黑龙江省大庆市重点中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份黑龙江省大庆市重点中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题，共8页。

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一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分）
1．若实数a，b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．a2＞b2C．ab＞bD．a3＞b3
2．已知直线l1；2x+y﹣2＝0，l2：ax+4y+1＝0，若l1⊥l2，则a的值为（ ）
A．8B．2C．﹣D．﹣2
3．在等差数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．0
4.在中，已知，，，则（ ）
A.45° B.135° C.45°或135° D.以上都不对
5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（ ）
A．若α∥β，则m⊥nB．若α∥β，则m∥β
C．若α⊥β，则n∥αD．若α⊥β，则m⊥n
6．已知等比数列的前n项和，则（ ）
A．1 B． C． D．
已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
8.网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.B.
C.D.
第8题图
9.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为（ ）
A．201 B．191 C．184 D．174
10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
第10题图
11．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（ ）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，PB与平面PAC所成的角为30°，则球O的表面积为（ ）
A．6πB．12πC．16πD．48π
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为__________．
14．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为__________．
15．已知正数，满足，则的最小值为__________．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin2A+csB＝1，则的取值范围为 ．
三、解答题 (共70分)
17．（本小题满分10分）在中，角A，B，C的对边分别为，，，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的值．
18．（本小题满分12分）已知数列，是其前n项和，且满足，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前n项和．
19．（本小题满分12分）在平行四边形ABCD中，A（﹣1，4），B（2，3），C（﹣2，﹣2）．
（1）求直线AD的方程；
（2）求平行四边形ABCD的面积．
20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若PA⊥AC，M为PC的中点，求三棱锥B﹣CDM的体积．
第20题图
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，x∈R，a∈R．
（1）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜3a2；
（3）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞1均成立，求a的取值范围．
22．（本小题满分12分）如图，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；
（1）求圆C2的方程；
（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM＝PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．
第22题图
参考答案：
选择题
1.D 2.D 3. C 4.A 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B
填空题
2 14. 15. 49 16.（2，3）
解答题
17．【解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
，
，
因为中，，
所以，所以．（6分）
（2）由余弦定理得，
所以，即，
解得或（负值舍去）．所以．（12分）
18．【解】（1）证明：由得，
两式相减得，
即，
所以，即，
故数列为等比数列．（6分）
（2）在中令，
得，所以．
由（1）知数列的公比为，所以，
所以，（8分）
所以
两式相减得
整理得．（12分）
19.【解】如图所示：
（1）AC中点为（﹣，1），该点也为BD中点，
设D（x，y），则，解得：，则D（﹣5，﹣1），
直线AD的方程为：y﹣4＝（x+1），即5x﹣4y+21＝0；
（2）直线BC的方程为：y﹣3＝（x﹣2），化简得：5x﹣4y+2＝0，
点A（﹣1，4）到BC的距离为：d＝＝，
又BC＝＝，
∴平行四边形ABCD的面积为：BC×d＝×＝19．
20.【解】（1）证明：设BD交AC于点O，连接PO，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
又PB＝PD，O是BD的中点，∴PO⊥BD，
∵AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
又BD⊂平面ABCD，故平面PAC⊥平面ABCD；
（2）解：连接OM，∵M为PC的中点，且O为AC的中点，∴OM∥PA，
由（1）知，BD⊥PA，又PA⊥AC，
则BD⊥OM，OM⊥AC，
又AC∩BD＝O，∴OM⊥平面ABCD，
又，
OM＝，
∴＝．
∴三棱锥B﹣CDM的体积为1．
21.【解】（1）当a＝1时x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2
（2）由f（x）＜3a2，
∴（x﹣3a）（x+a）＜0
当a＞0时解集为（﹣a，3a）
当a＝0时解集为空集
当a＜0时解集为（3a，﹣a）
（3）由f（x）＞1得x2﹣2ax＞1，变形的2a＜，由函数单调性的相关知识：函数y＝x﹣在x∈（2，+∞）单调递增，
2a≤即a
22.【解】（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20，令x＝0，解得y＝0或4．
∵圆C2过O，A两点，∴可设圆C2的圆心C1（a，2）．
直线C2O的方程为：y＝x，即x﹣2y＝0．
∵直线C2O与圆C1相切，∴＝，解得a＝﹣1，
∴圆C2的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝，化为：x2+y2+2x﹣4y＝0．
（2）存在，且为P（3，4）．
设直线OM的方程为：y＝kx．
代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x＝0．
xM＝，yM＝．
代入圆C1的方程可得：（1+k2）x2﹣（8+4k）x＝0．
xN＝，yN＝．
设P（x，y），线段MN的中点E．
则×k＝﹣1，
化为：k（4﹣y）+（3﹣x）＝0，
令4﹣y＝3﹣x＝0，解得x＝3，y＝4．
∴P（3，4）与k无关系．
∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM＝PN始终成立．