2024年广东省广州市九年级中考数学模拟试卷

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1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
3.不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
，
故选A
4. 某校为增强学生的爱国意识，特开展中国传统文化知识竞赛，九年级共30人参加竞赛
得分情况如下表所示，则这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．94分，96分B．95分，96分C．96分，96分D．96分，100分
【答案】B
【分析】根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．
【详解】解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是94，96，
∴中位数是；
由统计表得数据96出现的次数最多，
∴众数为96．
故选：B．
5. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，
并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，
若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：依题意，，根据物距为，像距为，得，即可作答．
【详解】解：如图：
依题意，
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故选：A
6. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）

A．70°B．65°C．60°D．50°
【答案】A
【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
点，，，在反比例函数图象上，
则，，，中最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解．
【详解】解：由反比例函数解析式可知：，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，，在反比例函数图象上，
∴，
故选D．
8. 如图，有圆O，内部有四边形，连接和，
已知是的角平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，由圆内接四边形的性质，得到，求出，由角平分线的定义得到，而，推出是等边三角形，因此，关键是由圆内接四边形的性质求出．
【详解】
解：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
．
故选：B．
9. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
10 .边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，
连接CF交BD于H，则下列结论：
①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，
其中正确的是（ ）

A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】①由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得；
②通过证明，可得；
③通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论；
④通过证明，可得，即可求解．
【详解】如图，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
又，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，故④正确，
故选：．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11 .5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．
用科学记数法表示1300000是_________
【答案】
【分析】本题考查科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵，
故答案为：
【点睛】考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
12 .因式分解： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
13 .在不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外其它完全相同，
从中随机摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，那么白色棋子的个数是 ．
【答案】
【分析】设白色棋子的个数为x，利用概率公式得到
【详解】解：设白色棋子的个数为x，
根据题意得
解得x=8，
即白色棋子的个数为8．
故答案为8．
如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为 （结果保留）．

【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
15 .我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，
用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，
它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，
小正方形的面积是4，那么________．

【答案】##0.75
【解析】
【分析】根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题．
【详解】解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴．
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴，
设，
则，
由勾股定理得，，
解得或（负值舍去），
∴，，
∴．
故答案：．
16. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于______

解：过点P作，垂足为G、H，

由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：20
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先去绝对值，计算负整数指数幂，化最简二次根式，计算特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）分别解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其公共解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：
∴原不等式组的解集为．
18. 先化简，再求值：，其中是方程的实数根.
【答案】，.
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可．
【详解】

∵是方程的实数根，（若解一元二次方程步骤适当得步骤分）
∴.
当时，原式.
当时，原式.
19 .中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》
是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．
某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，
就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，
根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，
请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
20．如图，在菱形中，于点，于点，连接

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明．
（2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：菱形，
，
又，
．
在和中，
，
．
．
【小问2详解】
解：菱形，
，
，
．
又，
．
由（1）知，
．
．
，
等边三角形．
．
某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表，
用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）
求真丝衬衣进价a的值．
若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，
真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？
最大利润是多少元？
【答案】(1)260；
(2)当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
【分析】（1）利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：的值为260．
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，
依题意得：，
解得：．
设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一点，F为的中点，过点F作AE的垂线，垂足为C，
交AB的延长线于点D，连接AF．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)若BD＝2，，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接OF，先证∠OAF=∠OFA，∠CAF=∠BAF，得到∠CAF=∠OFA，则，再由AC⊥CD，得到OF⊥CD，由此即可证明；
（2）先解直角三角形得到OB=OF=4，则AB=8，OD=6，AD=10，再证△ODF∽△ADC，得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，连接OF，
∵OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，
∵F为的中点，
∴，
∴∠EAF=∠BAF，
∴∠EAF=∠OFA，
∴，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
又∵OF是圆O的半径，
∴直线CD是圆O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，，OB=OF，BD=2，
∴，
∴OB=OF=4，
∴AB=8，OD=6，
∴AD=10，
∵，
∴△ODF∽△ADC，
∴，
∴，
∴．
如图，在平面直角坐标系中，⊙与轴的正半轴交于两点，与轴的正半轴相切于点，
连接，已知⊙半径为2，，双曲线经过圆心．

（1）求双曲线的解析式；（2）求直线的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先求出，再判断出四边形是矩形，得出，进而求出点的坐标，即可得出结论；
（2）先求出点的坐标，再用三角函数求出，进而求出点的坐标，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，过点作轴于，
∴，
∵⊙切轴于，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵双曲线经过圆心，
∴，
∴双曲线的解析式为；
（2）如图，过点作直线，
由（1）知，四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
24. 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，
试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，
如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= ．

【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3
【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；
②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证∽即可得；
（3）证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值．
【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=、=，
∴=，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；
（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC=CD=AD=a，则AC=a，
则由得，
∴AH=a，
则DH=AD﹣AH=a，CH==a，
∴由得，
解得：a=3，即BC=3，
故答案为3．
25. 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
（1）若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
（2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【答案】（1）①；②点M的坐标为，点G的坐标为；
（2）点和点；
【解析】
【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；
（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【小问1详解】
①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
【小问2详解】
由（1）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：
得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
成绩/分
90
92
94
96
100
人数/人
2
4
9
10
5
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100