2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a6=12，S6=42，则{an}的公差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知f(x)=x3+x2，则f(x)的单调递减区间是( )
A. (−∞,−23)B. (−23,0)
C. (0,+∞)D. (−∞,−23)和(0,+∞)
3. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极大值，则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4. 随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末.现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末.记事件A为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B为“两个家庭选择的景点不同”，则P(B|A)=( )
A. 23B. 78C. 89D. 910
5. 某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩X～N(78,9)，如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线应该是( )
参考数据：若X～N(μ,σ2)，则P(|X−μ|≤σ)≈0.68，P(|X−μ|≤2σ)≈0.96．
A. 69B. 81C. 87D. 96
6. 某外贸工厂今年的月份x与订单y(单位：万元)的几组对应数据如下：
变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为：y =b x+a ，则估计10月份该厂的订单数为( )
参考数据：i=15yi=175，i=15xiyi=608，i=15xi2=55
参考公式：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2
A. 93.1B. 89.9C. 83.1D. 59.9
7. 下列说法正确的是( )
A. 在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数R2越大
B. 随机变量X的方差为2，则D(2X+1)=5
C. 随机变量ξ～B(n,p)，若E(ξ)=30，D(ξ)=20，则n=45
D. 安排4名飞行员同时到3所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有36种
8. 已知f(x)=2lnx−x，g(x)=−12tx2+2tx，t∈R，则下列说法正确的是( )
A. 当tB. 当ln2−1C. 当t≤−12或t≥0时，函数f(x)的图象和函数g(x)的图象没有公共点
D. 当−12二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列关于(1− x)10的说法，正确的是( )
A. 展开式的各二项式系数之和是1024B. 展开式各项系数之和是1024
C. 展开式的第5项的二项式系数最大D. 展开式的第3项为45x
10. 设数列{an}满足a1=−1，an+1=an2+5an(n∈N*)，则( )
A. {1an+5}为等比数列B. {an}的通项公式为an=12n+1−5
C. {an}为递减数列D. {1an}的前n项和Tn=2n+2−5n−4
11. 费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1、F2分别是以y=±34x为渐近线且过点A(4 2,3)的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点P(x0,y0)(x0>4,y0>0)处的切线l交x轴于点Q，则( )
A. 双曲线C的离心率为 74
B. 双曲线C的方程为x216−y29=1
C. 过点F1作F1K⊥PQ，垂足为K，则|OK|=8
D. 点Q的坐标为(16x0,0)
12. 已知函数f(x)=x(1−lnx)，下列选项正确的是( )
A. f(x)有最大值
B. f(3e)C. 若x≥e时，f(x)−a(e−x)≤0恒成立，则a≤1
D. 设x1，x2为两个不相等的正数，且lnx1x1−lnx2x2=1x2−1x1，则1x1+1x2>2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (x+y)(x−y)5的展开式中x2y4的系数是______ (用数字作答)．
14. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是______ ；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是______ ．
15. 已知函数f(x)在R上满足2f(x)=f(2−x)+x2+4x−4−sinπxπ，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是______ ．
16. 已知数列{an}满足2na1+2n−1a2+⋯+22an−1+2an=2n−n2−1，若cn=1 an+ an+1，则数列{cn}的前n项和Tn= ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2−b2+c2=4，sinB= 24．
(1)求△ABC的面积；
(2)若sinAsinC= 147，求b．
18. (本小题12.0分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an,n为奇数,3an,n为偶数.．
(1)记bn=a2n，证明数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前2n项和T2n．
19. (本小题12.0分)
为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：
(1)根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取8人，再从这8人中随机选取4人访谈，记参与访谈的女生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关．
参考公式和数据如下：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d
20. (本小题12.0分)
如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，AB=2，M是CD上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMC⊥平面AMD；
(2)当三棱锥M−ABC的最大体积为 33时，求直线DM与平面MAB所成角的余弦值．
21. (本小题12.0分)
随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注.某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试，随机抽取了50名学生的测试成绩，按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：
(1)用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取2名学生的成绩，记成绩在[80,100]的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲乙丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人．
①求第二次传球后彩球在乙手上的概率；
②记第i次传球后彩球在乙手上的概率为pi，求pi．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x+exa，g(x)=sinx，其中a为实数，e是自然对数的底数．
(1)若a=−1时，证明：∀x1，x2∈R，f(x1)≤g(x2)；
(2)若h(x)=f(x)−g(x)在(0,π)上有唯一的极值点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知：S6=6(a1+a6)2=3(a1+12)=42，
解得a1=2，所以{an}的公差d=a6−a16−1=2．
故选：B．
根据等差数列的求和公式可求得a1=2，再根据等差数列性质运算求解．
本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=x3+x2，
∴f′(x)=3x2+2x=x(3x+2)，
令f′(x)<0，解得：−23故f(x)的递减区间是(−23,0)．
故选：B．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
解：∵函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极大值，
∴当x>−2时，f′(x)<0；
当x=−2时，f′(x)=0；
当x<−2时，f′(x)>0．
∴当−20；x>0时，xf′(x)<0；
当x=−2时，xf′(x)=0；
当x<−2时，xf′(x)<0．
故选：D．
【解答】
本题考查利用导数研究函数的极值的应用，属于中档题．
由题设条件知：当0>x>−2以及x>0时，xf′(x)的符号；当x=−2时，xf′(x)=0；当x<−2时，xf′(x)符号．由此观察四个选项能够得到正确结果．

4.【答案】C
【解析】解：根据题意，现有两个家庭，他们分别从这5个户外景点中随机选择1个景点度周末，有5×5=25种选择方法，
若两个家庭中至少有一个家庭选择白云山，则有25−16=9种选法，则P(A)=925，
若两个家庭选择的景点不同且至少有一个家庭选择白云山，有C21C41=8种选法，则P(AB)=825，
故P(B|A)=P(AB)P(A)=825925=89．
故选：C．
根据题意，由古典概型公式求出P(A)、P(AB)，进而由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意排列组合的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：数学测试成绩X～N(78,9)，
则μ=78，σ= 9=3，
故P(X>μ+σ)=1−P(|X−μ|≤σ)2≈0.16，
故A等级的分数线应该是μ+σ=78+3=81．
故选：B．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：x−=1+2+3+4+55=3，y−=15i=15yi=175=35，
i=15xiyi=608，i=15xi2=55，
∴b =i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−5x−2=608−5×3×3555−5×32=8310=8.3，
a =y−−b x−=35−8.3×3=10.1．
∴y关于x的线性回归方程为y =8.3x+10.1，
取x=10，可得y =8.3×10+10.1=93.1．
故选：A．
由已知求得b 与a 的值，可得y关于x的线性回归方程，取x=10求得y 值即可．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：对于选项A：因为残差平方和越大，决定系数R2越小，故A错误；
对于选项B：因为D(2X+1)=4D(X)=8，故B错误；
对于选项C：因为E(ξ)=np=30D(ξ)=np(1−p)=20，解得n=90p=13，故C错误；
对于选项D：可知必有一个学校安排了两名飞行员，先分组有C42=6种不同安排方法，
再分配到3个学校有A33=6种不同安排方法，
共有6×6=36种不同安排方法，故D正确．
故选：D．
对于A：根据回归分析的相关概念理解判断；对于B：根据方差的性质分析判断；对于C：根据二项分布的期望和方差的计算公式运算求解；对于D：利用分组分配法即得．
本题考查了回归分析的相关概念、方差的性质和二项分布的期望和方差的计算公式，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：已知f(x)=2lnx−x，g(x)=−12tx2+2tx，t∈R，
不妨设h(x)=f(x)−g(x)=2lnx−x+12tx2+2tx，函数定义域为(0,+∞)，
要求函数f(x)的图象和函数g(x)的图象的公共点的个数，
即求函数h(x)的零点个数，
可得h′(x)=2x−1+tx−2t=(x−2)(t−1x)，
若t<0，
当00，h(x)单调递增；
当x>2时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
所以当x=2时，函数h(x)取得极大值也是最大值，最大值h(2)=2(ln2−1)−2t，
易知f′(x)=2x−1，
当00，f(x)单调递增；
当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=2时，函数f(x)取得极大值也是最大值，最大值f(2)=2ln2−2<0，
则当x>2时，h(x)<12tx2−2tx，
不妨设k(x)=12tx2−2tx，
可得k′(x)=tx−2t=t(x−2)，
当t<0，x>2时，函数k(x)=12tx2−2tx单调递减，
此时k(x)所以当t<0，x>2时，函数h(x)的值域为(−∞,2(ln2−1)−2t)，
当t<0，0易知函数m(x)=12tx2+2tx−x是开口向下的二次函数，
所以当0min{m(0)m(2)}，
则函数y=2lnx在0此时当t<0，0综上，当t<0时，函数h(x)的值域为(−∞,2(ln2−1)−2t]，
当2(ln2−1)−2t>0，即t函数h(x)有两个零点，故选项A正确；
因为ln2>ln e=12，
所以ln2−1>−12，
易知当t≤−12或−12当ln2−1此时函数h(x)无零点，故选项B错误．
故选：A．
由题意，构造函数h(x)=f(x)−g(x)，将函数f(x)的图象和函数g(x)的图象的公共点的个数，转化成函数h(x)的零点个数，对函数h(x)进行求导，结合导数的几何意义得到当t<0时函数h(x)的值域，再对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】AD
【解析】解：对于(1− x)10，
它的展开式的各二项式系数之和是210=1024，故A正确．
令x=1，可得展开式各项系数之和是(1−1)10=0，故B错误．
根据二项式系数C10r的性质，可得当r=5时，二项式系数C10r最大，即第六项的二项式系数最大，故C正确．
展开式的第三项为T3=C102⋅(− x)2=45x，故D正确．
故选：AD．
由题意，根据二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由题意可得1an+1=2an+5，即1an+1+5=2(1an+5)，所以{1an+5}是以1a1+5为首项，以2为公比的等比数列，A正确；
对于B，由于1a1+5=−1+5=4，所以1an+5=4×2n−1=2n+1，所以an=12n+1−5，B正确；
对于C，由于a1=−1<0，a2=123−5=13>0>a1，所以{an}不是递减数列，C错误；
对于D，由上可知1an=2n+1−5，所以Tn=4(1−2n)1−2−5n=2n+2−5n−4，D正确．
故选：ABD．
首先根据已有条件构造关于an的等比数列，而后求出数列{an}的通项公式，即可对各选项进行判断．
本题主要考查递推法求数列的通项公式，属中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，由题意知a=4，b=3，所以双曲线方程为x216−y29=1，
由于c= 16+9=5，所以e=ca=54，A错误；
对于B，由上可知B正确；
对于C，当P点横坐标趋于无穷大时，其切线近似为渐近线，不妨设其切线为y=34x，
则直线F1K为y=−43(x+5)，联立二式解得x=−165，y=−125，此时|OK|= (165)2+(125)2=4，C错误；
对于D，将x216−y29=1变形为9x2−16y2=144，左右同时对x求导得18x−32yy′=0，
当x0>4，y0>0，y′=9x16y=9x16 9(x216−1)=34x x2−16，
所以P点切线方程为y−34 x02−16=34x0 x02−16(x−x0)，令y=0，解得x=16x0，D正确．
故选：BD．
求出双曲线的方程而后用P点坐标表示出P点切线方程即可．
本题主要考查双曲线有关性质，属中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A：已知f(x)=x(1−lnx)，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=1−lnx−1=−lnx，
当00，f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=1时，函数f(x)取得极大值也是最大值，最大值f(1)=1，故选项A正确；
对于选项B：因为f(3e)=3e(1−ln3e)=3(2−ln3)e，f(1e)=1e(1−ln1e)=2e，
所以f(3e)−f(1e)=3(2−ln3)e−2e=4−3ln3e=1elne427>0，
则f(3e)>f(1e)，故选项B错误；
对于选项C：不妨设g(x)=f(x)−a(e−x)，函数定义域为[e,+∞)，
可得g′(x)=−lnx+a，
因为g(e)=0，
若x≥e时，f(x)−a(e−x)≤0恒成立，
可得当x≥e时，g(x)≤0恒成立，
此时F′(e)=−1+a≤0，
解得a≤1，
若a≤1，
此时g′(x)=−lnx+a≤0恒成立，
所以g(x)在[e,+∞)上单调递减，
则g(x)≤g(e)=0，符合题意，
综上，满足条件的a的取值范围为(−∞,1]，故选项C正确；
对于选项D：因为x1，x2为两个不相等的正数，且lnx1x1−lnx2x2=1x2−1x1，
所以1x1(1−ln1x1)=1x2(1−ln1x2)，
即f(1x1)=f(1x2)，
因为函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
当x→0时，f(x)→0，
当00，
不妨设0<1x1<1<1x2不妨设h(x)=f(1+x)−f(1−x)，函数定义域为(0,1)，
可得h′(x)=f′(1+x)+f′(1−x)=−ln(1+x)−ln(1−x)=−ln(1−x²)>0恒成立，
所以函数h(x)在(0,1)上单调递增，
此时g(x)>g(0)=0，
所以当0f(1−x)，
即当0f(x)，
整理得f(1x2)=f(1x1)因为函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，且1<2−1x1<2，1<1x2所以1x2>2−1x1，
即1x1+1x2>2，故选项D正确．
故选：ACD．
由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性和最值，进而可判断选项A；将x=3e和x=1e代入函数f(x)的解析式中，利用作差法进行求解即可判断选项B；构造函数g(x)=f(x)−a(e−x)，对函数g(x)进行求导，结合定点即可判断选项C；将lnx1x1−lnx2x2=1x2−1x1转化成f(1x1)=f(1x2)，结合选项A中所得信息，设0<1x1<1<1x2本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
13.【答案】−5
【解析】解：(x−y)5展开式的通项为Tk+1=C5kx5−k(−y)k=(−1)kC5kx5−kyk，
令5−k=2，则k=3，令5−k=1，则k=4，
所以(x+y)(x−y)5的展开式中x2y4的系数是(−1)3C53+(−1)4C54=−10+5=−5．
故答案为：−5．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
14.【答案】0.525 1921
【解析】解：设事件A表示“接收的信号为1”，
则P(A)=12×0.1+12×0.95=0.525，
设事件B表示“发送的信号是1”，
则P(AB)=12×0.95=0.475，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=，
即已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率为1921．
故答案为：0.525；1921．
由全概率公式可求出接收的信号为1的概率，再利用条件概率公式可求出已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
15.【答案】7x−3y−4=0
【解析】解：由2f(x)=f(2−x)+x2+4x−4−sinπxπ，①
以2−x替换x，可得2f(2−x)=f(x)+(2−x)2+4(2−x)−4−sin(2π−πx)π，
即2f(2−x)=f(x)+x2−8x+8+sinπxπ，②
联立①②解得：f(x)=x2−sinπx3π．
∴f′(x)=2x−13csπx，则f(1)=1，f′(1)=73，
则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y=73(x−1)+1，
即7x−3y−4=0．
故答案为：7x−3y−4=0．
由已知求解函数f(x)的解析式，求其导函数，可得f(1)与f′(1)，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】2( n+1−1)
【解析】解：由题意得2na1+2n−1a2+…+23an−1+22an+2an+1=2n+1−n+12−1，
与原式作差可得2an+1+2n−n2−1=(2n+1−n+12−1)−(2n−n2−1)，
化简得an+1=n+14，所以an=n4，
所以cn=2×1 n+1+ n=2×( n+1− n)，
Tn=2×( 2− 1+ 3− 2+…+ n+1− n)=2( n+1−1).
故答案为：2( n+1−1).
首先通过作差法求出数列{an}的通项公式，而后代入cn并进行分母有理化，然后求和即可．
本题主要考查通过作差法求数列通项公式，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为a2−b2+c2=4>0，可得B为锐角，因为sinB= 24，所以csB= 144，
则b2=a2+c2−4，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−2ac⋅ 144，
所以 142ac=4，解得ac=4 147，
所以S△ABC=12acsinB=12×4 147× 24= 77；
(2)由正弦定理可得；asinA=csinC=bsinB，
所以sinA=absinB，sinC=cbsinB，
所以sinAsinC=acb2⋅sin2B，而ac=4 147，sinB= 24，sinAsinC= 147，
所以b2=acsin2BsinAsinC=4 147⋅( 24)2 147=12，
解得b= 22．
【解析】(1)由题意及余弦定理可得ac的值，代入三角形的面积公式，进而求出三角形的面积；
(2)由(1)及正弦定理可得sinAsinC的表达式，由题意可得b的大小．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：因为2n为偶数，所以a2n+1=3a2n，即bn+1=3bn，
所以数列{bn}是以b1为首项，以3为公比的等比数列，
又b1=a2=2a1=2，所以bn=2⋅3n−1；
(2)由题意T2n=1+2+6+12+36+72+…+6n+2⋅6n
=(1+6+…+6n)+(2+12+…+2⋅6n)=3×(1+6+…+6n)
=3×1−6n1−6=35⋅6n−35．
【解析】(1)2n为偶数，所以a2n+1=3a2n，即bn+1=3bn，所以数列{bn}为等比数列，而后求出通项公式即可；
(2)对T2n进行展开，根据规律求和即可．
本题主要考查等比数列相关性质，属中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意可知：抽取8人中有3030+10×8=6名男生，1030+10×8=2名女生，
则X的可能取值为0，1，2，可得：
P(X=0)=C20C64C84=314,P(X=1)=C21C63C84=47,P(X=2)=C22C62C84=314，
所以X的分布列为：
期望E(X)=0×314+1×47+2×314=1；
(2)零假设为H0：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联，
因为χ2=50(5×10−30×5)235×15×10×40=5021≈2.381<3.841=x0.05，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联．
【解析】(1)根据题意结合超几何分布求分布列和期望；
(2)根据题意求χ2，并与临界值对比分析．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望和独立性检验，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：因为AD⊥CD，平面ABCD⊥平面CDM，平面ABCD∩平面CDM=CD，
AD⊂平面ABCD所以AD⊥平面CDM，且CM⊂平面CDM，则AD⊥CM，
又因为DM⊥CM，AD∩DM=D，AD，DM⊂平面ADM，所以CM⊥平面ADM，
且CM⊂平面AMC，所以平面AMC⊥平面AMD．
(2)解：因为平面ABCD⊥平面CDM，平面ABCD∩平面CDM=CD，
则点M在平面ABCD上的投影均在直线CD上，且△ABC的面积为定值，
可知三棱锥M−ABC的最大体积，即三棱锥M−ABC的高最大，
此时点M为CD的中点，三棱锥M−ABC的高为12CD=1，则13×1×12×2×BC= 33，
解得BC= 3，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，
则AD、BC⊥半圆弧CD所在平面，则AD⊥DM，BC⊥CM，
可得MC=MD= 2，MA=MB= 5，在△MAB中，边AB上的高h= 5−1=2，
设点D到平面MAB的距离为d，直线DM与平面MAB所成角为θ∈[0,π2]，
因为VM−ABD=VD−ABM，即13×1×12×2× 3=13×d×12×2×2，解得d= 32，
则直线DM与平面MAB所成角的正弦值sinθ=dDM= 32 2= 64，
所以直线DM与平面MAB所成角的余弦值csθ= 1−sin2θ= 104．
【解析】(1)根据题意结合空间中垂直关系分析证明；
(2)根据题意分析可得点M为CD的中点，三棱锥M−ABC的体积最大，再利用等体积法求点D到平面MAB的距离为d，结合线面夹角的定义运算求解．
本题考查线面垂直，面面垂直的性质，考查体积最大值问题，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知：该高校所有学生中随机抽取1名学生的成绩，成绩在[80,100]的概率为10×0.04+10×0.02=0.6，
可知X～B(2,0.6)，且X的可能取值为0，1，2，则有：
P(X=0)=(1−0.6)2=0.16,P(X=1)=C21×0.6×(1−0.6)=0.48,P(X=2)=0.62=0.36，
所以X的分布列为：
期望E(X)=2×0.6=1.2；
(2)①若第二次传球后彩球在乙手上，则第一次传球后彩球在丙手上，第二次由丙传球给乙，
所以第二次传球后彩球在乙手上概率为P=12×12=14；
②第i次传球后彩球在乙手上的概率为pi，
即第i次传球后彩球在甲、丙手上的概率为1−pi，再由甲、丙传球给乙，
所以第i+1次传球后彩球在乙手上的概率为pi+1=12(1−pi)，
可得pi+1−13=−12(pi−13)，且p1=12,p1−13=16≠0，
所以数列{pi}是以首项p1−13=16，公比q=−12的等比数列，
则pi−13=16×(−12)i−1=−13×(−12)i，可得pi=13[1−(−12)i]．
【解析】(1)根据题意结合二项分布求分布列和期望；
(2)①由题意第一次传球后彩球在丙手上，第二次由丙传球给乙，即可求解；
②根据题意分析可得pi+1=12(1−pi)，利用构造法结合等比数列运算求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
22.【答案】(1)证明a=−1时，f(x)=x−ex，
要证明∀x1，x2∈R，f(x1)≤g(x2)；
即证明f(x)max≤g(x)min，
而f′(x)=1−ex，
令f′(x)>0，解得x<0，令f′(x)<0，解得x>0，
故f(x)在(−∞,0)递增，在(0,∞)递减，
故f(x)max=f(0)=−1；
而g(x)=sinx，故g(x)min=−1，
故f(x)max≤g(x)min，
原结论成立．
(2)解：h(x)=x+exa−sinx在(0,π)上有唯一的极值点，
等价于h′(x)=exa+1−csx=0在(0,π)上有唯一的变号零点，
h′(x)=0等价于1a=csx−1ex，
设t(x)=csx−1ex，x∈(0,π)，
t′(x)=−sinx−csx+1ex=1− 2sin(x+π4)ex，
∵x∈(0,π)，∴x+π4∈(π4,5π4)，
当0 22，
t′(x)<0，t(x)在(0,π2)上为减函数，
当π2t′(x)>0，t(x)在(π2,π)上为增函数，
∴函数t(x)的极小值也是最小值为t(π2)=−1eπ2，
又t(0)=0，t(π)=−2eπ，
所以当−2eπ≤a<0时，方程1a=csx−1ex在(0,π)上有唯一的变号零点，
所以1a的取值范围是[−2eπ,0)，
∴a的取值范围是(−∞,−eπ2].
【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，从而证明结论成立；
(2)求出函数的导数，令f′(x)=0，问题等价于1a=csx−1ex，设t(x)=csx−1ex，x∈(0,π)，根据函数的单调性求出t(x)的最小值，从而求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的运用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．
月份x
1
2
3
4
5
订单y
20
24
36
43
52
性别
体育锻炼
合计
不经常
经常
女生
5
30
35
男生
5
10
15
合计
10
40
50
α
0.10
0.05
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
7.879
10.828
X
0
1
2
P
314
47
314
X
0
1
2
P
0.16
0.48
0.36