式下，P（B）＝1
【解答】解：记3名男生为1，2，3，3名女生为a，b，c．
对于A，有放回简单随机抽样的样本空间Ω1为：
共36个样本点，事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}，有9个样本点，
所以，故A错误；
对于B，不放回简单随机抽样的样本空间Ω2为：
共30个样本点，
事件B＝{（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3）}，有18个样本点，
所以，故B错误；
对于C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以P（A）＝0，故C错误；
对于D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，
其样本空间Ω3＝{（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c）}，共有9个样本点，
事件B＝Ω3，所以，故D正确．
故选：D．
6．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．中位数为3，众数为3
B．平均数为3，中位数为3
C．中位数为2，极差为2
D．平均数为2，标准差为2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6 时，满足中位数为3，众数为3，不能判断出一定没有出现点数6；
对于B，当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6 时，满足平均数为3，中位数为3，不能判断出一定没有出现点数6；
对于C，若数据的中位数为2，极差为2，则数据的最小值小于2，又由极差为2，则数据的最大值小于4，可以判断出一定没有出现点数6；
对于D，当掷骰子出现的结果为1，1，1，1，6 时，满足平均数为2，标准差为2，不能判断出一定没有出现点数6；
故选：C．
7．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
【解答】解：因为AB⊥BD，AB⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD⊂平面BCD，
所以AB⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AB⊥BC，
则AC2＝AB2+BC2，所以BC＝4，
又BD⊥CD，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：B．
8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，则下列结论中不成立的是（ ）
A．平面PAB内任意一条直线都不与CD平行
B．平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行
C．平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行
D．平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行
【解答】解：如图，
在四棱锥P﹣ABCD中，∵AD∥BC，AD＝2BC，
∴AB与DC相交，设交点为F，则CD与平面PAB相交于F，
可知平面PAB内任意一条直线都不与CD平行，故A正确；
∵AB∩DC＝F，∴平面PAB∩平面PDC＝PF，
则平面PCD内与PF平行的直线都与平面PAB平行，故B正确；
平面PCD和平面PAB的交线为PF，与底面ABCD相交，不与底面ABCD平行，故C正确；
∵AD∥BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD，
又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，可得BC∥l，则l∥平面ABCD，故D错误．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号为2”，事件B＝“第二次摸出球的标号为3”，事件C＝“两次摸出球的标号之和为4”，事件D＝“两次摸出球的标号之和为5”，则（ ）
A．事件A与B互斥B．事件A与C相互独立
C．事件C与D互斥D．事件B与D相互独立
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，两次摸球中，第一次摸出球的标号为2．二次摸出球的标号为3，
即事件A、B可以同时发生，则事件A、B不是互斥事件，A错误；
对于B，若事件A发生，即第一次摸出球的标号为2，则事件C一定不会发生，则A、C不是相互独立事件，B错误；
对于C，事件C、D不会同时发生，是互斥事件，C正确；
对于D，P（B），P（D），P（BD），
有P（B）P（D）＝P（BD），则B、D是相互独立事件，D正确．
故选：CD．
（多选）10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是
B．f（x）的图象关于点对称
C．|f（x）|的图象关于直线对称
D．f（x）在区间上单调递增
【解答】解：因为函数，所以f（x）的最小正周期是T2π，选项A错误；
x时，0，所以f（x）＝tan（x）的图象关于点对称，选项B正确；
因为|f（x）|＝|tan（x）|＝|tanx|，|f（x）|＝|tanx|，所以|f（x）|＝|f（x）|，
|f（x）|的图象关于直线对称，选项C正确；
x∈（，）时，x∈（，0），所以f（x）＝tan（x）在区间上单调递增，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若z0，则z∈R
B．若z（1+i）＝2，则
C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，则
D．若复数z满足1＜|z|＜2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π
【解答】解：对于A，z0，
则z，
故z∈R，故A正确；
对于B，z（1+i）＝2，
则z，
，故B错误；
对于C，设z1，z2在复平面内对应的向量为，，
则，，
故，
，解得，
故，即，故C正确；
对于D，设z＝x+yi（x，y∈R），
∵1＜|z|＜2，
∴1＜x2+y2＜4，
∴复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×22﹣π×12＝3π，故D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则（ ）
A．Sa+Sb≥2Sc
B．Va+Vb≥2Vc
C．
D．
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝h，则h，c2＝a2+b2．
侧面积Sa＝πbc，Sb＝πac，Sc．
Sa+Sb﹣2Sc＝π[bc+ac]＝π0，因此A正确；
由题意可得：Vaπb2×a，Vbπa2b，Vcπcπ，
∴Va+Vb﹣2Vcab（a+b）ab（2）ab（2）0，因此B错误；
（），•（a2+b2），
0，∴，因此C错误；
（），（），
∴，因此D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为 （﹣1，3） ．
【解答】解：∵向量，，∴（1+λ，2），
又∵，
∴1+λ﹣6＝0，
解得λ＝5．
∴（5，5），
∴1×5﹣3×5＝﹣10，||，
∴在方向上的投影向量的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
14．（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2＝ 37.5 ．
【解答】解：已知在样本中，男生有100人，女生有60人，
所以该校高中学生身高的平均数172164＝169，
则该校高中学生身高的总样本方差s2[18+（172﹣169）2][30+（164﹣169）2]＝37.5．
故答案为：37.5．
15．（5分）如图，在扇形OPO中，半径OP＝1，圆心角，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为 2 ．
【解答】解：连接OB，OC，过BN⊥OP于N，
可得OB＝OC，可得∠OCB＝∠OBC，
因为四边形ABCD为矩形，所以∠OCD＝∠OBA，
由题意可得DC＝AB，
可得△ODC≌△OAB，
可得OD＝OA，
而∠AOD，
所以△OAD为等边三角形，所以AD＝OA，
设∠BON＝α，则∠BAN，在Rt△ABN中，则ON＝OBcsα＝csα，BN＝OBsinα＝sinα，
AB2•sinα，AN＝ABcssinα，AD＝OA＝ON﹣AN＝csαsinα，
所以S矩形ABCD＝AB•AD＝2sinα（csαsinα）＝2sinαcsα﹣2sin2α＝sin2α（1﹣cs2α）＝2sin（2α）2，
当且仅当2α，即α时取等号，
所以矩形ABCD的面积的最大值为2．
故答案案为：2．
16．（5分）已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，点G为△D1AC的重心，点E在线段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A．若CE＝λEB，则λ＝ 2 ，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 3 ．
【解答】解：如图所示：
空1：延长CG交AD1于点F，连接BF，则F为AD1中点，如下图所示，
因为GE∥平面D1AB，GE⊂平面CBF，平面CBF∩平面D1AB＝BF，
所以GE∥BF，因为点G为△D1AC 的重心，所以CG＝2GF，
所以CE＝2EB，即λ＝2；
空2：取CA中点O，连接OB，GB，GO，OD1，则 OB⊥AC，
设正方形ABCD边长为2，因为GE∥BF，GE⊥D1A，
所以BF⊥D1A，又F为AD1中点，所以AB＝D1B＝2，
Rt△ABC中，，，同理可得，
因为，所以OB⊥D1O，又AC∩D1O＝O，
所以OB⊥平面 D1AC，则GO为GB在平面D1AC内的投影，
所以∠OGB或其补角为直线GB与平面D1AC所成角，
Rt△OGB中，，．
故答案为：2；3．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a（单位：t），使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费．通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t）的数据，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5，2）内的频率；
（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at，试估计a的值，并说明理由．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知[1.5，2）内的频率为1﹣（0.08+0.16+0.3+0.5+0.3+0.12+0.08+0.04）×0.5＝0.21．
（2）因为0.21÷0.5＝0.42，又（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5）×0.5＝0.73，
（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5+0.3）×0.5＝0.88＞0.85，
则a∈[2.5，3），依题意可得0.73+（a﹣2.5）×0.3＝0.85，解得a＝2.9．
所以要使85%的居民生活月均用水量不超过标准，则居民生活用水量标准为2.9t．
18．（12分）如图是函数f（x）＝cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的图象，点A是函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C分别是函数f（x）图象的最低点与最高点，且．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若，求f（x）的解析式．
【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，依题意设A（a，0），则，，
所以，，所以，
即T2＝16，解得T＝4或T＝﹣4（舍去）；
（2）由（1）可得，解得，所以，
又，
即，
即，所以，
所以，解得，
又0＜φ＜π，所以，所以．
19．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求事件“X＝2”的概率；
（2）求事件“X＝4且乙获胜”的概率．
【解答】解：（1）又打了2个球该局比赛结束，有两种情况，甲连赢2个球或乙连赢2个球，
所以P（X＝2）＝0.4×0.6+（1﹣0.4）×（1﹣0.6）＝0.48；
（2）设事件A为“X＝4且乙获胜”，
则事件A发生表示前2个球甲乙各赢1个球，第3个球和第4个球都是乙赢，
所以P（A）＝[0.4×（1﹣0.6）+（1﹣0.4）×0.6]×（1﹣0.4）×（1﹣0.6）＝0.1248．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC．
（1）证明：平面ABC1⊥平面BCC1；
（2）若直线AC与平面ABC1所成的角为θ，二面角C1﹣AB﹣C的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．
【解答】 （1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，易知AB⊥BB1，
又AB⊥BC，BB1∩BC＝B，且两直线在平面内，
所以AB⊥平面BCC1，又AB⊂平面ABC1，
所以平面ABC1⊥平面BCC1．
（2）过C作CD垂直BC于D点，连接AD，
由（1）可知平面ABC1⊥平面BCC1，
又平面ABC1∩平面BCC1＝BC1，所以CD⊥平面ABC1，垂足为D，
则∠CAD是直线AC与平面ABC1所成的角，即∠CAD＝θ，
由（1）可知AB⊥平面BCC1，所以AB⊥BC1，
又AB⊥BC，所以∠CBC1是二面角C1﹣AB﹣C的平面角，即∠CBC1＝φ，
在Rt△ADC中，，在Rt△CDB中，，
又BC＜AC，得sinθ＜sinφ，
又θ∈（0，），φ∈（0，），
所以θ＜φ．
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若点D在边BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．
【解答】解：（1）由题意及正弦定理可得sinB+csB，
即sinBsinA+csBsinA＝sinB+sinC＝sinB+sin（B+A），
即sinBsinA+csBsinA＝sinB+sinBcsA+csBsinA，
整理可得sinBsinA＝sinB+sinBcsA，在△ABC中，sinB≠0，
所以sinA﹣csA＝1，即sin（A），
因为A∈（0，π），可得A，
解得A；
（2）在△ABC，A，AD＝BD＝3，CD＝2，BC＝BD+CD＝3+2＝5，
由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcs∠BAC，
即25＝AB2+AC2﹣AB•AC，①
因为cs∠ADC＝﹣cs∠ADB，
在△ABD中，AB2＝BD2+AD2﹣2AD•BDcs∠ADB＝9+9﹣2×3×3cs∠ADB＝18﹣18cs∠ADB，②
在△ACD中，AC2＝CD2+AD2﹣2AD•CDcs∠ADC＝4+9+2×3×2cs∠ADB＝13+12cs∠ADB，③
②×2+③×3可得2AB2+3AC2＝75，④
由①④可得AC．
即b．
22．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α．
（1）设平面BCC1B1∩α＝l，求证：AD1∥l；
（2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比（其中V1≤V2）；
（3）当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积．
【解答】证明：（1）连接BC1，因为AB＝D1C1且AB∥D1C1，
所以ABC1D1为平行四边形，
所以AD1∥BC1，AD1⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以AD1∥平面BCC1B1，
又平面BCC1B1∩α＝l，AD1⊂平面α，
所以AD1∥l；
解：（2）在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，
设D1E∩DC＝F，连接AF，设BC∩AF＝G，连接GE，
由E为CC1的中点，得G为BC的中点，∴EG∥AD1，
所以平面AGED1即为平面α，
因为E为CC1的中点，所以C为DF的中点，
所以平面α将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE﹣DAD1，
因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，
所以
，
∴另一部分几何体的体积，
∴两部分的体积；
（3）取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接MN、ME、A1M、A1N，
显然MN∥BC1，EG∥BC1，所以MN∥EG，MN⊄平面AGED1，EG⊂平面AGED1，
所以MN∥平面AGED1，
又E为CC1的中点，所以ME∥B1C1且ME＝B1C1，又A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，
所以A1D1∥ME且A1D1＝ME，
所以A1D1EM为平行四边形，所以A1M∥D1E，
A1M⊄平面AGED1，D1E⊂平面AGED1，
所以A1M∥平面AGED1，
又A1M∩ME＝M，A1M，ME⊂平面A1MN，所以平面A1MN∥平面AGED1，
又点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α，
所以P在线段MN上，又，
即△A1MN为等腰三角形，所以当P为MN的中点时A1P最小，
因为△AA1D1为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边AD1的中点，设为Q，
令ME∩BC1＝H，则H为BC1的中点，连接QH，则QH∥AB，
所以QH⊥平面AA1D1，所以球心在QH上，设球心为O，连接OD1、OP、PH，
设外接球的半径为R，OQ＝h，则OD1＝OP＝R，
又，
所以，解得，则，
所以外接球的表面积．
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30
1
2
3
a
b
c
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，a）
（1，b）
（1，c）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，a）
（2，b）
（2，c）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，a）
（3，b）
（3，c）
a
（a，1）
（a，2）
（a，3）
（a，a）
（a，b）
（a，c）
b
（b，1）
（b，2）
（b，3）
（b，a）
（b，b）
（b，c）
c
（c，1）
（c，2）
（c，3）
（c，a）
（c，b）
（c，c）
1
2
3
a
b
c
1
×
（1，2）
（1，3）
（1，a）
（1，b）
（1，c）
2
（2，1）
×
（2，3）
（2，a）
（2，b）
（2，c）
3
（3，1）
（3，2）
×
（3，a）
（3，b）
（3，c）
a
（a，1）
（a，2）
（a，3）
×
（a，b）
（a，c）
b
（b，1）
（b，2）
（b，3）
（b，a）
×
（b，c）
c
（c，1）
（c，2）
（c，3）
（c，a）
（c，b）
×
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30
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