新人教版高二暑期数学衔接第06讲空间向量及其运算讲义(学生版+解析)

这是一份新人教版高二暑期数学衔接第06讲空间向量及其运算讲义(学生版+解析)，共25页。学案主要包含了学习目标，基础知识，考点剖析，真题演练，过关检测等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式
3.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念
4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程
【基础知识】
一、空间向量的有关概念
1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.
2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
3.表示法
(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;
(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.
若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或.
【解读】
1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空
间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的
相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;
2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相
对应的概念完全相同;
3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来
解决;
4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.
二、空间向量的线性运算
【解读】
利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识.
三、向量共线定理
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
四、共面向量定理
1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一
的有序实数对(x,y),使p=xa
【解读】
1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.
2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A,B,C,可通过
证明下列结论来证明三点共线:
(1)存在实数λ,使成立;
(2)对空间任一点O,有(t∈R);
(3)对空间任一点O,有(x+y=1).
五、空间向量的数量积及运算律
1.数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2.空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【解读】
1.空间向量运算的两种方法
(1)利用定义:利用a·b=|a||b|cs〈a,b〉并结合运算律进行计算.
(2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代
入数量积公式进行运算.
2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入向量的数量积公式进行运算求解.
3.求空间两个向量的夹角的方法
(1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围;
(2)先求a·b,再利用公式求cs〈a,b〉,最后确定〈a,b〉.
4.求两条异面直线所成的角的步骤
(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量);
(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题;
(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值;
(4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加
上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小.
【考点剖析】
考点一：对空间向量有关概念的理解
例1．下列说法正确的是( )
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
考点二：空间向量的线性运算
例2．化简算式：______．
考点三：几何体中空间向量的线性运算
例3．(2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考)如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则( )
A．B．
C．D．
考点四：几何体中共线共面定理的应用
例4．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：
(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
(2)；
(3).
考点五：利用数量积公式进行计算
例5．(2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中)如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为( )
A．1B．C．D．
考点六：利用数量积公式求长度或距离
例6．(2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为( )
A．B．C．D．
【真题演练】
1. (2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二下学期期中联考)两个不同平面，的法向量分别为非零向量，，两条不同直线，的方向向量分别为非零向量，，则下列叙述不正确的是( )
A．的充要条件为
B．的充要条件为
C．的充要条件为存在实数使得
D．的充要条件为
2.(2022学年上海市控江中学高二下学期期中)下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是( )
A．B．
C．D．
3.(2022学年浙江省北斗联盟高二上学期中联考)在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且，若，则( )
A．B．C．D．
4.(多选)(2020-2021学年江苏省常州市第一中学高二下学期期中)已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( )
A．
B．
C．
D．
5.(多选)(2022学年辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高二上学期期中)已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则( )
A．
B．
C．
D．异面直线与所成角的余弦值为
6．(2022学年安徽省安庆市潜山第二中学高二上学期月考)在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______
7.(2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第二次学情调研)已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
8．(2022学年河北省唐山市第十一中学高二上学期期中)如图，在正方体中，化简下列向量表达式：
(1)；
(2)．.
【过关检测】
1. (2022学年江苏省连云港市赣榆区高二下学期期中)已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是( )
A．B．
C．D．
2.(2022学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中)已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则( )
A．B．C．D．
3. (2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中)设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，，，则、、三个向量( )
A．互不相等B．有且仅有两个相等C．都相等D．以上均有可能
4.(2022学年四川省雅安中学高二下学期3月月考)在正方体中，点P满足，且，若二面角的大小为，O为的中心，则( )
A．B．C．D．
5.(多选)(2022学年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期末)在长方体中，则( )
A．B．
C．D．
6．(2022学年广东省广州市增城区高二上学期期末)下列说法正确的是( )
A．设是两个空间向量，则一定共面
B．设是三个空间向量，则一定不共面
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
7.(2022学年河南省焦作市高二上学期期末)已知在四面体ABCD中，，，则______．
8. (2022学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.
9.(2019-2020学年北京大学附中石景山学校高二上学期期中)如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
10．(2022学年安徽省亳州市第一中学高二上学期10月质量检测)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)若三棱锥为棱长为2正四面体，求.
第06讲 空间向量及其运算
【学习目标】
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式
3.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念
4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程
【基础知识】
一、空间向量的有关概念
1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.
2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
3.表示法
(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;
(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.
若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或.
【解读】
1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空
间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的
相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;
2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相
对应的概念完全相同;
3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来
解决;
4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.
二、空间向量的线性运算
【解读】
利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识.
三、向量共线定理
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
四、共面向量定理
1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一
的有序实数对(x,y),使p=xa
【解读】
1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.
2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A,B,C,可通过
证明下列结论来证明三点共线:
(1)存在实数λ,使成立;
(2)对空间任一点O,有(t∈R);
(3)对空间任一点O,有(x+y=1).
五、空间向量的数量积及运算律
1.数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2.空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【解读】
1.空间向量运算的两种方法
(1)利用定义:利用a·b=|a||b|cs〈a,b〉并结合运算律进行计算.
(2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代
入数量积公式进行运算.
2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入向量的数量积公式进行运算求解.
3.求空间两个向量的夹角的方法
(1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围;
(2)先求a·b,再利用公式求cs〈a,b〉,最后确定〈a,b〉.
4.求两条异面直线所成的角的步骤
(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量);
(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题;
(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值;
(4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加
上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小.
【考点剖析】
考点一：对空间向量有关概念的理解
例1．下列说法正确的是( )
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】D
【解析】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选D.
考点二：空间向量的线性运算
例2．化简算式：______．
【答案】
【解析】由题意得.
考点三：几何体中空间向量的线性运算
例3．(2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考)如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，.
故选D
考点四：几何体中共线共面定理的应用
例4．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：
(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
(2)；
(3).
【解析】(1)因为，，
所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，
因为有公共点，有公共点，
所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面，
(2)因为
，
所以；
(3)
考点五：利用数量积公式进行计算
例5．(2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中)如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为( )
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，故.故选D.
考点六：利用数量积公式求长度或距离
例6．(2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
因为,
所以
，所以，故选C
【真题演练】
1. (2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二下学期期中联考)两个不同平面，的法向量分别为非零向量，，两条不同直线，的方向向量分别为非零向量，，则下列叙述不正确的是( )
A．的充要条件为
B．的充要条件为
C．的充要条件为存在实数使得
D．的充要条件为
【答案】D
【解析】选项A：.判断正确；
选项B：.判断正确；
选项C：存在实数使得.判断正确；
选项D：若，则有；若，则有或，
则是的充分不必要条件.判断错误.故选D
2.(2022学年上海市控江中学高二下学期期中)下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选D.
3.(2022学年浙江省北斗联盟高二上学期中联考)在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以
所以,
因为，，
所以，
所以，解得，故选D
4.(多选)(2020-2021学年江苏省常州市第一中学高二下学期期中)已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由题可知，可做如图所示的长方体，设.
，
，故A正确；
，故B正确；
∵平面，∴，，∴，但无法判断AE和BC是否垂直，故C不一定正确；
由图易知，故＝0，故D正确.
故选ABD．
5.(多选)(2022学年辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高二上学期期中)已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则( )
A．
B．
C．
D．异面直线与所成角的余弦值为
【答案】BD
【解析】设，，，则，，，
，，，
，，
所以．故选BD.
6．(2022学年安徽省安庆市潜山第二中学高二上学期月考)在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______
【答案】
【解析】画出对应的正四面体，则
.
7.(2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第二次学情调研)已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
【答案】
【解析】
根据题意为正四面体，
两两成角，
所以，
，
所以
.
8．(2022学年河北省唐山市第十一中学高二上学期期中)如图，在正方体中，化简下列向量表达式：
(1)；
(2)．
【解析】 (1)依题意.
(2)依题意.
【过关检测】
1. (2022学年江苏省连云港市赣榆区高二下学期期中)已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，
若点与点共面，
则，
对于选项A：，不满足题意；
对于选项B：，不满足题意；
对于选项C：，不满足题意；
对于选项D：，满足题意.故选D.
2.(2022学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中)已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
，由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线
可得，解之得，故选D
3. (2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中)设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，，，则、、三个向量( )
A．互不相等B．有且仅有两个相等C．都相等D．以上均有可能
【答案】B
【解析】，，
若，则，即，则B，C重合，于是A、B、C、D共面，矛盾，
所以，即、、三个向量有且仅有两个相等，故选B
4.(2022学年四川省雅安中学高二下学期3月月考)在正方体中，点P满足，且，若二面角的大小为，O为的中心，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正方体中心为，因为点P满足，且
所以平面，平面平面，由正方体性质平面，且平面，所以作于Q，连，
面，则即为的平面角，所以．
设正方体棱长为1，中，，
则，在中，，
所以．故选D.
5.(多选)(2022学年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期末)在长方体中，则( )
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】如图：
对A，，正确；
对B，，正确；
对C，，错误；
对D，，错误.
故选AB.
6．(2022学年广东省广州市增城区高二上学期期末)下列说法正确的是( )
A．设是两个空间向量，则一定共面
B．设是三个空间向量，则一定不共面
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
【答案】AC
【解析】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确；
对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误；
对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确；
对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误．
故选AC．
7.(2022学年河南省焦作市高二上学期期末)已知在四面体ABCD中，，，则______．
【答案】24
【解析】由题设，可得如下四面体示意图，
则，
又，，
所以.
8. (2022学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.
【答案】
【解析】因为
所以
，即
9.(2019-2020学年北京大学附中石景山学校高二上学期期中)如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
【解析】 (1)解：∵，
，
∴.
(2)解：由(1)可知，，
∴向量与向量，共面.
10．(2022学年安徽省亳州市第一中学高二上学期10月质量检测)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)若三棱锥为棱长为2正四面体，求.
【解析】 (1) ，，，所以，所以，，三个向量共面.
(2) .
又因为三棱锥为棱长为2正四面体，所以、、之间的夹角均为.
所以.