新人教版高二暑期数学衔接第05讲概率的计算(主干知识复习)讲义(学生版+解析)

这是一份新人教版高二暑期数学衔接第05讲概率的计算(主干知识复习)讲义(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了学习目标，基础知识，考点剖析，真题演练，过关检测等内容，欢迎下载使用。

1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系(参见案例12)了解随机事件的并，交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并，交运算
2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率
3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则
4.结合实例，会用频率估计概率
5.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义，结合古典概型，利用独立性计算概率
【基础知识】
一、随机事件与概率
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验(randm experiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现 哪一个结果.
2．样本空间
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间(sample space).
(2)一般地，我们用Ω(欧米伽)表示样本空间，用ω表示样本点.
样本点是随机试验的每个可能的基本结果，样本空间是全体样本点的集合.关于什么是基本结果,只能直观描述,无法严格定义. 我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1, ω2,..., ωn,则称样本空间Ω={ω1, ω2,..., ωn,}为有限样本空间.
3.事件的相关概念
二、事件的关系与运算
1.事件的关系
2.判断互斥、对立事件的方法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
三、古典概型
1.概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
(3)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
3.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
4．确定基本事件个数的三种方法
(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型．
(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验．
(3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．
5．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
6．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
7．古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出事件A的概率.
8.求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，注意是无序还是有序．在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件是常见错误．
四、概率的基本性质
1.性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.
2.性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1,P(Φ)=0.
3．性质3.如果事件A与事件B互斥, 那么P(A∪B)=P(A)+P(B)
【解读】
①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．
③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
4.性质4：如果事件A与事件B互为对立事件, 那么P(B)=1- P(A), P(A)=1- P(B)
【解读】公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．②当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率．
5.性质5.如果A⊆B,那么P(A)≤P(B)
6.性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
五、事件的相互独立性
1.设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立.
2.必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
3.互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
4. 相互独立事件的判断方法
(1)定义法：P(AB)=P(A)P(B)
(2)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
【考点剖析】
考点一：事件的关系判断
例1．(2021-2022广东省深圳市龙岗区龙城高中高一下学期期中)一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是( )
A．与B．与C．与D．以上都不对
考点二：概率与频率
例2．从年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的人中随机抽取人，测得他们的身高分别为(单位：) ：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在之间的概率为( )
A．B．C．D．
考点三：利用古典概型求概率
例3．(2022学年广东省深圳市光明区高级中学高一下学期期中)甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．
(1)求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；
(2)甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．
考点四：利用互斥事件与对立事件求概率
例4．(2022学年陕西省宝鸡市金台区高一下学期期中)把一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方体被分割成了个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起.如果你从这些小正方体中随意地取出个，则这个小正方体至少有一个面涂有红色的概率为_______.
考点五：相互独立事件的判断
例5．(2022学年江苏省南京师范大学附属中学江宁分校高一下学期期中)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则( )
A．甲与丙相互独立B．丙与丁相互独立C．甲与丁相互独立D．乙与丙相互独立
考点六：利用相互独立事件概率计算公式求概率
例6．(2022学年广西北海市高一上学期期末检测)已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
【真题演练】
1.(2021高考全国全国卷甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．B．C．D．
2.(2020-2021学年湖南师范大学附属中学高一下学期期末)随机抛郑两枚均匀骰子，观察得到的点数，则得到的两个骰子的点数之和能被3整除的概率是( )
A．B．C．D．
3．(2022学年北京市清华大学附属中学朝阳学校高一5月月考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个红球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
4.(多选)(2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中)已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是( )
A．颜色相同B．颜色不全相同C．颜色全不相同D．无红球
5.(多选甘肃省兰州第一中学高一下学期期中)(2022学年)已知事件A，B，且，则( )
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
6.(2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高一下学期期中)若随机事件A、B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是______．
7．(2022学年河南省南阳地区高一3月阶段检测)某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为______．
8.(2022学年河北省邢台市南和区第一中学高一下学期第四次月考)高一某班计划从6名学生中选出2名学生参加学校的羽毛球比赛.已知这6名学生中有3名男生和3名女生.
(1)求参加比赛的学生中恰有1名男生的概率；
(2)求参加比赛的学生中至少有1名女生的概率.
【过关检测】
1. (2022学年吉林省长春市第二实验中学高一下学期期中)袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为( )
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
2.(2022学年辽宁省县级重点高中协作体高一下学期期中)从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为( )
A．B．C．D．
3.(2022学年广东深圳市龙岗区德琳学校高一下学期期中)设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是( )
A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1
B．事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
D．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
4. (多选)(2022学年辽宁省朝阳市凌源市高一下学期第二次联考)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则( )
A．2个球不都是红球的概率是B．2个球都是红球的概率是
C．至少有1个红球的概率是D．2个球中恰好有1个红球的概率是
5.(多选)(2022学年江西省部分名校高一下学期期中)连掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列结论正确的是( )
A．事件“”的概率与事件“”的概率相等
B．事件“”的概率小于事件“”的概率
C．事件“或”与事件“t是质数”是对立事件
D．事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件
6.(2022学年河南省南阳市高一上学期12月月考)现从3男3女共6名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中至少有一名女生的概率为___________.
7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值为________.
8.在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．
9.(2022学年广东深圳市龙岗区德琳学校高一下学期期中)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，构成有序数对(x，y)，其中x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，求下列事件的概率：
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
10.(2020-2021学年湖南师范大学附属中学高一下学期期末)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，
第05讲 概率的计算
【学习目标】
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系(参见案例12)了解随机事件的并，交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并，交运算
2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率
3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则
4.结合实例，会用频率估计概率
5.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义，结合古典概型，利用独立性计算概率
【基础知识】
一、随机事件与概率
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验(randm experiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现 哪一个结果.
2．样本空间
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间(sample space).
(2)一般地，我们用Ω(欧米伽)表示样本空间，用ω表示样本点.
样本点是随机试验的每个可能的基本结果，样本空间是全体样本点的集合.关于什么是基本结果,只能直观描述,无法严格定义. 我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1, ω2,..., ωn,则称样本空间Ω={ω1, ω2,..., ωn,}为有限样本空间.
3.事件的相关概念
二、事件的关系与运算
1.事件的关系
2.判断互斥、对立事件的方法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
三、古典概型
1.概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
(3)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
3.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
4．确定基本事件个数的三种方法
(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型．
(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验．
(3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．
5．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
6．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
7．古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出事件A的概率.
8.求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，注意是无序还是有序．在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件是常见错误．
四、概率的基本性质
1.性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.
2.性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1,P(Φ)=0.
3．性质3.如果事件A与事件B互斥, 那么P(A∪B)=P(A)+P(B)
【解读】
①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．
③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
4.性质4：如果事件A与事件B互为对立事件, 那么P(B)=1- P(A), P(A)=1- P(B)
【解读】公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．②当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率．
5.性质5.如果A⊆B,那么P(A)≤P(B)
6.性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
五、事件的相互独立性
1.设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立.
2.必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
3.互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
4. 相互独立事件的判断方法
(1)定义法：P(AB)=P(A)P(B)
(2)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
【考点剖析】
考点一：事件的关系判断
例1．(2021-2022广东省深圳市龙岗区龙城高中高一下学期期中)一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是( )
A．与B．与C．与D．以上都不对
【答案】B
【解析】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.故选B
考点二：概率与频率
例2．从年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的人中随机抽取人，测得他们的身高分别为(单位：) ：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在之间的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，分析人的数据可得，身高在之间的有人，则在志愿者中任抽取一人身高在之间的概率为.故选B.
考点三：利用古典概型求概率
例3．(2022学年广东省深圳市光明区高级中学高一下学期期中)甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．
(1)求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；
(2)甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．
【解析】 (1)乙随机抽取的两张卡片，基本事件为，
其中和为偶数的事件为：，
所以乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率为
(2)甲、乙分别取出一张卡，基本事件为，
其中乙的数字小的事件为：，
所以乙获胜的概率为.
考点四：利用互斥事件与对立事件求概率
例4．(2022学年陕西省宝鸡市金台区高一下学期期中)把一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方体被分割成了个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起.如果你从这些小正方体中随意地取出个，则这个小正方体至少有一个面涂有红色的概率为_______.
【答案】
【解析】
个小正方体中，将大正方体外层的正方体去掉，可知没有面是红色的小正方体有个，
至少有一个面涂有红色的概率为.
考点五：相互独立事件的判断
例5．(2022学年江苏省南京师范大学附属中学江宁分校高一下学期期中)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则( )
A．甲与丙相互独立B．丙与丁相互独立C．甲与丁相互独立D．乙与丙相互独立
【答案】C
【解析】甲、乙、丙、丁事件分别记为，则有，，
对于A，显然甲丙不可能同时发生，即，A不正确；
对于B，显然丙丁不可能同时发生，即，B不正确；
对于C，，甲与丁相互独立，C正确；
对于D，，D不正确.故选C
考点六：利用相互独立事件概率计算公式求概率
例6．(2022学年广西北海市高一上学期期末检测)已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
【答案】
【解析】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，甲和丙被录取的概率为，乙和丙被录取的概率为，则他们三人中恰有两人被录取的概率为
【真题演练】
1.(2021高考全国全国卷甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有5种排法，若2个0不相邻，则有10种排法，所以2个0不相邻的概率为．故选C．
2.(2020-2021学年湖南师范大学附属中学高一下学期期末)随机抛郑两枚均匀骰子，观察得到的点数，则得到的两个骰子的点数之和能被3整除的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】随机抛郑两枚均匀骰子的所有结果如下表：
共36个不同结果，它们等可能，得到的两个骰子的点数之和能被3整除的有(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12个，所以所求概率为.
故选D
3．(2022学年北京市清华大学附属中学朝阳学校高一5月月考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个红球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】D
【解析】对于A：至少有一个黑球与都是黑球，其中至少有一个黑球包含1个黑球和2个黑球，而都是黑球即为2个黑球，所以既不互斥，更不对立.故A错误；
对于B：至少有一个红球与都是红球，其中至少有一个红球包含1个红球和2个红球，而都是红球即为2个红球，所以既不互斥，更不对立.故B错误；
对于C：至少有一个黑球与至少有1个红球都包含1个黑球和1个红球这种情况，所以既不互斥，更不对立.故C错误；
对于D：恰有1个黑球即为1个黑球和1个红球，而恰有2个黑球为2个黑球，所以恰有1个黑球与恰有2个黑球为互斥事件，而基本事件还包括2个红球的情况，所以恰有1个黑球与恰有2个黑球不是对立事件.故D正确.故选D
4.(多选)(2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中)已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是( )
A．颜色相同B．颜色不全相同C．颜色全不相同D．无红球
【答案】ACD
【解析】根据题意，有放回的取3次，共有3×3×3=27种情况，即(黄，黄，黄)，(黄，白，黄)，(黄，黄，白)，(黄，红，黄)，……，由古典概型计算：A选项，颜色相同的情况有3种，故概率为，不为；B选项，颜色不全相同与颜色相同是对立事件，故其概率为；C选项，颜色全不相同，即黄，红，白各有一次，共有6种情况，故概率为，不为；D选项，无红球，即三次都是黄或白球，共有8种情况，故其概率为，不为.故选ACD
5.(多选甘肃省兰州第一中学高一下学期期中)(2022学年)已知事件A，B，且，则( )
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
【答案】ABD
【解析】如果，那么，，故 A正确；
如果A与互斥，那么，，故 B正确；
如果A与相互独立，那么，，故C错误；
如果A与相互独立，那么，故 D正确；
故选ABD
6.(2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高一下学期期中)若随机事件A、B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意，，即，解得．
7．(2022学年河南省南阳地区高一3月阶段检测)某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为______．
【答案】0.492
【解析】记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A，“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B，
则，，，，
故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为
．
8.(2022学年河北省邢台市南和区第一中学高一下学期第四次月考)高一某班计划从6名学生中选出2名学生参加学校的羽毛球比赛.已知这6名学生中有3名男生和3名女生.
(1)求参加比赛的学生中恰有1名男生的概率；
(2)求参加比赛的学生中至少有1名女生的概率.
【解析】 (1)设3名男生分别为，，，3名女生分别为，，.
这个试验的样本空间可记为
，
共包含15个样本点. 设事件“参加比赛的学生中恰有1名男生”，
则，
共包含9个样本点，所以.
(2)设“参加比赛的学生中至少有1名女生”为事件，
则
，共包含12个样本点，所以.
【过关检测】
1. (2022学年吉林省长春市第二实验中学高一下学期期中)袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为( )
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】A
【解析】摸到三个球都是篮球的有234，345，估计摸到三个球都是蓝球的概率为.故选A
2.(2022学年辽宁省县级重点高中协作体高一下学期期中)从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将3名男性志愿者分别设为a，b，c，2名女性志愿者分别设为d，e，这个实验的样本空间可记为，共包含10个样本点，
记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则，A包含的样本点个数为7，所以．故选D．
3.(2022学年广东深圳市龙岗区德琳学校高一下学期期中)设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是( )
A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1
B．事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
D．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
【答案】A
【解析】A. 若A，B是对立事件，则事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，所以该选项正确；
B. 事件A，B，C两两互斥，如 : 投掷一枚均匀的骰子，设{向上的点数是1点}，{向上的点数是2点}，{向上的点数是3点}，则A，B，C两两互斥，, P(A)＋P(B)＋P(C)＜1,所以该选项错误；
C. 若A和B互斥，则，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；
D.只有当A和B互斥时， P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，所以该选项错误.故选A
4. (多选)(2022学年辽宁省朝阳市凌源市高一下学期第二次联考)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则( )
A．2个球不都是红球的概率是B．2个球都是红球的概率是
C．至少有1个红球的概率是D．2个球中恰好有1个红球的概率是
【答案】BCD
【解析】对于A，2个球不都是红球的概率为，故A不正确；对于B，2个球都是红球的概率为，故B正确；对于C，至少有一个红球的概率为，故C正确；对于D，两个球中恰好有一个红球的概率为，故D正确.故选BCD
5.(多选)(2022学年江西省部分名校高一下学期期中)连掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列结论正确的是( )
A．事件“”的概率与事件“”的概率相等
B．事件“”的概率小于事件“”的概率
C．事件“或”与事件“t是质数”是对立事件
D．事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件
【答案】AD
【解析】列表如下：
由表可知事件“”的概率是是，事件“”的概率是是，则A正确．
事件“”的概率是，事件“”的概率是，则B错误．
由题意可知t的所有可能取值为0，1，2，3，4，5．
因为1不是质数，所以事件“或”与事件“t是质数”是互斥事件，但不是对立事件，则C错误．
事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件，则D正确．故选AD
6.(2022学年河南省南阳市高一上学期12月月考)现从3男3女共6名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中至少有一名女生的概率为___________.
【答案】
【解析】记男生为，女生为，从中任取人有：，共种方法.其中至少有名女生的有：，共种，所以这2人中至少有一名女生的概率为.
7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值为________.
【答案】
【解析】该同学在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为：
，解得．
8.在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．
【答案】
【解析】由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，
第一种摸出“白白红红”的概率为，第二种摸出“白红白红”的概率为，
第三种摸出“红白白红”的概率为，所以连续摸4次停止的概率等于．
9.(2022学年广东深圳市龙岗区德琳学校高一下学期期中)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，构成有序数对(x，y)，其中x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，求下列事件的概率：
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
【解析】 (1)摸出球的情况如下：1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5,3,1,3,2,3,4,3,5，
4,1,4,2,4,3,4,5,5,1,5,2,5,3,5,4，共20种情况，其中事件A包含1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5，有8种情况，故；
(2)事件B包含，，，，，，，，有8种情况，所以
(3)事件AB包含，，有2种情况，所以.
10.(2020-2021学年湖南师范大学附属中学高一下学期期末)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
【解析】 (1)分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，则，
夫妻二人都不需要交补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.
(2)由(1)知，夫妻二人共交200元补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，
1
2
3
4
5
6
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
(1，6)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
(2，5)
(2，6)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
(3，5)
(3，6)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(4，5)
(4，6)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
(5，5)
(5，6)
6
(6，1)
(6，2)
(6，3)
(6，4)
(6，5)
(6，6)
1
2
3
4
5
6
1
0
1
2
3
4
5
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
5
4
3
2
1
0
1
6
5
4
3
2
1
0