江苏省扬中市第二高级中学2019-2020学年第二学期高一数学期末模拟考试

这是一份江苏省扬中市第二高级中学2019-2020学年第二学期高一数学期末模拟考试，共9页。

一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．已知O是的两条对角线的交点．若，其中，则（ ）
A. -2B. 2C. D.
2．设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则 （ ）
A. B. C. D.
3．在平面直角坐标系内，过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 （ ）
A．B．
C．或D．或
4．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆，过点且被点平分的椭圆的弦所在的直线方程是 （ ）
A． B. C. D.
6．若点是椭圆上的动点，则点到直线的最大距离为 （ ）
A. B. C. D.
7．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
8．设是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于A，B两点，则的最大值为
A.14 B.13 C.12 D.10 ( )
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．如图，设的内角所对的边分别为，且，若点是外一点，，下列说法中，正确的命题是 （ ）
A． 的内角； B．的内角；
C．四边形面积的最大值为；D．四边形面积无最大值.
10．已知两点A(－1,0)，B(1,0)以及圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P，满足＝0，则r的取值可以是下列选项中的 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
11．以下四个命题表述正确的是 （ ）
A．直线恒过定点；
B．圆上有且仅有点到直线的距离等于；
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则；
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引切线，为切点，则直线经过定点
12．已知直线与椭圆交于A、B两点，弦BC平行轴，交轴于D，AD的延长线交椭圆于E，下列说法正确的是 （ ）
A
B
D
C
E
O
A．椭圆的离心率为 B．
C． D．以为直径的圆过点
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13. 在△ABC中，D、E分别是BC、AB边上的中点，AD与CE的交点为O，若，AB=3eq \r(2)，则角B的最大值为 .
14．过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程
.此时 .
15.已知是椭圆上的三点，点在上，为右端点，,
，且的外接圆在轴上截得的弦长为，则椭圆的方程为 .
16．过直线上任意一点作圆的一条切线，切点为，若存在定点，使得恒成立，则 ．
三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设直线.
（1）若直线交于同一点，求的值；
（2）设直线过点，若被直线截得的线段恰好被点平分，求直线的方程.
18．在中，内角，，对边的边长分别是，，，已知，．
（1）若的面积等于，试判断的形状，并说明理由；
（2）若是锐角三角形，求周长的取值范围．
19．已知曲线。经过点的直线与曲线交于点A，B，且。（1）若点的坐标为，求曲线的方程；（2）若，求直线的方程。
20．某农场有一块等腰直角三角形的空地，其中斜边的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界上选择一点，修建观赏小径，，其中，分别在边界，上，小径，与边界的夹角都为.区域和区域内种植郁金香，区域内种植月季花.
（1）探究：观赏小径与的长度之和是否为定值？请说明理由；
（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径，当点在何处时，三条小径的长度和最小？
（3）求郁金香区域面积和的最小值.
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆.
（1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程；
（2）过点P的直线l与圆C依次相交于A，B两点.
①若，求l的方程；
②当面积最大时，求直线l的方程.
22．如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．（1）求椭圆的方程；
（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.①求证：直线经过一定点；
②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
二、填空题．
13．； 14．；；
15．； 16．；
三、解答题
17．解：（1）解，得交点，
直线交于同一点，则点在直线上，
则，解得；
（2）设上一点，
则点关于的对称点，
由点在上，代入得，
∴，∴，
直线过两点、，斜率为，
∴直线的方程为.
18．解：（1）∵的面积等于，
∴即即，
由余弦定理得，
即，
∴，∴，
∴，为等边三角形．
（2）由正弦定理得，，
∴，，
∵，∴，，是锐角三角形，
∴即，∴，
∴的周长为
∵，∴，
∴，∴，
∴的周长的取值范围是．
19．解：（1）设，
故，
，即.
因为都在曲线上，所以，
所求曲线的方程为.
（2）当时，曲线的方程为，
设，因为
因为都在曲线上，
所以，
当点的坐标为，时，对应的点的坐标为，此时直线的方程为，
当点的坐标为，时，对应的点的坐标为，此时直线的方程为
20．解：（1）在中,易得,
故由正弦定理可得
,即.
同理.故为定值.
(2) 在中,由余弦定理可得
即,
所以,.又由(1)有,
故,当且仅当时等号成立.
故当点的中点位置时,三条小径的长度和最小为.
(3)由(1)有,故.
同理.
故
.
当且仅当时取得最小值
21．解：（1）由，得，
圆的圆心坐标，设所求圆的圆心为．
而所求圆的圆心与、共线，故圆心在直线上，又圆同时经过点与点，
圆心又在直线上，则有：，解得：，即圆心的坐标为，
又，即半径，故所求圆的方程为；
（2）①由，得为圆的直径，则过点，的方程为，
联立，解得，直线的斜率，
则直线的方程为，即；
②当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，，
；当直线的斜率存在时，设直线方程为．
再设直线被圆所截弦长为，则圆心到直线的距离，
则．
当且仅当，即时等号成立．
此时弦长为10，圆心到直线的距离为5，由，解得．直线方程为．
当面积最大时，所求直线的方程为：或．
22．解： （1）依题意，，则，
∴，又，∴，则，∴椭圆方程为．
（2）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，
由得或∴，
用去代，得，方法1：，
∴：，即，∴直线经过定点．
方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，，，此时直线经过轴上的点，
∵
∴，∴、、三点共线，即直线经过点，综上所述，直线经过定点．
②由得或∴，则直线：，
设，则，直线：，直线：，
假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，
则由（）得对恒成立，则，
由（）得，对恒成立，
当时，不合题意；当时，，得，即，
∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
C
D
D
B
A
ABC
ABC
BCD
ABCD