黑龙江省大庆市重点中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题

2020级高一下学期期末考试

数学试题

试题说明：本试卷满分150分，答题时间120分钟

第一卷：选择题部分

一选择题（每小题只有一个选项正确，共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知向量，且，则的值为（    ）

   A ．            B．6            C ．        D．

2.设复数（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（    ）

A．2               B．            C．             D．

3.由于疫情期间大多数上上课，某校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用按比例分配的分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则该校高三年级的人数为(    )

A. 800 B. 750 C. 700            D. 650

4. 在中，点满足，则（    ）

A.        B.  

C.        D.

5.已知，，是三条不同直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的（  ）

A．若，，，，则  

B．若，，，则

C．若，，，则 

D．若，，则

6.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ）

A．至少有一个黑球与都是黑球 B．恰好有一个黑球与都是红球

C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有两个黑球与至少一个红球

7. 已知一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的侧面积与底面积的比值为（   ）

A．2 B．3 C． D．

8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，如果，，△ABC的面积，那么等于（   ）

A.  B. 7 C.              D. 17

9.某班有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩,6名男生的成绩分别为86分,94分,88分,92分,90分,90分,4名女生的成绩分别为90分,93分,93分,88分,则下列说法不正确的有             

A.这种抽样方法是按比例分配的分层抽样

B.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

C.这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差

D.抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04分2

10.一块边长为10cm的正方形铁片如图所示，将它的阴影部

分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个

正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积

A    B      C      D

11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，

，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（  ）

A．4             B．6             C．             D．

12.给出下列四个命题：

（1）一个圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的体积为 ；

（2）若样本数据，，，标准差为2，则数据，，， 的方差为16；.

（3）若中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则边的范围是.

（4）设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影向量为

其中你认为正确的个数是；

 A.1 B. 2 C.3 D. 4

第二卷：非选择题部分

二．填空题：（共4个小题，每题5分，满分20分）

13一个袋子中有2个红球，3个白球，采用不放回方式从中依次随机地摸出2个球，则第一次摸到红球的概率________；

14.已知复数z满足，则复数对应的点在复平面的第________象限；

15. 如图，小明为了测量楼前穿天杨树的高度，他在正西方向选取

与穿天杨树根部C在同水平面的A，B两点，在A点测得树根部C

在西偏北的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏

北的方向上，树梢D的仰角为，则该穿天杨树的高度

为__________米；

16. 已知正方体的棱长为1，点、、分别为棱、、的中点，则下列结论中

（1）过、、三点作正方体的截面，所得截面面积为

（3）异面直线与所成角的正切值为  

（4）四面体的体积等于；其中正确的结论________；

三．解答题：（本题共6道大题，共70分，解答题要求写出文字说明、证明过程或运算步骤）

17.（满分10分）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，．
（1）若，求sinA的值；
（2）若的面积，求b、c的值．

18.（满分12分）为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：

（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、平均数；

（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分?

19．（满分12分）我校举行爱我中华的诗词大赛，经过层层选拔，最后决赛在甲、乙两个代表队之间进行，每个代表队由10名队员组成，其得分情况如下：

（1）计算甲、乙两个代表队的方差，说明哪个代表队的成绩更稳定；

（2）如果以成绩不低于90分的队员为优秀选手，从两个代表队中的优秀选手中任选2人决出最佳选手，则这两人来自不同代表队的概率是多少？

20.（满分12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，，，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
Ⅰ证明：平面平面PBD；
Ⅱ若平面EAC，求三棱锥的体积．

21.（满分12分）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，若满足：．

（1）求角B的大小；

（2）设BC的中点为D，且，求的取值范围．

22. （满分12分）如图1，平面四边形ABCD中，，，，E为BC的中点，将沿对角线AC折起，使，连接BD，得到如图2所示的三棱锥．

证明：平面平面BCD；

已知直线DE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．

2020级高一下学期期末考试数学试题参考答案：

一选择题：DCDA  BBAC   BADC

二．填空题： 13、；    14、  一   ；   15、 ；    16、（1）（3）

三．解答题：

17.解：，且， ，

由正弦定理得，          

，   ，
       

由余弦定理得， 

．

18.解：（1）0.25 图中长方形高度0.025

（2）由图知，众数为：75和85

平均数为：．

（3）因为分数在内的频率为0.25，内的频率为0.05，

而所以得分前10%的分界点应在80至90之间．

设所求的分界点为，则，解得

所以得分前10%的分界点为88，即获奖的同学至少需要88分．

19. .解：（1），，

，

，

因为，所以乙队成绩更稳定.…….................................

（2由表可知，甲队有3个优秀选手，分别记为，，，乙队中有两个优秀选手，分别记为，.则从这5人中任选两人，有，，，，，，，，，，共10种彼此互斥的选取方法，且每种选法都是等可能的，

其中两人来自不同代表队的方法有，，，，，，共6种，

所以两人来自不同代表队的概率.

20解Ⅰ证明：平面ABCD，平面ABCD，．
四边形ABCD是菱形，，
又，平面PBD，平面PBD，
平面PBD．
而平面EAC，平面平面PBD．
Ⅱ解：平面EAC，平面平面，平面PBD，
，是BD中点，是PB中点．
取AD中点H，连接BH，
四边形ABCD是菱形，，
，
又平面ABCD，平面ABCD，
，
又，AD、平面PAD，
平面PAD，
．
．

21.解：由题意得，

化简得．
，
．
，
．
设，
则中，由可知，
由正弦定理及，
可得，
所以
．
由，可知，，

 

22. 证明：在三棱锥中，
因为，，，AC，平面ABC，
所以平面ABC，
又平面ABC，
所以，
因为，E为BC中点，
所以，
又，BC，平面BCD，
所以平面BCD，
又平面ADE，
所以平面平面BCD；
由可知即为直线DE与平面ABC所成的角，
所以，
故CD；由知平面BCD，过E作于H，连接AH，
，，AE，面AEH，
面AEH，可知，
故为二面角的平面角．
由，得，

即，得，
所以，故，
所以二面角的余弦值为．