2022-2023学年广东省广州市越秀区高一(下)期末数学试卷(含解析)
展开1. 复数(2+i)2的实部是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|2a−b|=5,则a⋅b=( )
A. −2B. −4C. −5D. −10
3. 在△ABC中,A=π4,csB=35,则sinC=( )
A. 210B. − 210C. 7 210D. −7 210
4. 为了得到函数y=3sin(2x−π5)的图象,只要把y=3sin(2x+π5)图象上所有的点( )
A. 向右平行移动π5个单位长度B. 向左平行移动π5个单位长度
C. 向右平行移动2π5个单位长度D. 向左平行移动2π5个单位长度
5. 从3名男生和3名女生中任意抽取两人,设事件A=“抽到的两人都是男生”,事件B=“抽到1名男生与1名女生”,则( )
A. 在有放回简单随机抽样方式下,P(A)=12
B. 在不放回简单随机抽样方式下,P(B)=14
C. 在按性别等比例分层抽样方式下,P(A)=13
D. 在按性别等比例分层抽样方式下,P(B)=1
6. 四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学各自的统计结果的数字特征,可以判断出一定没有出现点数6的是( )
A. 中位数为3,众数为3B. 平均数为3,中位数为3
C. 中位数为2,极差为2D. 平均数为2,标准差为2
7. 三棱锥A−BCD中,AB⊥BD,AB⊥CD,BD⊥CD.若AB=3,AC=5,则该三棱锥体积的最大值为( )
A. 3B. 4C. 6D. 12
8. 在四棱锥P−ABCD中,AD//BC,AD=2BC,则下列结论中不成立的是( )
A. 平面PAB内任意一条直线都不与CD平行
B. 平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行
C. 平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行
D. 平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9. 一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个小球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号为2”,事件B=“第二次摸出球的标号为3”,事件C=“两次摸出球的标号之和为4”,事件D=“两次摸出球的标号之和为5”,则( )
A. 事件A与B互斥B. 事件A与C相互独立
C. 事件C与D互斥D. 事件B与D相互独立
10. 已知函数f(x)=tan(12x−π4),则下列结论正确的是( )
A. f(x)的最小正周期是π2B. f(x)的图象关于点(π2,0)对称
C. |f(x)|的图象关于直线x=π2对称D. f(x)在区间(−π2,π2)上单调递增
11. 已知i为虚数单位,则下列结论正确的是( )
A. 若z−z−=0,则z∈R
B. 若z(1+i)=2,则z= 2cs7π4+isin7π4
C. 若|z1|=|z2|=3,z1+z2=5+i,则|z1−z2|= 10
D. 若复数z满足1<|z|<2,则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π
12. 在△ABC中,AC⊥BC,将△ABC分别绕边BC,AC,AB所在直线旋转一周,形成的几何体的侧面积分别记为Sa,Sb,Sc,体积分别记为Va,Vb,Vc,则( )
A. Sa+Sb≥2ScB. Va+Vb≥2VcC. 1Sa2+1Sb2=1Sc2D. 1Va2+1Vb2=1Vc2
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 已知向量a=(1,−3),b=(λ,5),且(a+b)⊥a,则b在a方向上的投影向量的坐标为______ .
14. 某校为了解高中学生的身高情况,根据男、女学生所占的比例,采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名,测量他们的身高所得数据(单位:cm)如下:
根据以上数据,可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2= ______ .
15. 如图,在扇形OPO中,半径OP=1,圆心角∠POQ=π3,矩形ABCD内接于扇形OPQ,其中点B,C都在弧PQ上,则矩形ABCD的面积的最大值为______ .
16. 已知四边形ABCD是正方形,将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置,点G为△D1AC的重心,点E在线段BC上,GE//平面D1AB,GE⊥D1A.若CE=λEB,则λ= ______ ,直线GB与平面D1AC所成角的正切值为______ .
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题10.0分)
我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度,即确定一个合理的居民生活用水量标准a(单位:t),使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费,超过a的部分按议价收费.通过随机抽样,获得了该市100户居民生活月均用水量(单位:t)的数据,整理得到如下的频率分布直方图.
(1)求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5,2)内的频率;
(2)若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at,试估计a的值,并说明理由.
18. (本小题12.0分)
如图是函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在一个周期上的图象,点A是函数f(x)图象与x轴的交点,点B,C分别是函数f(x)图象的最低点与最高点,且AB⋅AC=2.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)若f(2)−f(43)=1,求f(x)的解析式.
19. (本小题12.0分)
11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两人进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.6,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,乙先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求事件“X=2”的概率;
(2)求事件“X=4且乙获胜”的概率.
20. (本小题12.0分)
如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB⊥BC.
(1)证明:平面ABC1⊥平面BCC1;
(2)若直线AC与平面ABC1所成的角为θ,二面角C1−AB−C的大小为φ,试判断θ与φ的大小关系,并说明理由.
21. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3sinB+csB=b+ca.
(1)求A;
(2)若点D在边BC上,且AD=BD=3,CD=2,求b.
22. (本小题12.0分)
如图,在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E为CC1的中点,经过A,D1,E三点的平面记为平面α,点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P//α.
(1)设平面BCC1B1∩α=l,求证:AD1//l;
(2)平面α将正方体ABCD−A1B1C1D1分成两部分,求这两部分的体积之比V1V2(其中V1≤V2);
(3)当A1P最小时,求三棱锥P−AA1D1的外接球的表面积.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:(2+i)2=3+2i,实部为3.
故选:B.
根据已知条件,结合复数的四则运算,以及实部的定义,即可求解.
本题主要考查复数的四则运算,以及实部的定义,属于基础题.
2.【答案】A
【解析】解:∵|a|=2,|b|=1,|2a−b|=5,
∴|2a−b|2=4a2−4a⋅b+b2=4×4−4a⋅b+1=17−4a⋅b=25,
∴a⋅b=−2.
故选:A.
由|2a−b|=5两边同时平方即可求出.
本题考查平面向量的数量积和模,属于基础题.
3.【答案】C
【解析】解:在△ABC中,csB=35,
则sinB= 1−cs2B=45,
又A=π4,
则sinC=sin(π−A−B)=sin(π4+B)
= 22(sinB+csB)
= 22×(45+35)=7 210.
故选:C.
先求出sinB的值,再根据sinC=sin(A+B),即可得解.
本题考查三角函数的求值问题,考查运算求解能力,属于基础题.
4.【答案】A
【解析】解:为了得到函数y=3sin(2x−π5)=3sin(2(x−π5)+π5)的图象,只要把y=3sin(2x+π5)图象上所有的点向右平行移动π5个单位长度,
故选:A.
根据函数图象平移的性质即可求解.
本题考查函数的图象的平移变换,属于基础题.
5.【答案】D
【解析】解:记3名男生为1,2,3,3名女生为a,b,c.
对于A,有放回简单随机抽样的样本空间Ω1为:
共36个样本点,事件A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},有9个样本点,
所以P(A)=936=14,故A错误;
对于B,不放回简单随机抽样的样本空间Ω2为:
共30个样本点,
事件B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)},有18个样本点,
所以P(A)=1830=35,故B错误;
对于C,在按性别等比例分层抽样方式下,从男生中抽取一人,从女生中抽取一人,所以P(A)=0,故C错误;
对于D,在按性别等比例分层抽样方式下,先从男生中抽取一人,再从女生中抽取一人,
其样本空间Ω3={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)},共有9个样本点,
事件B=Ω3,所以P(B)=99=1,故D正确.
故选:D.
分别写出样本空间,利用古典概型的概率计算公式求解.
本题主要考查古典概型概率公式,考查运算求解能力,属于基础题.
6.【答案】C
【解析】解:根据题意,依次分析选项:
对于A,当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,众数为3,不能判断出一定没有出现点数6;
对于B,当掷骰子出现的结果为1,1,3,4,6时,满足平均数为3,中位数为3,不能判断出一定没有出现点数6;
对于C,若数据的中位数为2,极差为2,则数据的最小值小于2,又由极差为2,则数据的最大值小于4,可以判断出一定没有出现点数6;
对于D,当掷骰子出现的结果为1,1,1,1,6时,满足平均数为2,标准差为2,不能判断出一定没有出现点数6;
故选:C.
根据题意,由平均数、中位数、众数的计算公式依次分析选项,综合可得答案.
本题考查平均数、中位数、众数,考查学生的推理能力,属基础题.
7.【答案】B
【解析】解:因为AB⊥BD,AB⊥CD,BD∩CD=D,BD,CD⊂平面BCD,
所以AB⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AB⊥BC,
则AC2=AB2+BC2,所以BC=4,
又BD⊥CD,所以S△BCD=12BD⋅DC,BC2=BD2+DC2=16,
所以S△BCD=12BD⋅DC=14×2BD⋅DC≤14(BD2+DC2)=4,
当且仅当BD=DC=2 2时取等号,
所以VA−BCD=13AB⋅S△BCD=S△BCD≤4,
当且仅当BD=DC=2 2时取等号.
故选:B.
依题意可得AB⊥平面BCD,即可得到AB⊥BC,从而求出BC,再由BD⊥CD,利用勾股定理及基本不等式求出S△BCD面积最大值,最后根据锥体的体积公式计算可得.
本题考查了三棱锥体积的最值计算,属于中档题.
8.【答案】D
【解析】解:如图,
在四棱锥P−ABCD中,∵AD//BC,AD=2BC,
∴AB与DC相交,设交点为F,则CD与平面PAB相交于F,
可知平面PAB内任意一条直线都不与CD平行,故A正确;
∵AB∩DC=F,∴平面PAB∩平面PDC=PF,
则平面PCD内与PF平行的直线都与平面PAB平行,故B正确;
平面PCD和平面PAB的交线为PF,与底面ABCD相交,不与底面ABCD平行,故C正确;
∵AD//BC,AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,∴BC//平面PAD,
又BC⊂平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,可得BC//l,则l//平面ABCD,故D错误.
故选:D.
由题意画出图形,由已知可知CD与平面PAB相交,即可判断A;由两平面相交的性质判断B;由平面PCD和平面PAB的交线与平面ABCD相交判断C;由直线与平面平行的判定与性质判断D.
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定,考查空间想象能力与思维能力,考查逻辑推理能力,是中档题.
9.【答案】CD
【解析】解:根据题意,依次分析选项:
对于A,两次摸球中,第一次摸出球的标号为2.二次摸出球的标号为3,
即事件A、B可以同时发生,则事件A、B不是互斥事件,A错误;
对于B,若事件A发生,即第一次摸出球的标号为2,则事件C一定不会发生,则A、C不是相互独立事件,B错误;
对于C,事件C、D不会同时发生,是互斥事件,C正确;
对于D,P(B)=14,P(D)=2×2A42=13,P(BD)=14×3=112,
有P(B)P(D)=P(BD),则B、D是相互独立事件,D正确.
故选:CD.
根据题意,由互斥事件和相互独立事件的定义依次分析选项,可得A错误,C正确,B错误,D正确,综合可得答案.
本题考查相互独立事件、互斥事件的判断,注意相互独立事件的判断方法,属于基础题.
10.【答案】BCD
【解析】解:因为函数f(x)=tan(12x−π4),所以f(x)的最小正周期是T=π12=2π,选项A错误;
x=π2时,12×π2−π4=0,所以f(x)=tan(12x−π4)的图象关于点(π2,0)对称,选项B正确;
因为|f(π2−x)|=|tan(−12x)|=|tan12x|,|f(π2+x)|=|tan12x|,所以|f(π2−x)|=|f(π2+x)|,
|f(x)|的图象关于直线x=π2对称,选项C正确;
x∈(−π2,π2)时,12x−π4∈(−π2,0),所以f(x)=tan(12x−π4)在区间(−π2,π2)上单调递增,选项D正确.
故选:BCD.
根据函数f(x)=tan(12x−π4)的图象与性质,对选项中的命题判断真假性即可.
本题考查了函数f(x)=tan(12x−π4)的图象与性质的应用问题,是基础题.
11.【答案】AC
【解析】解:对于A,z−z−=0,
则z=z−,
故z∈R,故A正确;
对于B,z(1+i)=2,
则z=21+i2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i,
2cs7π4+isin7π4= 2csπ4−isinπ4=1− 22i,故B错误;
对于C,设z1,z2在复平面内对应的向量为a,b,
则|a|=|b|=3,a+b=(5,1),
故|a+b|= 52+12= 26,
(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=9+2a⋅b+9,解得a⋅b=4,
故|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 10,即|z1−z2|= 10,故C正确;
对于D,设z=x+yi(x,y∈R),
∵1<|z|<2,
∴1
故选:AC.
对于A,结合共轭复数的定义,即可求解;
对于B,结合共轭复数的定义,即可求解;
对于C,结合复数的几何意义,以及向量的数量积运算,即可求解;
对于D,结合复数的几何意义,即可求解.
本题主要考查复数的四则运算,考查转化能力,属于中档题.
12.【答案】AD
【解析】解:如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,设CD=h,则h=abc,c2=a2+b2.
侧面积Sa=πbc,Sb=πac,Sc=πab(a+b)c.
Sa+Sb−2Sc=π[bc+ac−2ab(a+b)c]=π(a+b)(a2+b2)−2ab(a+b) a2+b2≥0,因此A正确;
由题意可得:Va=13×πb2×a,Vb=13πa2b,Vc=13π(abc)2×c=13πa2b2 a2+b2,
∴Va+Vb−2Vc=π3ab(a+b−2ab a2+b2)≥π3ab(2 ab−2ab 2ab)=π3ab(2− 2) ab>0,因此B错误;
1Sa2+1Sb2=1π2c2(1a2+1b2)=1π2a2b2,1Sc2=1π2a2b2(a+b)2⋅(a2+b2),
1Sa2+1Sb2−1Sc2=(a+b)2−(a2+b2)(πab)2>0,∴1Sa2+1Sb2>1Sc2,因此C错误;
1Va2+1Vb2=9π2a2b2(1b2+1a2),1Vc2=9π2a2b2a2+b2a2b2=9π2a2b2(1b2+1a2),
∴1Va2+1Vb2=1Vc2,因此D正确.
故选:AD.
过点C作CD⊥AB,垂足为D,设CD=h,则h=abc.分别计算出体积Va,Vb,Vc,侧面积Sa,Sb,Sc.通过作差即可比较出大小关系.
本题考查了圆锥的体积与侧面积计算公式、直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
13.【答案】(−1,3)
【解析】解:∵向量a=(1,−3),b=(λ,5),∴a+b=(1+λ,2),
又∵(a+b)⊥a,
∴1+λ−6=0,
解得λ=5.
∴b=(5,5),
∴a⋅b=1×5−3×5=−10,|a|= 12+(−3)2= 10,
∴b在a方向上的投影向量的坐标为b⋅a|a|⋅a|a|=−a=(−1,3).
故答案为:(−1,3).
由(a+b)⊥a可求出λ=5,再利用投影向量的定义求解.
本题主要考查了投影向量的定义,考查了向量的数量积运算,属于基础题.
14.【答案】37.5
【解析】解:已知在样本中,男生有100人,女生有60人,
所以该校高中学生身高的平均数x−=100160×172+60160×164=169,
则该校高中学生身高的总样本方差s2=100160×[18+(172−169)2]+60160×[30+(164−169)2]=37.5.
故答案为:37.5.
由题意,根据平均数和方差公式进行求解即可.
本题考查平均数、方差,考查了逻辑推理和运算能力.
15.【答案】2− 3
【解析】解:连接OB,OC,过BN⊥OP于N,
可得OB=OC,可得∠OCB=∠OBC,
因为四边形ABCD为矩形,所以∠OCD=∠OBA,
由题意可得DC=AB,
可得△ODC≌△OAB,
可得OD=OA,
而∠AOD=π3,
所以△OAD为等边三角形,所以AD=OA,
设∠BON=α,则∠BAN=π2−π3=π6,在Rt△ABN中,则ON=OBcsα=csα,BN=OBsinα=sinα,
AB=BNsinπ6=2⋅sinα,AN=ABcsπ6= 3sinα,AD=OA=ON−AN=csα− 3sinα,
所以S矩形ABCD=AB⋅AD=2sinα(csα− 3sinα)=2sinαcsα−2 3sin2α=sin2α− 3(1−cs2α)=2sin(2α+π3)− 3≤2− 3,
当且仅当2α+π3=π2,即α=π12时取等号,
所以矩形ABCD的面积的最大值为2− 3.
故答案案为:2− 3.
连接OB,OC,过BN⊥OP于N,可证得△ODC≌△OAB,可得OD=OA,可得△AOD为等边三角形,设∠BON=α,由题意可得AD,AB用α的代数式,进而可得矩形的面积,由α的范围,可得矩形的面积的最大值.
本题考查三角函数的性质的应用,属于中档题.
16.【答案】2 3
【解析】解:如图所示:
空1:延长CG交AD1于点F,连接BF,则F为AD1中点,如下图所示,
因为GE//平面D1AB,GE⊂平面CBF,平面CBF∩平面D1AB=BF,
所以GE//BF,因为点G为△D1AC的重心,所以CG=2GF,
所以CE=2EB,即λ=2;
空2:取CA中点O,连接OB,GB,GO,OD1,则OB⊥AC,
设正方形ABCD边长为2,因为GE//BF,GE⊥D1A,
所以BF⊥D1A,又F为AD1中点,所以AB=D1B=2,
Rt△ABC中,AC=2 2,OB=12AC= 2,同理可得D1O= 2,
因为D1O2+OB2=D1B2,所以OB⊥D1O,又AC∩D1O=O,
所以OB⊥平面D1AC,则GO为GB在平面D1AC内的投影,
所以∠OGB或其补角为直线GB与平面D1AC所成角,
Rt△OGB中,GO=13D1O= 23,tan∠OGB=OBOG=3.
故答案为:2;3.
空1:延长CG交AD1于点F,由线面平行的性质,可得到GE//BF,从而得到CG=2GF,进而得解;
空2:取CA中点O,找到OB⊥平面D1AC,所以∠OGB或其补角为直线GB与平面D1AC所成角,进而得解.
本题考查空间直线与平面所成的角,属中档题.
17.【答案】解:(1)由频率分布直方图可知[1.5,2)内的频率为1−(0.08+0.16+0.3+0.5+0.3+0.12+0.08+0.04)×0.5=0.21.
(2)因为0.21÷0.5=0.42,又(0.08+0.16+0.3+0.42+0.5)×0.5=0.73,
(0.08+0.16+0.3+0.42+0.5+0.3)×0.5=0.88>0.85,
则a∈[2.5,3),依题意可得0.73+(a−2.5)×0.3=0.85,解得a=2.9.
所以要使85%的居民生活月均用水量不超过标准,则居民生活用水量标准为2.9t.
【解析】(1)根据频率分布直方图计算可得;(2)根据第85百分位数计算规则计算可.
本题考查频率分布直方图,属于基础题.
18.【答案】解:(1)设f(x)的最小正周期为T,依题意设A(a,0),则B(a+T4,−1),C(a+3T4,1),
所以AB=(T4,−1),AC=(3T4,1),所以AB⋅AC=3T216−1=2,
即T2=16,解得T=4或T=−4(舍去);
(2)由(1)可得T=2πω=4,解得ω=π2,所以f(x)=cs(π2x+φ),
又f(2)−f(43)=cs(π+φ)−cs(2π3+φ)=1,
即−csφ−cs2π3csφ+sin2π3sinφ=1,
即−12csφ+ 32sinφ=1,所以sin(φ−π6)=1,
所以φ−π6=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=2π3+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=2π3,所以f(x)=cs(π2x+2π3).
【解析】(1)依题意设A(a,0),则B(a+T4,−1),C(a+3T4,1),即可表示AB,AC,根据数量积的坐标表示得到方程,解得即可;(2)由(1)求出ω,再由f(2)−f(43)=1,代入利用诱导公式及和(差)角公式整理得到sin(φ−π6)=1,即可求出φ,从而得解.
本题考查三角函数的图象和性质,考查数量积公式,属于中档题.
19.【答案】解:(1)又打了2个球该局比赛结束,有两种情况,甲连赢2个球或乙连赢2个球,
所以P(X=2)=0.4×0.6+(1−0.4)×(1−0.6)=0.48;
(2)设事件A为“X=4且乙获胜”,
则事件A发生表示前2个球甲乙各赢1个球,第3个球和第4个球都是乙赢,
所以P(A)=[0.4×(1−0.6)+(1−0.4)×0.6]×(1−0.4)×(1−0.6)=0.1248.
【解析】(1)根据独立事件的概率乘法公式求解;
(2)根据独立事件的概率乘法公式求解;
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式,属于基础题.
20.【答案】 (1)证明:在直三棱柱ABC−A1B1C1中,易知AB⊥BB1,
又AB⊥BC,BB1∩BC=B,且两直线在平面内,
所以AB⊥平面BCC1,又AB⊂平面ABC1,
所以平面ABC1⊥平面BCC1.
(2)过C作CD垂直BC于D点,连接AD,
由(1)可知平面ABC1⊥平面BCC1,
又平面ABC1∩平面BCC1=BC1,所以CD⊥平面ABC1,垂足为D,
则∠CAD是直线AC与平面ABC1所成的角,即∠CAD=θ,
由(1)可知AB⊥平面BCC1,所以AB⊥BC1,
又AB⊥BC,所以∠CBC1是二面角C1−AB−C的平面角,即∠CBC1=φ,
在Rt△ADC中,sinθ=CDAC,在Rt△CDB中,sinφ=CDBC,
又BC
所以θ<φ.
【解析】(1)根据直棱柱的性质以及题意,由面面垂直的判定定理即可证明结果;
(2)过C作CD垂直BC于D点,根据(1)的结论,以及线面角的概念,可得∠CAD是直线AC与平面A1BC所成的角;再根据二面角的概念易知∠CBC1是二面角C1−AB−C的平面角,再在直角三角形中利用正弦公式,通过比值比较即可得到结果.
本题主要考查面面垂直的证明,二面角的求法,考查运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题.
21.【答案】解:(1)由题意及正弦定理可得 3sinB+csB=sinB+sinCsinA,
即 3sinBsinA+csBsinA=sinB+sinC=sinB+sin(B+A),
即 3sinBsinA+csBsinA=sinB+sinBcsA+csBsinA,
整理可得 3sinBsinA=sinB+sinBcsA,在△ABC中,sinB≠0,
所以 3sinA−csA=1,即sin(A−π6)=12,
因为A∈(0,π),可得A−π6=π6,
解得A=π3;
(2)在△ABC,A=π3,AD=BD=3,CD=2,BC=BD+CD=3+2=5,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC,
即25=AB2+AC2−AB⋅AC,①
因为cs∠ADC=−cs∠ADB,
在△ABD中,AB2=BD2+AD2−2AD⋅BDcs∠ADB=9+9−2×3×3cs∠ADB=18−18cs∠ADB,②
在△ACD中,AC2=CD2+AD2−2AD⋅CDcs∠ADC=4+9+2×3×2cs∠ADB=13+12cs∠ADB,③
②×2+③×3可得2AB2+3AC2=75,④
由①④可得AC=5 24.
即b=5 24.
【解析】(1)由正弦定理及△的角的关系,可得sin(A−π6)=12,由A的范围,可得A角的大小;
(2)分别在△ABD,△ACD中由余弦定理可得AB,AC的关系,再由在△ABC中,由余弦定理可得AB,AC的关系,两式联立,可得AC的值.
本题考查正弦定理,余弦定理的应用,属于中档题.
22.【答案】证明:(1)连接BC1,因为AB=D1C1且AB//D1C1,
所以ABC1D1为平行四边形,
所以AD1//BC1,AD1⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以AD1//平面BCC1B1,
又平面BCC1B1∩α=l,AD1⊂平面α,
所以AD1//l;
解:(2)在正方形DCC1D1中,直线D1E与直线DC相交,
设D1E∩DC=F,连接AF,设BC∩AF=G,连接GE,
由E为CC1的中点,得G为BC的中点,∴EG//AD1,
所以平面AGED1即为平面α,
因为E为CC1的中点,所以C为DF的中点,
所以平面α将正方体分成两部分,其中一部分是三棱台CGE−DAD1,
因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4,
所以V1=V棱台CGE−DAD1=VF−DAD1−VF−CGE
=78VF−DAD1=78×13S△DAD1×FD=78×13×12×4×4×8=563,
∴另一部分几何体的体积V2=43−563=1363,
∴两部分的体积V1V2=717;
(3)取B1C1的中点N,BB1的中点M,连接MN、ME、A1M、A1N,
显然MN//BC1,EG//BC1,所以MN//EG,MN⊄平面AGED1,EG⊂平面AGED1,
所以MN//平面AGED1,
又E为CC1的中点,所以ME//B1C1且ME=B1C1,又A1D1//B1C1且A1D1=B1C1,
所以A1D1//ME且A1D1=ME,
所以A1D1EM为平行四边形,所以A1M//D1E,
A1M⊄平面AGED1,D1E⊂平面AGED1,
所以A1M//平面AGED1,
又A1M∩ME=M,A1M,ME⊂平面A1MN,所以平面A1MN//平面AGED1,
又点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P//α,
所以P在线段MN上,又A1N=A1M= 42+22=2 5,
即△A1MN为等腰三角形,所以当P为MN的中点时A1P最小,
因为△AA1D1为等腰直角三角形,所以其外接圆的圆心为斜边AD1的中点,设为Q,
令ME∩BC1=H,则H为BC1的中点,连接QH,则QH//AB,
所以QH⊥平面AA1D1,所以球心在QH上,设球心为O,连接OD1、OP、PH,
设外接球的半径为R,OQ=h,则OD1=OP=R,
又D1Q=12AD1=2 2,PH= 2,
所以R2=h2+(2 2)2,R2=(4−h)2+( 2)2,解得h=54,则R2=15316,
所以外接球的表面积S=4πR2=1534π.
【解析】(1)连接BC1,即可证明AD1//平面BCC1B1,根据线面平行的性质证明即可;
(2)设D1E∩DC=F,连接AF,设BC∩AF=G,连接GE,即可得到截面即为平面AGED1,再根据锥体、柱体的体积公式计算可得;
(3)取B1C1的中点N,BB1的中点M,连接MN、ME、A1M、A1N,即可证明平面A1MN//平面AGED1,则P在线段MN上,从而得到当P为MN的中点时A1P最小,令ME∩BC1=H,连接GH,则球心在GH上,设球心为O,连接OD1、OP、PH,利用勾股定理求出外接球的半径R2,最后根据球的表面积公式计算可得.
本题考查了立体几何的综合应用,属于中档题.
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30
1
2
3
a
b
c
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,a)
(1,b)
(1,c)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,a)
(2,b)
(2,c)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,a)
(3,b)
(3,c)
a
(a,1)
(a,2)
(a,3)
(a,a)
(a,b)
(a,c)
b
(b,1)
(b,2)
(b,3)
(b,a)
(b,b)
(b,c)
c
(c,1)
(c,2)
(c,3)
(c,a)
(c,b)
(c,c)
1
2
3
a
b
c
1
×
(1,2)
(1,3)
(1,a)
(1,b)
(1,c)
2
(2,1)
×
(2,3)
(2,a)
(2,b)
(2,c)
3
(3,1)
(3,2)
×
(3,a)
(3,b)
(3,c)
a
(a,1)
(a,2)
(a,3)
×
(a,b)
(a,c)
b
(b,1)
(b,2)
(b,3)
(b,a)
×
(b,c)
c
(c,1)
(c,2)
(c,3)
(c,a)
(c,b)
×
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