新人教版高二暑期数学衔接第01讲平面向量的数量积(主干知识复习)讲义(学生版+解析)

这是一份新人教版高二暑期数学衔接第01讲平面向量的数量积(主干知识复习)讲义(学生版+解析)，共9页。学案主要包含了学习目标，基础知识，考点剖析，真题演练，过关检测等内容，欢迎下载使用。

1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．
5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.
【基础知识】
一．平面向量的数量积
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2.平面向量的数量积
(1)设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·csθ叫做a与b的数量积，记作a·b
(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。
解读：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是
数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．
二、投影向量
1.向量a在b方向上的投影向量为|a|cs θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．
2.向量a在b方向上的投影向量eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|).
3.注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cs θeq \f(a,|a|).
三、平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
1.e·a＝a·e＝|a|csθ.
2.a⊥b⇔a·b＝0.
3.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)csθ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
四、平面向量数量积满足的运算律
1.a·b＝b·a；
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
五、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
1.若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
3.设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
4.若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
六、平面向量数量积运算的常用公式
1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
七、平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
1.题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
2.给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
八、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
3.把运算结果“翻译”成几何关系.
【考点剖析】
考点一：利用定义求平面向量的数量积
例1．(2022学年陕西省榆林市绥德中学、府谷中学高一下学期期中)已知向量，满足，，则( )
A．4B．3C．2D．1
考点二：向量的投影向量
例2．(2022学年天津市河北区高一下学期期中)已知，，与的夹角为135°，则在方向上的投影向量为( )
A．－B．C．D．
考点三：利用数量积的性质求向量的模
例3．(2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试)已知，是平面内的两个向量，，且，则( )
A．B．C．D．
考点四：利用数量积性质求向量的夹角
例4．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)已知在方向上的投影向量为，则与夹角的正弦值为___________.
考点五：利用数量积求解垂直问题
例5．(2022学年河南省商丘市一高高一下学期五月月考)已知向量，满足，，，若，则实数的值为( )
A．2B．C．9D．
考点六：数量积的坐标运算
例6．(2022学年福建省莆田第一中学高一下学期期中)已知向量，点，，则向量在上的投影向量的模长为( )
A．B．C．D．
考点七：建立坐标系求解几何图形中的数量积问题
例7．(2022学年河南省安阳市高一下学期联考)已知正方形的边长为2，为正方形的内部或边界上任一点，则的最大值是( ).
A．1B．2C．3D．4
【真题演练】
1．(2020年高考全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足，，，则( )
A．B．C．D．
2．(2019年高考全国卷Ⅱ卷)已知，，，则( )
A．B．C．D．
3．(2018年高考全国卷Ⅱ)已知向量，满足，，则( )
A．4B．3C．2D．0
4．(2021年高考全国卷Ⅱ)已知向量．若，则________．
5．(2021年高考全国卷Ⅰ)已知向量，若，则__________．
6．(2020年高考全国卷Ⅰ)设为单位向量，且，则______________．
7．(2020年高考全国卷Ⅱ)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
8．(2019年高考全国卷Ⅲ)已知，为单位向量，且，若，则___________．
【过关检测】
1．(2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期期中)已知点，则向量在方向上投影向量为( )
A．B．C．D．
2．(2022学年江苏省常州市第二中学高一下学期5月学情调研)已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为( )
A．B．C．D．
3．(2022学年河南省南阳市六校高一下学期第二次联考)已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是( )
A．B． C．D．
4.(2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中)如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为( )
A．B．C．D．
5．(2022学年山东省菏泽市高一下学期期中)已知正方形ABCD的边长为1，向量，满足，，则( )
A．B．
C．D．
6.(2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中)如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是( )
A．B．C．D．
7．(2022学年上海交通大学附属中学高一下学期线上教学反馈)点O在所在的平面内，则下列说法正确的是( )
A．若，则点O是的外心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
E．若，则点O是的内心
F．若，则点O是的垂心
8. (2022学年江苏省淮安市淮安区高一下学期期中)如图，平面向量，的夹角是60°，||＝4，||＝2，平面内任意一点E关于点B对称点为F，点F关于点C的对称点为点G，则＝______．
9.(2022学年浙江省A9协作体高一下学期期中联考)已知平面向量，，，满足，，，，则的最小值为________.
10. (2022学年河北省保定市部分学校高一下学期第二次月考)已知向量，，，则____________.
第01讲 平面向量的数量积
【学习目标】
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．
5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.
【基础知识】
一．平面向量的数量积
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2.平面向量的数量积
(1)设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·csθ叫做a与b的数量积，记作a·b
(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。
解读：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是
数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．
二、投影向量
1.向量a在b方向上的投影向量为|a|cs θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．
2.向量a在b方向上的投影向量eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|).
3.注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cs θeq \f(a,|a|).
三、平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
1.e·a＝a·e＝|a|csθ.
2.a⊥b⇔a·b＝0.
3.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)csθ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
四、平面向量数量积满足的运算律
1.a·b＝b·a；
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
五、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
1.若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
3.设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
4.若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
六、平面向量数量积运算的常用公式
1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
七、平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
1.题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
2.给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
八、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
3.把运算结果“翻译”成几何关系.
【考点剖析】
考点一：利用定义求平面向量的数量积
例1．(2022学年陕西省榆林市绥德中学、府谷中学高一下学期期中)已知向量，满足，，则( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】因为．故选D．
考点二：向量的投影向量
例2．(2022学年天津市河北区高一下学期期中)已知，，与的夹角为135°，则在方向上的投影向量为( )
A．－B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，与的夹角为135°，所以在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为－，故选A.
考点三：利用数量积的性质求向量的模
例3．(2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试)已知，是平面内的两个向量，，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，则，所以.
故选D
考点四：利用数量积性质求向量的夹角
例4．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)已知在方向上的投影向量为，则与夹角的正弦值为___________.
【答案】
【解析】因为，，且在方向上的投影向量为，设与的夹角为，则，即，又因为，且，故．
考点五：利用数量积求解垂直问题
例5．(2022学年河南省商丘市一高高一下学期五月月考)已知向量，满足，，，若，则实数的值为( )
A．2B．C．9D．
【答案】C
【解析】由，可得，由，可得，又，，则有，故，故选C
考点六：数量积的坐标运算
例6．(2022学年福建省莆田第一中学高一下学期期中)已知向量，点，，则向量在上的投影向量的模长为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，故在上的投影向量的模长为.
故选D
考点七：建立坐标系求解几何图形中的数量积问题
例7．(2022学年河南省安阳市高一下学期联考)已知正方形的边长为2，为正方形的内部或边界上任一点，则的最大值是( ).
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正方形的边长为2，所以，设，，
因为，所以，
因为，所以，因此，当且仅当时取等号，故选D
【真题演练】
1．(2020年高考全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，．
，
因此，．故选D．
2．(2019年高考全国卷Ⅱ卷)已知，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴,∴，解得，
即，则．
3．(2018年高考全国卷Ⅱ)已知向量，满足，，则( )
A．4B．3C．2D．0
【答案】B
【解析】，故选B．
4．(2021年高考全国卷Ⅱ)已知向量．若，则________．
【答案】．
【解析】,，解得,故答案为．
5．(2021年高考全国卷Ⅰ)已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
6．(2020年高考全国卷Ⅰ)设为单位向量，且，则______________．
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以所以。解得：
所以
7．(2020年高考全国卷Ⅱ)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
【答案】
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：．
8．(2019年高考全国卷Ⅲ)已知，为单位向量，且，若，则___________．
【答案】．
【解析】因为，，所以，
，所以，所以．
【过关检测】
1．(2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期期中)已知点，则向量在方向上投影向量为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，则向量在方向上投影向量为，故选B
2．(2022学年江苏省常州市第二中学高一下学期5月学情调研)已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为与垂直，故，解得，则,
，设与夹角为，则.故选A.
3．(2022学年河南省南阳市六校高一下学期第二次联考)已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是( )
A．B． C．D．
【答案】D
【解析】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.
故选D.
4.(2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中)如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】， ，
三点共线，， ，又
，故选C
5．(2022学年山东省菏泽市高一下学期期中)已知正方形ABCD的边长为1，向量，满足，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】∵，，
∴，又正方形ABCD的边长为1，
∴，故A错误；
∴，，即，故BC正确；
∴，即，故D正确.
故选BCD.
6.(2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中)如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是( )
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】依题意，是两个单位向量，单位向量方向不一定相同，所以A选项结论错误.
单位向量的模为，所以，所以BD选项结论正确.
当时，，所以C选项结论错误.故选AC
7．(2022学年上海交通大学附属中学高一下学期线上教学反馈)点O在所在的平面内，则下列说法正确的是( )
A．若，则点O是的外心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
E．若，则点O是的内心
F．若，则点O是的垂心
【答案】BCDEF
【解析】对于A
设的中点为,则.
所以.
这就说明点共线,即点在边的中线上
同理,可以说明点在另外两边的中线上
所以为三角形的重心
故A错误
对于B
向量分别表示在边和上的单位向量, 设为和,
则它们的差是向是
则当 即时,点在的平分线上,
同理由 ,知点在的平分线上,
故为的内心
故B正确
对于C
由向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义可知表示以 、为邻边的平行四边形是菱形,
即 , 同理有,
所以为的外心
故C正确
对于D
由可得
所以，
即在边的垂线上
同理可证在边的垂线上
所以为三角形的垂心
故D正确
对于E
即
因为
所以
所以
故
因为与分别为和方向上的单位向量,
设, 则平分.
又、共线, 知平分.
同理可证平分, 平分,
所以O点是的内心.
故E正确
对于F
等价于
(设角，，的对边分别为,，)
(由三角形的高得到)
所以, 同理.
所以点是的垂心
故F正确
故选BCDEF
8. (2022学年江苏省淮安市淮安区高一下学期期中)如图，平面向量，的夹角是60°，||＝4，||＝2，平面内任意一点E关于点B对称点为F，点F关于点C的对称点为点G，则＝______．
【答案】
【解析】，
所以，
.
9.(2022学年浙江省A9协作体高一下学期期中联考)已知平面向量，，，满足，，，，则的最小值为________.
【答案】
【解析】因为，不妨设，因为，，不妨设
所以，因为，所以，，
故，
所以，当且仅当时等号成立，
所以
10. (2022学年河北省保定市部分学校高一下学期第二次月考)已知向量，，，则____________.
【答案】
【解析】因为，所以
，，所以.