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2023-2024学年重庆市开州区云枫教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年重庆市开州区云枫教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 3的相反数是( )
A. 3B. −3C. 3D. − 3
2.81的平方根是( )
A. −9B. 9C. ±9D. ±3
3.如图，已知a//b，小明把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠2=40°，则∠1的度数为( )
A. 40°B. 35°C. 50°D. 45°
4.估计 30−2的值( )
A. 在2到3之间B. 在3到4之间C. 在4到5之间D. 在5到6之间
5.关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是( )
A. −16.若点M(a−3,a+4)在x轴上，则点M的坐标是( )
A. (−3,4)B. (−7,0)C. (−3,0)D. (4,0)
7.已知方程组2x+y=7x+2y=8，则5x−5y+10的值是( )
A. 5B. −5C. 15D. 25
8.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是( )
A. y−x=−1B. y=x+4.5y=2x−1C. y=x−+1D. y=x−4.5y=2x−1
9.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(1,0)，P2(1,1)，P3(0,1)，P4(0,2)，P5(1,2)，…，根据这个规律，点P16的坐标为( )
A. (0,14)B. (1,7)C. (0,8)D. (1,8)
10.已知关于x，y的方程组x+2y=6−3ax−y=6a，给出下列说法：①当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解；②若2x+y=3，则a=−1；③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；以上说法中正确的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.比较大小： 5 ______2.(填“<”或“>”)
12.不等式x+1<4+3x2的解集为______．
13.如图，点E在AD的延长线上，若∠1=∠4，则平行的是：______．
14.已知 123=11.09, 1230=35.07，那么 12.3= ______．
15.已知线段AB的长为3，且AB//y轴，点A的坐标为(3,2)，则点B的坐标为______．
16.二元一次方程3x+y=7的正整数解是______．
17.将一张矩纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= ______．
18.对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数n为“永恒数”.对于一个“永恒数”，记为F(n)=n9.例如：n=1854，因为1+8=5+4=9，所以1854是一个“永恒数”，F(1854)=18549=206.则F(3618)= ______；若一个四位自然数m是“永恒数”，且F(m)7为整数，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算或解方程：
(1) (−3)2+3−8−|π−2|；
(2)2(x−1)2=32．
20.(本小题10分)
解下列方程组：
(1)x+2y=63x−2y=10；
(2)x+3y2=355(x−2y)=−4．
21.(本小题10分)
阅读下列推理过程，完成下面的证明．
已知：如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3=180°.求证：∠GDC=∠B．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90°(______)
∴EF//AD(______)
∴ ______+∠2=180°(______)
又∵∠2+∠3=180°(______)
∴∠1= ______(______)
∴AB// ______(______)
∴∠GDC=∠B(______).
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,5)(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)请画出△ABC先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的△A1B1C1，并直接写出A1、B1、C1的坐标；
(2)在x轴上是否存在点D，使△BB1D的面积等于△ABC面积的25，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题10分)
今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元.请解答下列问题：
(1)求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？
(2)假设茄子和西红柿每亩地的利润分别为2.6万元和1.5万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，若∠1=∠2，DE//BC．
(1)试说明FG//BE；
(2)若BE为∠ABC的角平分线，∠2=30°，∠C=50°，求∠A的度数．
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为原点，点A(a,b)，并且a，b满足满足关于x，y的二元一次方程3xb−a−2y2a−b−2=1.(1)如图①，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，求三角形AOB的面积；
(2)如图②，将线段OA向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段DC，写出D、C的坐标，并求四边形OACD的面积；
(3)如图③，点E为对角线OC上一动点，EF⊥x轴于点F，连接AE，直接写出AE+EF的最小值．
26.(本小题10分)
已知AB//CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．
(2)在(1)的条件下，已知∠BMG的平分线MH交∠GND的平分线NH于点H，求∠MHN的度数．
(3)如图2，若点P是CD下方一点，MT平分∠BMP，NC平分∠TNP，已知∠BMT=40°，证明：∠MTN−∠P为定值．
答案和解析
1.【答案】D
解： 3的相反数是− 3，
故选：D．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
利用平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】
解：∵(±9)2=81，∴81的平方根是±9．
故选：C．
3.【答案】C
解：∵a//b，∠2=40°，
∴∠3=∠2=40°，
∵∠ACB=90°，
∴∠1=180°−∠3−∠ACB=50°．
故选：C．
首先根据同位角相等，两直线平行求出∠3=40°，根据∠ACB=90°求出∠1即可．
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并准确识图是解题的关键．
4.【答案】B
解：∵25<30<36，
∴5< 30<6，
∴3< 30−2<4．
故选：B．
先估算出 30的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
5.【答案】B
解：根据数轴可知：不等式组的解集是−1≤x<2，
故选：B．
根据数轴得出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据数轴得出正确信息是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了点的坐标的求解，利用x轴上的点纵坐标等于0列式求出a的值是解题的关键．
根据x轴上的点纵坐标为0，列式求出a的值，然后计算求出横坐标，从而点M的坐标可得．
【解答】
解：∵M(a−3,a+4)在x轴上，
∴a+4=0，
解得a=−4，
∴a−3=−4−3=−7，
∴M点的坐标为(−7,0)．
故选B．
7.【答案】A
解：2x+y=7①x+2y=8②，
则①−②得：
x−y=−1，
故5x−5y+10
=5(x−y)+10
=−5+10
=5．
故选：A．
直接利用已知方程组变形进而得出x−y=−1，即可求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的解，正确将原方程组变形是解题关键．
8.【答案】A
解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得y−x=−1，
故选：A．
设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9.【答案】C
解：根据动点的运动方式可知，
点P1的坐标为(1,0)；
点P2的坐标为(1,1)；
点P3的坐标为(0,1)；
点P4的坐标为(0,2)；
点P5的坐标为(1,2)；
点P6的坐标为(1,3)；
点P7的坐标为(0,3)；
点P8的坐标为(0,4)；
点P9的坐标为(1,4)；
点P10的坐标为(1,5)；
点P11的坐标为(0,5)；
点P12的坐标为(0,6)；
…，
由此可见，点P2n(n为正整数)的纵坐标为n，且点的横坐标按1，1，0，0循环出现，
因为16÷4=4，16÷2=8，
所以点P16的坐标为(0,8)．
故选：C．
根据所给动点的运动方式，依次求出P1，P2，P3，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据动点的运动方式，发现其对应点坐标的变化规律是解题的关键．
10.【答案】D
解：①当a=1时，x+2y=3①x−y=6②，
①−②，可得3y=−3，
解得y=−1，
把y=−1代入②，可得：x−(−1)=6，
解得x=5，
∴原方程组的解是x=5y=−1，
∵5+(−1)=4，1+3=4，
∴当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解，
∴选项①符合题意．
②x+2y=6−3a①x−y=6a②，
①+②，可得2x+y=6+3a，
∵2x+y=3，
∴6+3a=3，
解得a=−1，
∴若2x+y=3，则a=−1，
∴选项②符合题意．
③假设x，y的值互为相反数，则x+y=0，
x+2y=6−3a①x−y=6a②，
①−②，可得3y=6−9a，
解得y=2−3a，
把y=2−3a代入②，可得：x−(2−3a)=6a，
解得x=2+3a，
∴原方程组的解是x=2+3ay=2−3a，
∵x+y=2+3a+2−3a=4≠0，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，
∴选项③符合题意．
综上，可得正确的说法的个数为3个：①、②、③．
故选：D．
①当a=1时，x+2y=3①x−y=6②，应用加减消元法，求出方程组的解，再判断出x、y的值是否是x+y=a+3的解即可；
②把关于x，y的方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②的两个方程左右两边分别相加，可得2x+y=6+3a，再根据2x+y=3，求出a的值即可；
③首先应用加减消元法，求出关于x，y的方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②的解，然后把求出的x、y的值相加，判断出x，y的值能不能互为相反数即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
11.【答案】>
解：∵2= 4，
又∵ 5> 4，
∴ 5>2，
故答案为：>．
先把2写成 4，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
12.【答案】x>−2
解：去分母得：2x+2<4+3x，
移项得：2x−3x<4−2，
合并同类项得：−x<2，
系数化为1得：x>−2．
故答案为x>−2．
本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，按照解一元一次不等式的步骤求得x的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式的方法，需要注意在不等式两边都除以同一个负数时，应改变不等号的方向．
13.【答案】AB//CD
解：∵∠1=∠4，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：AB//CD．
根据“内错角相等，两直线平行”求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
14.【答案】3.507
解：∵ 1230=35.07，
∴ 12.3= 1230100= 123010=35.0710=3.507，
故答案为：3.507．
根据算术平方根的性质求解即可．
本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
15.【答案】(3,5)或(3,−1)
解：因为AB//y轴，
所以A，B两点的横坐标相等，
则xB=3．
又因为AB=3，
所以2+3=5，2−3=−1，
所以点B的坐标为(3,5)或(3,−1)．
故答案为：(3,5)或(3,−1)．
根据AB//y轴，可得出A，B两点的横坐标相等，再根据AB长为3，可求出点B的坐标．
本题考查坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
16.【答案】x=1y=4和x=2y=1
解：∵当x=1时，3+y=7，则y=4；当x=2式，6+y=7，则y=1，
∴方程3x+y=7的正整数解x=1y=4和x=2y=1．
故答案为：x=1y=4和x=2y=1．
采用列举法求得方程的所有正整数解即可．
本题主要考查的是二元一次方程的解，应用列举法求解是解题的关键．
17.【答案】52°
解：∵∠GEF=∠FEC=64°，
∴∠BEG=180°−64°×2=52°，
∵AD//BC，
∴∠1=∠BEG=52°．
故答案为：52°．
根据翻折变换的性质求出∠GEF的度数，从而求出∠GEB的度数，再根据平行线的性质求出∠1的度数．
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
18.【答案】402 7245
解：由题意可知：F(3618)=36189=402；
根据“永恒数”的定义，
设m=1000x+100(9−x)+10y+9−y=900x+9y+909，
其中1≤x≤9，0≤y≤9，x，y都为整数，x≠y，
∴F(m)=900x+9y+9099=100x+y+101
∵F(m)7为整数，
∴100x+y+1017是整数，
由于各个数位上的数字互不相同，
∴当m取最大值时，x=9，y=7最大，
当m取最小值时，x=1，y=2时最小，
∴m最大为m=9000+100×(9−9)+10×7+9−7=9072，
m最小为m=1000+100×(9−1)+10×2+9−2=1827，
∴9072−1827=7245，
故答案为：402，7245．
根据F(n)=n9直接进行求解即可；根据“永恒数”的定义，设m=1000x+100(9−x)+10y+9−y=900x+9y+909，求出F(m)的值，根据F(m)7为整数，分情况求出m的最大值与最小值即可得出结果．
本题考查了新定义的实数运算，整式运算，理解新定义并将其转化为整数的运算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3−2−(π−2)
=3−2−π+2
=3−π；
(2)由原方程可得(x−1)2=16，
则x−1=±4，
解得：x=5 或−3．
【解析】(1)利用二次根式的性质，算术平方根的定义及绝对值的性质计算即可；
(2)利用平方根的定义解方程即可．
本题考查实数的运算及平方根，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)x+2y=6①3x−2y=10②，
①+②得：4x=16，
解得：x=4，
将x=4代入①得：4+2y=6，
解得：y=1，
故原方程组的解为x=4y=1；
(2)原方程组整理得5x+15y=6①5x−10y=−4②，
①−②得：25y=10，
解得：y=25，
将y=25代入②得：5x−4=−4，
解得：x=0，
故原方程组的解为x=0y=25．
【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
21.【答案】垂直的定义 同位角相等，两直线平行 ∠1 两直线平行，同旁内角互补 已知 ∠3 同角的补角相等 DG 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADB=∠EFB=90°(垂直的定义)，
∴EF//AD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠2+∠3=180°(已知)，
∴∠1=∠3(同角的补角相等)，
∴AB//DG(内错角相等，两直线平行)，
∴∠GDC=∠B.(两直线平行，同位角相等)，
故答案为：①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③∠1；④两直线平行，同旁内角互补；⑤已知；⑥∠3；⑦同角的补角相等；⑧DG；⑨内错角相等，两直线平行；⑩两直线平行，同位角相等．
根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可．
本题主要考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，同角的补角相等等等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
A1的坐标为(−1,−1)，B1的坐标为(1,0)，C1的坐标为(0,3)．
(2)△ABC的面积为12×(1+3)×4−12×1×3−12×3×1=5，
∵△BB1D的面积等于△ABC面积的25，
∴△BB1D的面积为5×25=2，
设点D的坐标为(x,0)，
∴12|x−1|×2=2，
解得x=3或−1，
∴点D的坐标为(3,0)或(−1,0)．
【解析】(1)根据平移的性质作图，即可得出答案．
(2)由题意可得，△BB1D的面积为5×25=2，设点D的坐标为(x,0)，则可列方程为12|x−1|×2=2，解方程即可得出答案．
本题考查作图−平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设茄子和西红柿的种植面积各为x亩，y亩，
由题意得，2x+y=26x+y=15，
解得x=11y=4，
答：茄子和西红柿的种植面积各为11亩，4亩；
(2)11×2.6+4×1.5=34.6(万元)，
答：种植场在这一季共获利34.6万元．
【解析】(1)设茄子和西红柿的种植面积分别为x亩，y亩，根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元列出方程组求解即可；
(2)根据(1)所求，列式计算即可．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．
24.【答案】解：(1)∵DE//BC，
∴∠2=∠EBC．
又∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠1．
∴FG//BE．
(2)由(1)得，∠EBC=∠2=30°．
∵BE为∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠EBC=60°．
∴∠A=180°−∠ABC−∠C=70°．
【解析】(1)根据平行线的性质，由DE//BC，得∠2=∠EBC，进而推断出∠EBC=∠1.根据平行线的判定，得FG//BE．
(2)根据角平分线的定义，得∠ABC=2∠EBC=60°.再根据三角形内角和定理求得∠A=180°−∠ABC−∠C=70°．
本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵3xb−a−2y2a−b−2=1是关于x，y的二元一次方程，
∴b−a=12a−b−2=1，
解得a=4b=5，
又∵A(a,b)，
∴A(4,5)，
又∵AB⊥y轴，
∴B(0,5)，
∴OB=5，AB=4，
∴S三角形ABO=5×42=10；
(2)∵A(4,5)，O(0,0)，
且线段OA向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段DC，
∴C(6,4)，D(2,−1)，
过点C作AB的垂线交BA的延长线于点M，过点D作DE⊥y轴于点E，且交MC的延长线于点N，如图，
S四边形OACD=6×6−10−2×12−2×12−4×52=14；
(3)显然AE+EF的最小值为点A的纵坐标，
∴AE+EF的最小值为5．
【解析】(1)根据二元一次方程定义求出a，b，得到点A的坐标，以及点B的坐标，从而确定OB，AB的值，根据三角形面积公式求出三角形AOB的面积；
(2)根据平面直角坐标系中点的平移的规定得到点C，点D的坐标；再利用割补法即可求出四边形OACD的面积；
(3)根据垂线段最短即可直接写出AE+EF的最小值．
本题考查二元一次方程的定义，坐标系中图形面积计算，平移，垂线段最短，掌握相关概念，以及割补法求图形的面积的方法是解题的关键．
26.【答案】(1)解：如图所示，过点G作GE//AB，
∵AB//CD，
∴AB//GE//CD，
∴∠AMG=∠1，∠CNG=∠2，
∵GM⊥GN，
∴∠MGN=90°，
∴∠AMG+∠CNG=∠1+∠2=∠MGN=90°．
(2)如图所示，过点H作HF//AB，
∵∠AMG+∠CNG=90°，∠AMG+∠BMG=180°，∠CNG+∠GND=180°，
∴∠BMG+∠GND=360°−90°=270°
∵MH平分∠BMG，NH平分∠GND，
∴∠3+∠6=12(∠BMG+∠GND)=135°
∵AB//CD，
∴AB//HF//CD，
∴∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠MHN=∠4+∠5=∠3+∠6=135°；
(3)如图所示，将MP与CD的交点记作K，
∵MT平分∠BMP，且∠BMT=40°，
∴∠1=∠2=40°，∠BMP=80°，
∵NC平分∠TNP，
∴∠3=∠4，
设∠3=∠4=x°，
∴∠TND=180°−x°，
由(1)同理可得，∠MTN=∠1+∠TND=40°+180°−x°=220°−x°，
∵AB//CD，
∴∠NKP=80°，
∴在△KPN中，∠P=180°−80°−x°=100°−x°，
∴∠MTN−∠P=120°，即∠MTN−∠P为定值．
【解析】(1)过点G作GE//AB，利用平行线的性质求解；
(2)分别过点G和H作GE//AB，FH//AB，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取∠MHN的值；
(3)根据角平分线的定义求出∠1=∠2=40°，∠BMP=80°，∠3=∠4，设∠3=∠4=x°，求出∠MTN=∠1+∠TND=40°+180°−x°=220°−x°，∠P=100°−x°，相减即可证明．
本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证．
1. 3的相反数是( )
A. 3B. −3C. 3D. − 3
2.81的平方根是( )
A. −9B. 9C. ±9D. ±3
3.如图，已知a//b，小明把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠2=40°，则∠1的度数为( )
A. 40°B. 35°C. 50°D. 45°
4.估计 30−2的值( )
A. 在2到3之间B. 在3到4之间C. 在4到5之间D. 在5到6之间
5.关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是( )
A. −1
A. (−3,4)B. (−7,0)C. (−3,0)D. (4,0)
7.已知方程组2x+y=7x+2y=8，则5x−5y+10的值是( )
A. 5B. −5C. 15D. 25
8.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是( )
A. y−x=−1B. y=x+4.5y=2x−1C. y=x−+1D. y=x−4.5y=2x−1
9.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(1,0)，P2(1,1)，P3(0,1)，P4(0,2)，P5(1,2)，…，根据这个规律，点P16的坐标为( )
A. (0,14)B. (1,7)C. (0,8)D. (1,8)
10.已知关于x，y的方程组x+2y=6−3ax−y=6a，给出下列说法：①当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解；②若2x+y=3，则a=−1；③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；以上说法中正确的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.比较大小： 5 ______2.(填“<”或“>”)
12.不等式x+1<4+3x2的解集为______．
13.如图，点E在AD的延长线上，若∠1=∠4，则平行的是：______．
14.已知 123=11.09, 1230=35.07，那么 12.3= ______．
15.已知线段AB的长为3，且AB//y轴，点A的坐标为(3,2)，则点B的坐标为______．
16.二元一次方程3x+y=7的正整数解是______．
17.将一张矩纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= ______．
18.对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数n为“永恒数”.对于一个“永恒数”，记为F(n)=n9.例如：n=1854，因为1+8=5+4=9，所以1854是一个“永恒数”，F(1854)=18549=206.则F(3618)= ______；若一个四位自然数m是“永恒数”，且F(m)7为整数，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算或解方程：
(1) (−3)2+3−8−|π−2|；
(2)2(x−1)2=32．
20.(本小题10分)
解下列方程组：
(1)x+2y=63x−2y=10；
(2)x+3y2=355(x−2y)=−4．
21.(本小题10分)
阅读下列推理过程，完成下面的证明．
已知：如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3=180°.求证：∠GDC=∠B．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90°(______)
∴EF//AD(______)
∴ ______+∠2=180°(______)
又∵∠2+∠3=180°(______)
∴∠1= ______(______)
∴AB// ______(______)
∴∠GDC=∠B(______).
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,5)(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)请画出△ABC先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的△A1B1C1，并直接写出A1、B1、C1的坐标；
(2)在x轴上是否存在点D，使△BB1D的面积等于△ABC面积的25，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题10分)
今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元.请解答下列问题：
(1)求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？
(2)假设茄子和西红柿每亩地的利润分别为2.6万元和1.5万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，若∠1=∠2，DE//BC．
(1)试说明FG//BE；
(2)若BE为∠ABC的角平分线，∠2=30°，∠C=50°，求∠A的度数．
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为原点，点A(a,b)，并且a，b满足满足关于x，y的二元一次方程3xb−a−2y2a−b−2=1.(1)如图①，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，求三角形AOB的面积；
(2)如图②，将线段OA向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段DC，写出D、C的坐标，并求四边形OACD的面积；
(3)如图③，点E为对角线OC上一动点，EF⊥x轴于点F，连接AE，直接写出AE+EF的最小值．
26.(本小题10分)
已知AB//CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．
(2)在(1)的条件下，已知∠BMG的平分线MH交∠GND的平分线NH于点H，求∠MHN的度数．
(3)如图2，若点P是CD下方一点，MT平分∠BMP，NC平分∠TNP，已知∠BMT=40°，证明：∠MTN−∠P为定值．
答案和解析
1.【答案】D
解： 3的相反数是− 3，
故选：D．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
利用平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】
解：∵(±9)2=81，∴81的平方根是±9．
故选：C．
3.【答案】C
解：∵a//b，∠2=40°，
∴∠3=∠2=40°，
∵∠ACB=90°，
∴∠1=180°−∠3−∠ACB=50°．
故选：C．
首先根据同位角相等，两直线平行求出∠3=40°，根据∠ACB=90°求出∠1即可．
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并准确识图是解题的关键．
4.【答案】B
解：∵25<30<36，
∴5< 30<6，
∴3< 30−2<4．
故选：B．
先估算出 30的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
5.【答案】B
解：根据数轴可知：不等式组的解集是−1≤x<2，
故选：B．
根据数轴得出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据数轴得出正确信息是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了点的坐标的求解，利用x轴上的点纵坐标等于0列式求出a的值是解题的关键．
根据x轴上的点纵坐标为0，列式求出a的值，然后计算求出横坐标，从而点M的坐标可得．
【解答】
解：∵M(a−3,a+4)在x轴上，
∴a+4=0，
解得a=−4，
∴a−3=−4−3=−7，
∴M点的坐标为(−7,0)．
故选B．
7.【答案】A
解：2x+y=7①x+2y=8②，
则①−②得：
x−y=−1，
故5x−5y+10
=5(x−y)+10
=−5+10
=5．
故选：A．
直接利用已知方程组变形进而得出x−y=−1，即可求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的解，正确将原方程组变形是解题关键．
8.【答案】A
解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得y−x=−1，
故选：A．
设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9.【答案】C
解：根据动点的运动方式可知，
点P1的坐标为(1,0)；
点P2的坐标为(1,1)；
点P3的坐标为(0,1)；
点P4的坐标为(0,2)；
点P5的坐标为(1,2)；
点P6的坐标为(1,3)；
点P7的坐标为(0,3)；
点P8的坐标为(0,4)；
点P9的坐标为(1,4)；
点P10的坐标为(1,5)；
点P11的坐标为(0,5)；
点P12的坐标为(0,6)；
…，
由此可见，点P2n(n为正整数)的纵坐标为n，且点的横坐标按1，1，0，0循环出现，
因为16÷4=4，16÷2=8，
所以点P16的坐标为(0,8)．
故选：C．
根据所给动点的运动方式，依次求出P1，P2，P3，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据动点的运动方式，发现其对应点坐标的变化规律是解题的关键．
10.【答案】D
解：①当a=1时，x+2y=3①x−y=6②，
①−②，可得3y=−3，
解得y=−1，
把y=−1代入②，可得：x−(−1)=6，
解得x=5，
∴原方程组的解是x=5y=−1，
∵5+(−1)=4，1+3=4，
∴当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解，
∴选项①符合题意．
②x+2y=6−3a①x−y=6a②，
①+②，可得2x+y=6+3a，
∵2x+y=3，
∴6+3a=3，
解得a=−1，
∴若2x+y=3，则a=−1，
∴选项②符合题意．
③假设x，y的值互为相反数，则x+y=0，
x+2y=6−3a①x−y=6a②，
①−②，可得3y=6−9a，
解得y=2−3a，
把y=2−3a代入②，可得：x−(2−3a)=6a，
解得x=2+3a，
∴原方程组的解是x=2+3ay=2−3a，
∵x+y=2+3a+2−3a=4≠0，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，
∴选项③符合题意．
综上，可得正确的说法的个数为3个：①、②、③．
故选：D．
①当a=1时，x+2y=3①x−y=6②，应用加减消元法，求出方程组的解，再判断出x、y的值是否是x+y=a+3的解即可；
②把关于x，y的方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②的两个方程左右两边分别相加，可得2x+y=6+3a，再根据2x+y=3，求出a的值即可；
③首先应用加减消元法，求出关于x，y的方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②的解，然后把求出的x、y的值相加，判断出x，y的值能不能互为相反数即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
11.【答案】>
解：∵2= 4，
又∵ 5> 4，
∴ 5>2，
故答案为：>．
先把2写成 4，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
12.【答案】x>−2
解：去分母得：2x+2<4+3x，
移项得：2x−3x<4−2，
合并同类项得：−x<2，
系数化为1得：x>−2．
故答案为x>−2．
本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，按照解一元一次不等式的步骤求得x的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式的方法，需要注意在不等式两边都除以同一个负数时，应改变不等号的方向．
13.【答案】AB//CD
解：∵∠1=∠4，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：AB//CD．
根据“内错角相等，两直线平行”求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
14.【答案】3.507
解：∵ 1230=35.07，
∴ 12.3= 1230100= 123010=35.0710=3.507，
故答案为：3.507．
根据算术平方根的性质求解即可．
本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
15.【答案】(3,5)或(3,−1)
解：因为AB//y轴，
所以A，B两点的横坐标相等，
则xB=3．
又因为AB=3，
所以2+3=5，2−3=−1，
所以点B的坐标为(3,5)或(3,−1)．
故答案为：(3,5)或(3,−1)．
根据AB//y轴，可得出A，B两点的横坐标相等，再根据AB长为3，可求出点B的坐标．
本题考查坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
16.【答案】x=1y=4和x=2y=1
解：∵当x=1时，3+y=7，则y=4；当x=2式，6+y=7，则y=1，
∴方程3x+y=7的正整数解x=1y=4和x=2y=1．
故答案为：x=1y=4和x=2y=1．
采用列举法求得方程的所有正整数解即可．
本题主要考查的是二元一次方程的解，应用列举法求解是解题的关键．
17.【答案】52°
解：∵∠GEF=∠FEC=64°，
∴∠BEG=180°−64°×2=52°，
∵AD//BC，
∴∠1=∠BEG=52°．
故答案为：52°．
根据翻折变换的性质求出∠GEF的度数，从而求出∠GEB的度数，再根据平行线的性质求出∠1的度数．
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
18.【答案】402 7245
解：由题意可知：F(3618)=36189=402；
根据“永恒数”的定义，
设m=1000x+100(9−x)+10y+9−y=900x+9y+909，
其中1≤x≤9，0≤y≤9，x，y都为整数，x≠y，
∴F(m)=900x+9y+9099=100x+y+101
∵F(m)7为整数，
∴100x+y+1017是整数，
由于各个数位上的数字互不相同，
∴当m取最大值时，x=9，y=7最大，
当m取最小值时，x=1，y=2时最小，
∴m最大为m=9000+100×(9−9)+10×7+9−7=9072，
m最小为m=1000+100×(9−1)+10×2+9−2=1827，
∴9072−1827=7245，
故答案为：402，7245．
根据F(n)=n9直接进行求解即可；根据“永恒数”的定义，设m=1000x+100(9−x)+10y+9−y=900x+9y+909，求出F(m)的值，根据F(m)7为整数，分情况求出m的最大值与最小值即可得出结果．
本题考查了新定义的实数运算，整式运算，理解新定义并将其转化为整数的运算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3−2−(π−2)
=3−2−π+2
=3−π；
(2)由原方程可得(x−1)2=16，
则x−1=±4，
解得：x=5 或−3．
【解析】(1)利用二次根式的性质，算术平方根的定义及绝对值的性质计算即可；
(2)利用平方根的定义解方程即可．
本题考查实数的运算及平方根，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)x+2y=6①3x−2y=10②，
①+②得：4x=16，
解得：x=4，
将x=4代入①得：4+2y=6，
解得：y=1，
故原方程组的解为x=4y=1；
(2)原方程组整理得5x+15y=6①5x−10y=−4②，
①−②得：25y=10，
解得：y=25，
将y=25代入②得：5x−4=−4，
解得：x=0，
故原方程组的解为x=0y=25．
【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
21.【答案】垂直的定义 同位角相等，两直线平行 ∠1 两直线平行，同旁内角互补 已知 ∠3 同角的补角相等 DG 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADB=∠EFB=90°(垂直的定义)，
∴EF//AD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠2+∠3=180°(已知)，
∴∠1=∠3(同角的补角相等)，
∴AB//DG(内错角相等，两直线平行)，
∴∠GDC=∠B.(两直线平行，同位角相等)，
故答案为：①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③∠1；④两直线平行，同旁内角互补；⑤已知；⑥∠3；⑦同角的补角相等；⑧DG；⑨内错角相等，两直线平行；⑩两直线平行，同位角相等．
根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可．
本题主要考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，同角的补角相等等等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
A1的坐标为(−1,−1)，B1的坐标为(1,0)，C1的坐标为(0,3)．
(2)△ABC的面积为12×(1+3)×4−12×1×3−12×3×1=5，
∵△BB1D的面积等于△ABC面积的25，
∴△BB1D的面积为5×25=2，
设点D的坐标为(x,0)，
∴12|x−1|×2=2，
解得x=3或−1，
∴点D的坐标为(3,0)或(−1,0)．
【解析】(1)根据平移的性质作图，即可得出答案．
(2)由题意可得，△BB1D的面积为5×25=2，设点D的坐标为(x,0)，则可列方程为12|x−1|×2=2，解方程即可得出答案．
本题考查作图−平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设茄子和西红柿的种植面积各为x亩，y亩，
由题意得，2x+y=26x+y=15，
解得x=11y=4，
答：茄子和西红柿的种植面积各为11亩，4亩；
(2)11×2.6+4×1.5=34.6(万元)，
答：种植场在这一季共获利34.6万元．
【解析】(1)设茄子和西红柿的种植面积分别为x亩，y亩，根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元列出方程组求解即可；
(2)根据(1)所求，列式计算即可．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．
24.【答案】解：(1)∵DE//BC，
∴∠2=∠EBC．
又∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠1．
∴FG//BE．
(2)由(1)得，∠EBC=∠2=30°．
∵BE为∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠EBC=60°．
∴∠A=180°−∠ABC−∠C=70°．
【解析】(1)根据平行线的性质，由DE//BC，得∠2=∠EBC，进而推断出∠EBC=∠1.根据平行线的判定，得FG//BE．
(2)根据角平分线的定义，得∠ABC=2∠EBC=60°.再根据三角形内角和定理求得∠A=180°−∠ABC−∠C=70°．
本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵3xb−a−2y2a−b−2=1是关于x，y的二元一次方程，
∴b−a=12a−b−2=1，
解得a=4b=5，
又∵A(a,b)，
∴A(4,5)，
又∵AB⊥y轴，
∴B(0,5)，
∴OB=5，AB=4，
∴S三角形ABO=5×42=10；
(2)∵A(4,5)，O(0,0)，
且线段OA向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段DC，
∴C(6,4)，D(2,−1)，
过点C作AB的垂线交BA的延长线于点M，过点D作DE⊥y轴于点E，且交MC的延长线于点N，如图，
S四边形OACD=6×6−10−2×12−2×12−4×52=14；
(3)显然AE+EF的最小值为点A的纵坐标，
∴AE+EF的最小值为5．
【解析】(1)根据二元一次方程定义求出a，b，得到点A的坐标，以及点B的坐标，从而确定OB，AB的值，根据三角形面积公式求出三角形AOB的面积；
(2)根据平面直角坐标系中点的平移的规定得到点C，点D的坐标；再利用割补法即可求出四边形OACD的面积；
(3)根据垂线段最短即可直接写出AE+EF的最小值．
本题考查二元一次方程的定义，坐标系中图形面积计算，平移，垂线段最短，掌握相关概念，以及割补法求图形的面积的方法是解题的关键．
26.【答案】(1)解：如图所示，过点G作GE//AB，
∵AB//CD，
∴AB//GE//CD，
∴∠AMG=∠1，∠CNG=∠2，
∵GM⊥GN，
∴∠MGN=90°，
∴∠AMG+∠CNG=∠1+∠2=∠MGN=90°．
(2)如图所示，过点H作HF//AB，
∵∠AMG+∠CNG=90°，∠AMG+∠BMG=180°，∠CNG+∠GND=180°，
∴∠BMG+∠GND=360°−90°=270°
∵MH平分∠BMG，NH平分∠GND，
∴∠3+∠6=12(∠BMG+∠GND)=135°
∵AB//CD，
∴AB//HF//CD，
∴∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠MHN=∠4+∠5=∠3+∠6=135°；
(3)如图所示，将MP与CD的交点记作K，
∵MT平分∠BMP，且∠BMT=40°，
∴∠1=∠2=40°，∠BMP=80°，
∵NC平分∠TNP，
∴∠3=∠4，
设∠3=∠4=x°，
∴∠TND=180°−x°，
由(1)同理可得，∠MTN=∠1+∠TND=40°+180°−x°=220°−x°，
∵AB//CD，
∴∠NKP=80°，
∴在△KPN中，∠P=180°−80°−x°=100°−x°，
∴∠MTN−∠P=120°，即∠MTN−∠P为定值．
【解析】(1)过点G作GE//AB，利用平行线的性质求解；
(2)分别过点G和H作GE//AB，FH//AB，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取∠MHN的值；
(3)根据角平分线的定义求出∠1=∠2=40°，∠BMP=80°，∠3=∠4，设∠3=∠4=x°，求出∠MTN=∠1+∠TND=40°+180°−x°=220°−x°，∠P=100°−x°，相减即可证明．
本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证．
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