湖南省邵阳市新邵县2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试卷（含答案）

这是一份湖南省邵阳市新邵县2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省邵阳市新邵县2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、复数的实部为( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
2、能反映一组数据的离散程度的是( ).
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差
3、设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
4、已知a，b，c为三个内角A，B，C的对边，，，，则( )
A. B. C. D.
5、已知，向量与的夹角为，则( )
A.5 B. C. D.
6、若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7、在ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，若，则( )
A.1 B. C. D.
8、从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”，“取出的数字是1或4”，命题“①与相互独立；②与相互独立；③与相互独立中真命题”的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
二、多项选择题
9、已知复数满足（i是虚数单位），则下列关于复数的结论正确的是( )
A.
B.复数的共轭复数为
C.复平面内表示复数的点位于第三象限
D.复数是方程的一个根
10、下列说法中正确的是( )
A.若，，则
B.若，则存在唯一实数使得
C.两个非零向量，，若，则与共线且反向
D.若P是的重心，则
11、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A.若，则此三角形为等腰三角形
B.若，则
C.若，，，则解此三角形必有两解
D.若是锐角三角形，则
12、如图，正方体的棱长为2，则下列四个命题正确的是( )

A.直线BC与平面所成的角等于
B.点到面的距离为
C.两条异面直线和所成的角为
D.三棱柱外接球表面积为
三、填空题
13、已知复数与分别表示向量和，则表示向量的复数为______.
14、鄂州市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级800人中采用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样本，已知样本中男生比女生多8人，则该校高一年级男生有_________人.
15、已知甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲､乙､甲､乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲､乙共射击了四次的概率是___________.
16、如图，在中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为___________.

四、解答题
17、已知向量，向量.
(1)当时，求实数x的值；
(2)当时，求向量与向量的夹角.
18、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且.
(1)求C；
(2)求的面积.
19、某中学演讲社团共有6名同学，其中来自高一年级的有一女两男，来自高二年级的有两女一男.
（1）若从这6名同学中随机选出两人参加演讲比赛，
（i）求高二年级的男生被选中的概率；
（ii）求其中至少有一名男生的概率；
（2）若从每个年级的3名同学中各任选1名，求选出的2名同学性别相同的概率.
20、如图，在直三棱柱中，，，M，N分别为棱AC、的中点.

(1)证明：平面.
(2)求点B到平面CMN的距离.
21、一家商场根据以往某商品的销量记录绘制了日销量的频率分布直方图，但工作人员不小心滴到直方图上一滴墨水，如下图.

（1）求直方图中被墨水污损的数字的值；
（2）由直方图估计日销量的平均数､众数和分位数.(分位数精确到小数点后两位)
22、如图所示，在四棱锥中，已知底面ABCD是边长为6的菱形，，，，E为线段AB上的点，且.

(1)证明：平面平面；
(2)F为线段PD上的一点，且平面，求的值及直线EF与平面ABCD的夹角.
参考答案
1、答案：B
解析：，实部为-1，
故选：B.
2、答案：D
解析：众数代表一组数据的一般水平，
平均数表示一组数据的集中趋势，
中位数可将数值集合划分为相等的上下两部分，
方差能反映一组数据的离散程度，
综上，能反映一组数据的离散程度的是方差，
故选:D.
3、答案：A
解析：对于A，因为，，所以，所以A正确；
对于B，当，时，a与b可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，
对于C，当，时，b与可能平行，可能相交不垂直，也可能b在内，所以C错误，
对于D，当，时，b与可能平行，可能相交不垂直，也可能b在内，所以D错误，
故选：A
4、答案：A
解析：依题意，，
由知，.
故选：A.
5、答案：D
解析：，向量与的夹角为


故选：D.
6、答案：B
解析：设该圆锥的底面半径为r，则，
所以该圆锥的底面半径，
设圆锥的母线长为l，则，即，
则圆锥的高为，
因此该圆锥的体积，
故选:B
7、答案：D
解析：D是BC的中点，E为AD的中点，

，
，，，
，

故选：D.
8、答案：C
解析：从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”，“取出的数字是1或4”，则
，，，
，，，
对于命题①：，与相互独立，故①是真命题；
对于命题②：，与相互独立，故②是真命题；
对于命题③：，与相互独立，故③是真命题；
故选：C
9、答案：ABD
解析：由，得.
，故A正确；
，故B正确；
平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C错误；
，
复数是方程的一个根，故D正确.
故选：ABD.
10、答案：CD
解析：若，可满足，，但不一定成立，A选项错误；
若，可满足，但不满足存在唯一实数使得，B选项错误；
由，两边平方得，
，得，即，
则非零向量与共线且反向，C选项正确；
若P是的重心，如图所示，

，D选项正确.
故选：CD
11、答案：BCD
解析：对于A：因为，，且角2A，2B最多有一个大于，
所以由可知，或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B：由正弦定理可知，又，所以，
可得，因为，所以，故B正确；
对于C：由正弦定理可得，
因为且，即，所以或，故此三角形有两解，故C正确；
对于D：因为是锐角三角形，所以，即，
又在上单调递增，所以，
同理，
所以，故D正确.
故选：BCD
12、答案：BC
解析：由题意，正方体的棱长为2，
对于A中，连接，设与交于点O，
因为，，可得证得平面，
所以即为直线BC与平面所成的角，且，所以A不正确；
对于B中，连接，设与交于点M，可得证得平面，
即即为点到面的距离，可得，
即点到面的距离为，所以B正确；
对于C中，在正方体中，连接，，可得，
所以两条异面直线和所成的角，即为相交直线与所成的角，
又因为为等边三角形，可得，
即两条异面直线和所成的角为，所以C正确；
对于D中，三棱柱外接球与正方体的外接球为同一个球，
由正方体的性质，可得外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，所以D不正确.
故选：BC.

13、答案：
解析：，，
，
即向量表示的复数为.
故答案为：.
14、答案：500
解析：设样本中男生为x人，则女生为人，由得，
总体中男生人数为n，则，解得.
故答案为：500.
15、答案：或0.01
解析：设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，停止射击时甲､乙共射击了四次，说明甲､乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率.
故停止射击时，甲､乙共射击了四次的概率是.
故答案为：
16、答案：-1
解析：由题意，设，，
所以，.
又，，
所以

，
当时，取得最小值-1.
故答案为：-1.
17、答案：(1)；
(2).
解析：（1）当时，，解得：.
（2）当时，，即，夹角为，则，
，∴当时，向量与向量的夹角为.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为，
所以在中由正弦定理可知：，
又因为，
所以，
所以，
所以，
即.
因为，所以，
即，
因为，
所以.
（2）由（1）可知，所以，
由余弦定理可得，
因为，，
所以，
解得，
所以.
19、答案：（1）（i）；（ii）；（2）.
解析：高一年级的一女两男分别记为，，；高二年级的两女一男分别记为，，.
（1）从这名同学中随机选出两人有，，，，，，，，，，，，，，共个样本点.
（i）高二年级的男生被选中有，，，，共5个样本点，所以高二年级的男生被选中的概率为.
（ii）“至少有一名男生”是“全是女生”的对立事件，“全是女生”有，，共3个样本点，所以“至少有一名男生”的概率为.
（2）从每个年级的名同学中各任选1名有，，，，，，，，共9个样本点，性别相同共有，，，共4个样本点，所以概率为.
20、答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1）取AB中点D.连接ND，MD，
因为在直棱柱中，M，N分别是AC，中点，
所以，，，
平面，平面，所以平面，同理平面，
，ND平面MND，
所以平面平面，又平面MND，
所以平面；

（2）连接BM，BN，AN，CD，由直棱柱平面ABC，知平面ABC，
而平面ABC，所以，同理，
，，
，，
，，，
中，，所以，
，
设B到平面MCN的距离为h，
则，
所以.即点B到平面CMN的距离为.
21、答案：（1）0.0125；
（2）平均数､众数和分位数分别为33.6，30，47.69.
解析：（1）设被墨水污损的数字为a.
由直方图的所有矩形的面积和为1得，
，
解得.
（2）平均数的估计值为，
所以平均数的估计值为33.6个.
众数的估计值为.
设分位数为y，由图可知日销量在40以下的占比为，
而日销量在60以下的占比为，
因此，日销量的分位数一定位于内，
所以分位数为.
综上，由直方图估计日销量的平均数､众数和分位数分别为33.6，30，47.69.
22、答案：(1)证明见解析
(2)，
解析：（1）证明：设AC与BD相交于O点，连接PO，
四边形ABCD为菱形，，
，，
又，BD，平面PBD，
则平面PBD，
平面PAC，
平面平面PBD.
（2）在线段PD上作F点，过F点作，交PC于G，连接EF，BG，
，，则，故E，F，G，B四点共面，
平面PBC，平面EFGB，平面平面，
，故四边形EFGB为平行四边形，则，
，，
，，
在中，，，
在（1）知，又，AC，BD平面ABCD，
平面ABCD，
过F作，交BD于H点，故且，
在中，，，
连接EH，在中，，
平面ABCD，则为直线EF与平面ABCD的夹角，
在中，，，
直线EF与平面ABCD的夹角为.