邵阳市第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

邵阳市第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知i为虚数单位，，则(   )

A. B.i C. D.-i

2、在锐角三角形中，，则(   )

A. B. C. D.

3、已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是(   )

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，，则

4、甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为(   )

A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.2

5、已知，，，则a，b，c的大小顺序为(   )

A. B. C. D.

6、在中，，若，则的值为(   )

A. B. C. D.

7、在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

8、函数满足，当,时都有，且对任意的，不等式恒成立.则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列说法正确的是(   )

A.命题“,”的否定是“,”

B.若，则“”是“”的必要不充分条件

C.若事件A,B满足，则A,B是对立事件

D.若事件A,B满足，则事件A,B相互独立

10、复数,在复平面内对应的向量分别为,，则下列四个结论错误的是(   )

A.

B.若，则

C.恒成立

D.若，则

11、已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的是(   )

A.若，则

B.若，，，则该三角形有两解

C.若，则一定为等腰三角形

D.若，则一定为钝角三角形

12、已知正方体的棱长为1，H为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是(   )

A.

B.二面角的大小为

C.点H到平面距离的取值范围是

D.若，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

三、填空题

13、若，则的最小值为________________.

14、若，则______.

15、一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为_________.

16、已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为________.

四、解答题

17、已知向量，，若，，与的夹角为.

（1）求；

（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？

18、2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示：

（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；

（3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在的概率.

19、如图，在四棱锥中，,,,,M是的中点.

（1）证明：;

（2）证明：；

（3）求三棱锥的体积.

20、在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知.

（1）求角A；

（2）若D为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围.

21、如图，在三棱台中，，平面，平面平面.

（1）求证：；

（2）若，的面积为4，求二面角的余弦值.

22、已知函数是偶函数.

（1）求m的值；

（2）若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：因为，

所以.

故选：B.

2、答案：A

解析：在锐角三角形中，，由正弦定理得，

又，所以，且，故.

故选：A.

3、答案：D

解析：A：，，则或，错误；

B：，，则或，错误；

C：，，则,相交或平行，错误；

D：，，则，又，故，正确.

故选：D.

4、答案：C

解析：甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.

则密码被破译的概率为:.

故选：C.

5、答案：B

解析：，

，

，

所以.

故选：B.

6、答案：A

解析：因为，所以D为上靠近点A的三等份点，

所以

,

因为，

所以，，

所以，

故选：A.

7、答案：A

解析：

如图，连接AC、BD、、，设，，连接MN.

棱台侧棱相等，易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，

如图当球心在线段MN延长线上时，

易得，，，，，

由得，，即

，

故，

外接球表面积为.

如图当球心在线段MN上时，

由得，，即

舍去，

故选：A.

8、答案：C

解析：由题得函数为偶函数，在单调递增，

则对任意的，不等式恒成立，

则不等式，恒成立，

则，恒成立，

得，得，恒成立，

则且，或且，恒成立，

即当时，且，或且，

又当，有，，

得.

故选：C.

9、答案：BD

解析：对于A，命题“,”的否定是“,”，A错；

对于B，由，可得，

所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；

对于C，若事件A,B不互斥，

但恰好，

满足，但不对立，C错；

对于D，满足独立事件的判断公式，D正确.

故选：BD.

10、答案：ABD

解析：由题意，

A项，

当,时，

此时，A错误；

B项，

当,时，

，，B错误；

C项，

复数,在复平面内对应的向量分别为,，

，

∴恒成立，C正确；

D项，

当,时，，，D错误.

故选：ABD.

11、答案：AD

解析：对A，由三角形的性质，当时，，又由正弦定理，故，故A正确；

对B，由正弦定理，故，故，因为，故，故该三角形只有1解，故B错误；

对C，由正弦定理，，故，所以或，即，所以为等腰或者直角三角形，故C错误；

对D，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定为钝角三角形，故D正确；

故选：AD.

12、答案：ACD

解析：

由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,,,,,

设，其中，

对于A：,，故即，

故A正确.

对于B：，,，

设平面的法向量为，

则，即，取，则,

故.

设平面的法向量为，

则，即，取，则,

故.

故，而二面角为锐二面角，

故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故B错误.

对于C：，，

设平面的法向量为，

则，即，取，则,

故.

而，

故H到平面的距离为，

故C正确.

对于D：设直线与平面所成的角为.

因为，故为平面的法向量，

而，故，

而，

故D正确.

故选：ACD.

13、答案：4

解析：，

当且仅当,时等号成立.

故答案为：4.

14、答案：或－0.28

解析：，

故答案为：.

15、答案：5

解析：设这组数据为，均值为，不妨设，，

方差为；

由题意，新数据为，显然新数据的均值与原数据的均值相等，

其方差为

；

即新数据的方差比原数据的方差增加了5；

故答案为：5.

16、答案：

解析：如图作，，

如图，以点O为原点，为x的正方向建立平面直角坐标系，

因为，，，

所以点A的坐标为，点E的坐标为

作，设点B的坐标为，

因为，

所以，所以，

所以点B在以为圆心，以1为半径的圆上，

因为对任意的实数t，均有，

所以，又，

所以恒成立，

所以，

所以，即，

作，设点C的坐标为，

则，即，

所以点C在直线上，

因为，

又点B在圆上一动点，

点C在直线上一动点，

所以点B到点C的最小距离为点A到点C的距离减去圆的半径1，

即，当且仅当点B为线段与圆的交点时等号成立，

因为点到直线的距离，

所以点A到点C的距离大于等于，即，

所以，

当且仅当垂直于直线且点B为线段与圆的交点时等号成立，

所以最小值为，

故答案为：.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）由已知可得，，，，

所以，，

所以，.

（2）由已知可得，

即，

所以有，解得.

18、答案：（1）70.5

（2）71.67

（3）

解析：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数

（2）因为成绩在的频率为，成绩在的频率为，

所以中位数为.

（3）在和两组中的人数分别为

和人，

所以在分组中抽取的人数为人，记为a,b,c，

在分组中抽取的人数为2人，记为1,2，

所以这5人中随机抽取2人的情况有ab,ac,bc,a1,b1,b2,c1,c2,1,2共10种，

其中两人得分都在的情况有1种，

所以两人得分都在的概率为.

19、答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）

解析：（1）取中点N，连接，

,,,

,

为平行四边形，则，

面，面,

.

（2）因为，所以，

由平面,平面，所以，

又由，且,平面，所以平面，

又平面，所以平面平面，即平面平面.

（3）由（1）可得，且平面，平面，所以平面，

所以，

因为平面，可得，

又由,,

所以，

所以，即三棱锥的体积为.

20、答案：（1）

（2）

解析：（1）由，结合正弦定理可得：

，则，

因为A、，则，所以，，

可得，故.

（2）由可得，所以，，

所以，，故，

在中，，，

由正弦定理可得，

所以，，

因为，则，所以，.

所以，的取值范围是.

21、答案：（1）见解析

（2）.

解析：（1）证明：取中点D，连接，

因为，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，平面，

所以①，

又因为平面，平面，

所以②，易知与相交③,

由①②③可得平面，

又因为平面，

所以；

（2）因为平面，，平面，

所以，，

由（1）可知平面，平面，

所以，

所以以A为原点，、、所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系：

因为，所以，，

又因为的面积为4，即，解得，

所以，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则有，即，所以，

取，

设平面法向量为，

则有，即，所以，

取，

设二面角的大小为，为锐角，

则有.

22、答案：（1）

（2）

解析：（1）因为，

所以，

，

因为函数为偶函数，则，即，

所以，，解得.

（2）由（1）可得

，

，

任取、，且，则，

，

当时，，则，

所以，，即，

当时，，则，

所以，，即，

所以，函数在上递减，在上递增，

令，问题转化为：，即，

再令，所以，对恒成立.

（i）当时，左边，右边，不符合题意.

（ii）当时，

①当时，则，，

当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；

②当时，有，

所以，，

当，则，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，

所以，，此时，；

③当时，恒成立，符合题意.

综上所述，m的取值范围是，

的取值范围是.