2023-2024学年湖南省邵阳二中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省邵阳二中高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a=(1,2,1)，b=(−2,3,1)，则(a−b)⋅b=( )
A. −19B. −9C. 9D. 19
2.直线ax+2y−6=0与直线3x+(a+5)y+3=0平行，则a=( )
A. −6B. 1C. −6或1D. 3
3.双曲线x23−y26=1的焦点到渐近线的距离为( )
A. 63B. 2C. 3D. 6
4.已知{Sn}为等差数列{an}的前n项和，若S4=14，S6=S2+22，则S6=( )
A. 26B. 27C. 28D. 29
5.设函数f(x)=x+lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. x−y−1=0B. 2x−y−1=0C. x−y−2=0D. 2x−y−2=0
6.某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A. 14B. 16C. 20D. 48
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3=9，a6=243，若关于n的不等式3anλ−2S2n−730≤0恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A. (−∞,27]B. (−∞,54]C. (−∞,27)D. (−∞,54)
8.设a=ln3，b= 3ln2，c= 2ln3，则a、b、c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. (x+1x)′=1−1x2
B. (x⋅csx)′=−sinx
C. (x2ex)′=2x−x2ex
D. f(x)=sin(2x−1)，则f′(x)=2cs(2x−1)
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=0，S15=25，则( )
A. a5=0B. {an}的前n项和中S5最小
C. 使Sn<0时n的最大值为9D. 数列{Snn}的前10项和为−15
11.已知直线l过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，点M为C的准线与x轴的交点，则下列结论正确的是( )
A. 若x1+x2=5，则|AB|=7
B. 过C的焦点的最短弦长为4
C. 当AF=2FB时，直线l的倾斜角为π3
D. 存在2条直线l，使得|AF|⋅|BM|=|BF|⋅|AM|成立
12.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，E为AD中点，F为A1C1中点，则( )
A. EF与BD1所成角的正弦值为 1010
B. VF−ECD=23
C. 若平面A1BC1与平面CC1E的交线为l，则直线l与BE所成角的余弦值为 55
D. 若D在平面A1C1B内的投影为点O，则AO=2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在(x+1x)6的二项展开式中，常数项是______．
14.若函数f(x)=12x2+2f′(0)csx+x，则f′(π6)的值为______．
15.已知直线l：x−my+1=0与圆C：x2+y2+4x−2 3y−2=0相交，则当圆C截直线l所得的弦长最短时，直线l的方程为______．
16.若函数f(x)=12x2−mx+ln x有极值，则函数f(x)的极值之和的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆C的圆心为点(2,2)，且与坐标轴相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求直线l：x−y−2=0被圆C所截得的弦长．
18.(本小题12分)
等差数列{an}满足a1+a2=10，a4−a3=2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，求数列{bn}的前n项和．
19.(本小题12分)
四棱锥P−ABCD中，BC/​/AD，BC⊥平面PAB，PA=AB=BC=2AD=2，E为AB的中点，且PE⊥EC．
(1)求证：BD⊥平面PEC；
(2)求二面角E−PC−D的正弦值．
20.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a12+a222+a323+⋯+an2n=n2n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1(4−an)(4−an+1)，Tn为数列{bn}的前n项和，试问：是否存在正整数m，n，使得Tn=112m？若存在，求出满足条件的所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同，F1，F2为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，△MF1F2面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点的直线：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，直线AF2与BF2的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
22.(本小题12分)
已知f(x)=eax+e−ax−ax2．
(1)当a=1时，证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)若f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为a=(1,2,1)，b=(−2,3,1)，所以a−b=(3,−1,0)，
则(a−b)⋅b=(−2)×3+(−1)×3+0×1=−9．
故选：B．
由空间向量的数量积坐标公式即可求得结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为直线ax+2y−6=0与直线3x+(a+5)y+3=0平行，
所以a(a+5)=2×33a≠3×(−6)，解得a=1．
故选：B．
根据两条平行直线的方程的关系，列出关于实数a的等式与不等式，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，双曲线的方程为x23−y26=1，
其焦点坐标为(±3,0)，其渐近线方程为y=± 2； 2x，即 2x±y=0，
则其焦点到渐近线的距离d=|3 2| 1+2= 6；
故选：D．
根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得S2，S4−S2，S6−S4成等差数列，
∴2(S4−S2)=S2+(S6−S4)，又S4=14，S6=S2+22，
∴2[14−(S6−22)]=S6−22+(S6−14)，解得S6=27．
故选：B．
由题意得S2，S4−S2，S6−S4成等差数列，结合条件求解即可．
本题考查等差数列前n项和性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
先对函数f(x)求导，进而利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式得解．
【解答】
解：f′(x)=1+1x，则f′(1)=2，
又f(1)=1，
则由点斜式可得，所求切线方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有12种；不含有甲的选法有4种，根据分类计数原理得到结果．
本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业．
【解答】
解：由题意知本题是一个分类计数问题，
由于甲有两个人参加会议需要分两类：
①含有甲的选法有C21C42=12种，
②不含有甲的选法有C43=4种，
共有12+4=16(种)，
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则a6=a3q3，即243=9q3，解得q=3，
所以a1=a3q2=932=1，所以an=3n−1,Sn=a1(1−qn)1−q=3n−12，
因为3anλ−2S2n−730≤0恒成立，即3nλ≤32n−1+730恒成立，即λ≤3n+7293n恒成立，
由基本不等式可得3n+7293n≥2 3n⋅7293n=54，当且仅当3n=7293n，即n=3时等号成立，
所以λ≤54，即实数λ的取值范围为(−∞,54]．
故选：B．
根据等比数列的通项公式与求和公式求出an=3n−1，Sn=3n−12，由题意可得λ≤3n+7293n恒成立，运用基本不等式求解即可．
本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，不等式恒成立，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：构造函数f(x)=2lnxx(x>0)，则f′(x)=2(lnx)′x−x′lnxx2=2(1−lnx)x2，
当00，函数f(x)在(0,e)上单调递增，
因为0< 2< 3因为35=243<256=28，所以ln3<85ln2< 3ln2，即ab>a．
故选：D．
利用函数f(x)=2lnxx在(0,e)上的单调性可得b、c的大小关系，利用对数函数的单调性可得出a、b的大小关系，以此可得结论．
本题考查导数应用及函数单调性应用，考查数学运算能力及抽象能力，所以中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：A选项，(x+1x)′=(x)′+(1x)′=1−1x2，故A正确；
B选项，(x⋅csx)′=(x)′csx+x(csx)′=csx−xsinx，故B错误；
C选项，(x2ex)′=(x2)′ex−x2(ex)′(ex)2=2xex−x2exe2x=2x−x2ex，故C正确；
D选项，f(x)=sin(2x−1)，则f′(x)=2cs(2x−1)，D正确．
故选：ACD．
利用导数计算公式分析各选项可得答案．
本题考查导数的计算相关知识，属于简单题．
10.【答案】BCD
【解析】解：设等差数列的首项为a1，公差为d，
所以S10=10a1+45d=0S15=15a1+105d=25，解得a1=−3d=23，
所以an=−3+(n−1)×23=2n3−113，Sn=(a1+an)n2=13n2−103n，
a5=103−113=−13≠0，故A错误；
Sn=13n2−103n=13(n−5)2−253，
由二次函数的性质可知(Sn)min=S5=−253，故B正确；
令13n2−103n<0，解得0因为Snn=13n−103，所以{Snn}是首项为−3，公差为13的等差数列，
所以{Snn}的前10项和为10×(−3)+10×92×13=−15，故D正确．
故选：BCD．
根据条件先求解出{an}的通项公式以及前n项和Sn，代入{an}的通项公式检验即可判断选项A；根据Sn的表达式结合二次函数的性质进行分析判断选项B；由条件得到关于n的一元二次不等式，由此求解出结果并判断选项C；先判断{Snn}为等差数列，然后利用公式进行求和并判断选项D．
本题主要考查等差数列的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=5+2=7，所以A正确；
当过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为4，所以B正确；
设直线l的方程为x=my+1，联立方程组x=my+1y2=4x，整理得y2−4my−4=0，
可得y1+y2=4m，y1y2=−4，
当AF=2FB时，y1=−2y2，则y1+y2=4m，y1y2=−4，
解得y2=± 2,B(12,± 2),k=±2 2，所以倾斜角不是π3，所以C错误；
由F(1,0)，M(−1,0)，则|AF|= (x1−1)2+y12= (my1+1−1)2+y12= (1+m2)y12，
|BF|= (x2−1)2+y22= (my2+1−1)2+y22= (1+m2)y22，
|AM|= (x1+1)2+y12= (my1+1+1)2+y12= (1+m2)y12+4my1+4，
|BM|= (x2+1)2+y22= (my2+1+1)2+y22= (1+m2)y22+4my2+4，
由|AF|⋅|BM|=|BF|⋅|AM|，则(|AF||BF|)2=(|AM||BM|)2，可得y12y22=(1+m2)y12+4my1+4(1+m2)y22+4my2+4，化简可得(my1y2+y1+y2)(y1−y2)=0，
由y1≠y2，则my1y2+y1+y2=0，
将y1+y2=4m，y1y2=−4代入，则−4m+4m=0恒成立，所以D错误．
故选：AB．
由抛物线的定义，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可判定B正确；设直线l的方程为x=my+1，联立方程组，得到y1+y2=4m，y1y2=−4，结合AF=2FB时，求得k=±2 2，可判定C错误；分别求得|AF|，|BF|，|AM|，|BM|，结合|AF|⋅|BM|=|BF|⋅|AM|，化简代入，得到−4m+4m=0恒成立，可判定D错误．
本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查计算能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：如图，以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
依题意可得B(2,0,0)，A1(0,0,2)，C1(2,2,2)，D1(0,2,2)，E(0,1,0)，F(1,1,2)，
所以BD1=(−2,2,2)，EF=(1,0,2)，
所以cs=BD1⋅EF|BD1||EF|=22 3× 5= 1515，
即EF与BD1所成角的余弦值为 1515，
所以EF与BD1所成角的正弦值为 1−( 1515)2= 21015，故A错误；
S△ECD=12×2×1=1，VF−ECD=13×2×S△ECD=23，故B正确；
由图可知，平面A1BC1与平面CC1E的交线为MC1，所以M为A1G的中点，所以M(0,1,3)，
MC1=(2,1,−1)，因为EB=(2,−1,0)，
所以cs=EB⋅MC1|EB||MC1|= 3010，故C错误；
因为BD=C1D=A1D=A1B=C1B=A1C1=2 2，所以三棱锥D−A1C1B为正三棱锥，
因为D在平面A1C1B内的投影为点O，所以O为△A1C1B的中心，
故O(xA1+xC1+xB3,yA1+yC1+yB3,zA1+zC1+zB3)，所以O(43,23,43)，
所以AO=(43,23,43)，所以|AO|=2，故D正确．
故选：BD．
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可判断ACD；利用棱锥的体积公式即可判断B．
本题主要考查异面直线所成的角，棱锥体积的求法，考查向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】20
【解析】解：由Tr+1=C6r⋅x6−r⋅(1x)r=C6r⋅x6−2r．
由6−2r=0，得r=3．
∴常数项是C63=20．
故答案为：20．
写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
14.【答案】π6
【解析】解：因为f′(x)=x−2f′(0)sinx+1，令x=0，则f′(0)=1，
所以f′(x)=x−2sinx+1，则f′(π6)=π6．
故答案为：π6．
求导后令x=0可得f′(0)=1，再求解f′(π6)即可
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
15.【答案】x− 3y+1=0
【解析】解：由题意得l：x−my+1=0恒过点P(−1,0)．
圆C：x2+y2+4x−2 3y−2=0的标准方程为(x+2)2+(y− 3)2=32，
所以圆心C(−2, 3),r=3，
且|PC|=2方法一：由直线与圆的几何性质知，当PC⊥l时，所截得弦长最短，
此时kPC⋅kl=−1.即m=−kpc=− 3−0−2−(−1)= 3，
所以直线l的方程为x− 3y+1=0．
方法二：易得直线l的方向向量为n=(m,1),PC=(−1, 3)，
当圆C截直线l所得的弦长最短时，n⊥PC．
所以n⋅PC=0，解得m= 3，
所以直线l的方程为x− 3y+1=0．
故答案为：x− 3y+1=0．
首先由题意得l：x−my+1=0恒过点P(−1,0)，P点在圆内，则可知当PC⊥l时，所截得弦长最短，计算可得答案；或者由圆C截直线l所得的弦长最短时，直线l的方向向量n满足n⊥PC，计算也可得答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】(−∞,−3)
【解析】【分析】
本题考查导数在求解函数极值中的应用，考查韦达定理及二次函数的性质，属于较难题．
f′(x)=0在(0,+∞)上有根，即方程x2−mx+1=0在(0,+∞)上有根．设方程x2−mx+1=0的两根为x1，x2，得f(x1)+f(x2)=12(x12+x22)−m(x1+x2)+(lnx1+lnx2)=−12m2−1<−3，即可得出结果．
【解答】
解：∵f(x)的定义域是(0,+∞)，
f′(x)=x−m+1x=x2−mx+1x，
∵f(x)存在极值，
∴f′(x)=0在(0,+∞)上有实根，
即方程x2−mx+1=0在(0,+∞)上有实根，
设方程x2−mx+1=0的两根为x1，x2，
∵x1x2=1>0，
∴两根x1，x2同号，且同正，
∴Δ=m2−4>0，x1+x2=m>0，x1x2=1，
即m>2，
∴f(x1)+f(x2)
=12(x12+x22)−m(x1+x2)+(lnx1+lnx2)
=12(x1+x2)2−x1x2−m(x1+x2)+lnx1x2
=12m2−1−m2
=−12m2−1<−3，
故函数f(x)的极值之和的取值范围是(−∞,−3)．
故答案为(−∞,−3)．
17.【答案】解：(1)∵圆C的圆心为点(2,2)，且与坐标轴相切，
∴圆C的半径为r=2，
∴圆C的方程为(x−2)2+(y−2)2=4；
(2)∵圆C的圆心C(2,2)，
∴圆心C到直线的距离为|2−2−2| 1+1= 2．
∴所求的弦长为2 22−( 2)2=2 2．
【解析】(1)由圆心与坐标轴相切确定半径长度，即可直接写出方程；
(2)先用点线距离公式求出圆心C到直线的距离，结合垂径定理即可求弦长．
本题考查了圆的标准方程以及直线与圆的位置关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a1+a2=10，a4−a3=2，可得a1+a1+d=10，d=2，
解得a1=4，d=2，
可得an=4+2(n−1)=2n+2；
(2)设等比数列{bn}的公比为q，
由b2=a3，b3=a7，可得b1q=8，b1q2=16，
解得b1=4，q=2，
则数列{bn}的前n项和为Sn=4(1−2n)1−2=2n+2−4．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得公差和首项，进而得到所求通项公式；
(2)设等比数列{bn}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：因为BC⊥平面PAB，PE⊂平面PAB，
所以BC⊥PE，
因为PE⊥EC，EC∩BC=C，EC，BC⊂平面BCD，
所以PE⊥平面BCD，
又BD⊂平面BCD，
所以PE⊥BD，
因为tan∠ABD=ADAB=12，tan∠BCE=BEBC=12，
所以∠ABD=∠BCE，
因为∠BCE+∠CEB=90°，
所以∠ABD+∠CEB=90°，即BD⊥CE，
又PE∩CE=E，PE，CE⊂平面PEC，
所以BD⊥平面PEC．
(2)解：由(1)得PE⊥AB，
因为E为AB的中点，且PA=AB=2，所以PB=2，
以E为坐标原点，EB，EP所在直线分别为x轴，z轴，过点E作BC的平行线为y轴，建立空间直角坐标系E−xyz，

则E(0,0,0)，P(0,0, 3)，C(1,2,0)，D(−1,1,0)，B(1,0,0)，
所以PC=(1,2,− 3)，PD=(−1,1,− 3)，PE=(0,0,− 3)，
设平面PCD的法向量为m=(x,y,z)，
由PC⋅m=0，PD⋅m=0得，x+2y− 3z=0−x+y− 3z=0，
令x=1，则y=−2，z=− 3，所以m=(1,−2,− 3)，
由(1)知，平面PCE的一个法向量为BD=(−2,1,0)，
所以cs=m⋅BD|m||BD|=−4 8× 5=− 105，
所以二面角E−PC−D的正弦值为 155．
【解析】(1)先证PE⊥平面BCD，知PE⊥BD，再利用平面几何知识证明BD⊥CE，然后由线面垂直的判定定理，即可得证；
(2)以E为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵a12+a222+a323+⋯+an2n=n2n，①
∴当n=1时，a12=12，∴a1=1；
当n≥2时，a12+a222+a323+⋯+an−12n−1=n−12n−1，②
由①−②得an2n=n2n−n−12n−1=2−n2n，
∴an=2−n，n≥2，n∈Ν*．
当n=1时，a1=2−1=1符合，∴an=2−n，n∈Ν*．
(2)存在．
理由：由(1)知an=2−n，∴bn=1(4−an)(4−an+1)=1(n+2)(n+3)=1n+2−1n+3，
∴Tn=13−14+14−15+⋯+1n+2−1n+3=13−1n+3．
令13−1n+3=112m，得m=4−12n+3．
∵m，n∈Ν*，∴n+3的可能值为4，6，12，即n的值为1，3，9，对应的m的值为1，2，3，
∴存在正整数m，n，使得Tn=112m．
因此满足条件的所有m，n的值为m=1,n=1或m=2,n=3或m=3,n=9.
【解析】(1)根据题意，由原式可得n≥2时，将(n−1)替换n，然后两式相减作差，即可得到数列{an}的通项公式，再检验n=1时，也满足；
(2)根据题意，由(1)可得数列{an}的通项公式，从而可得{bn}的通项公式，结合裂项相消法代入计算，即可得到Tn，从而得到结果．
本题考查知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和实际问题的应用能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由抛物线的方程y2=4x得其焦点为(1,0)，所以椭圆中c=1，
当点M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2面积最大，
此时S=12×2c×b=2，所以b=2，则a2=b2+c2=5，
所以椭圆的方程为x25+y24=1；
(2)证明：依题意，直线：y=kx+m，其中m≠0，F2(1,0)，

联立x25+y24=1y=kx+m，消去y，得(5k2+4)x2+10kmx+5m2−20=0，
则Δ=100k2m2−4(5k2+4)(5m2−20)=80(5k2−m2+4)>0，得5k2+4>m2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−10km5k2+4,x1x2=5m2−205k2+4，
又k1+k2=kx1+mx1−1+kx2+mx2−1=0，整理得2kx1x2+(m−k)(x1+x2)−2m=0，
即2k×5m2−205k2+4+(m−k)×(−10km5k2+4)−2m=0，化简得m=−5k，
所以直线l的方程为y=k(x−5)，
因此直线l 恒过定点，该定点坐标为(5,0)．
【解析】(1)由抛物线的焦点为(1,0)可以得到椭圆的半焦距c，而△MF1F2的面积的最大值为bc，利用bc算出b，从而求出a和椭圆方程；
(2)联立直线与椭圆方程组得到x1+x2，x1x2，进而利用k1+k2=0得到关于m，k的关系式，从而得解．
本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=ex+e−x−x2，∴f′(x)=ex−e−x−2x，
令g(x)=f′(x)=ex−e−x−2x，
则g′(x)=ex+e−x−2≥2 ex⋅e−x−2=0，当且仅当x=0时取等号，
∴当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)是增函数，
∴g(x)>g(0)=0，即f′(x)>0，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)f(x)=eax+e−ax−ax2定义域为R，
∵f(−x)=e−ax+eax−a(−x)2=eax+e−ax−ax2=f(x)，∴f(x)是偶函数，
若f(x)≥2恒成立，则只需考虑f(x)≥2在[0,+∞)恒成立．
当a=0时，f(x)=2，符合题意；
当a=1时，f(x)=ex+e−x−x2，由(1)知，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
则当x∈[0,+∞)时，f(x)≥f(0)=2，符合题意；
当a≠0，1时，f′(x)=aeax−ae−ax−2ax=a(eax−e−ax−2x)，
令h(x)=eax−e−ax−2x，则h′(x)=a(eax+e−ax)−2，
当a>1时，h′(x)=a(eax+e−ax)−2≥a⋅2 eax⋅e−ax−2=2a−2>0，
∴当x∈[0,+∞)时，h(x)单调递增，则h(x)≥h(0)=0，
∴f′(x)=a⋅h(x)>0，则f(x)在[0,+∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)=2，符合题意；
当a<0时，h′(x)=a(eax+e−ax)−2<0，
∴当x∈[0,+∞)时，h(x)单调递减，则h(x)≤h(0)=0，
∴f′(x)=a⋅h(x)>0，则f(x)在[0,+∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)=2，符合题意；
当0∴k′(x)=a2(eax−e−ax)=a2[(eax)2−1]eax，
当x∈[0,+∞)时，eax≥1，则k′(x)≥0，则k(x)在[0,+∞)上单调递增，
∵k(0)=2a−2<0，k(1aln2a)=a(eln2a+e−ln2a)−2>a⋅eln2a−2=a⋅2a−2=0，
则存在x0∈(0,1aln2a)，使得k(x0)=0成立，
∴当x∈(0,x0)时，k(x)<0，即h′(x)<0，h(x)单调递减，∴h(x)∴f′(x)=a⋅h(x)<0，则f(x)在(0,x0)上单调递减，
∴f(x)综上可知，a的取值范围是(−∞,0]∪[1,+∞)．
【解析】(1)当a=1时，f′(x)=ex−e−x−2x，令g(x)=f′(x)=ex−e−x−2x，结合基本不等式得g′(x)>0，g(x)是增函数，则g(x)>g(0)=0，即f′(x)>0，即可得证；
(2)f(x)是偶函数，只需考虑f(x)≥2在[0,+∞)恒成立．分为a=0，a=1，a>1，a<0，0本题考查导数的综合应用，属中档题．