2024年广东省广州市中考数学模拟预测试题（解析版）

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一．选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射成功，与距地约400000米的空间站核心舱成功对接，
数据400000用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，
其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据400000用科学记数法可表示为，
故选：A．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
2.下列式子计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式和平方差公式，根据相关运算法则逐项计算即可得出答案．
【详解】解：A，，计算错误，不合题意；
B，，计算错误，不合题意；
C，，计算错误，不合题意；
D，，计算正确，符合题意；
故选D．
3. 已知，在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是( )

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图中的点的位置即可确定、的正负，即可判断．
【详解】由图可知，为正，为负，且距离原点的距离比距离原点的距离更远，
∴、，故此选项错误，
、，故此选项错误，
、，故此选项正确，
、，故此选项错误，
故选：．
4. 方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．先去分母，转化整式方程，再求解，检验即可．
【详解】解：，
去括号得，
解得：，
经检验：是原方程的根，
故选：A．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、整式加减运算、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、整式加减运算、积的乘方、同底数幂除法逐项判断即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
6. 在四边形中，，，如果再添加一个条件，可得出四边形是矩形，那么这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．根据“有一个是直角的平行四边形是矩形”可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
若添加，则该四边形是矩形．
故选：D．
7. 已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把点代入求出a即可得到抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式，再确定其与y轴的交点坐标即可．
【详解】解：由已知条件可得抛物线的顶点坐标为，可设解析式为，
代入点，得．
所以该二次函数的解析式为，
化成一般式为．
当时，，
所以，抛物线与y轴的交点坐标为，
故选：C．
8. 如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正切的定义、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解题的关键．
根据矩形的性质和勾股定理可得、，再结合旋转的性质可得，易证，运用相似三角形的性质列比例式可得，最后根据正切的定义即可解答．
【详解】解：∵在矩形中，，，
∴，，
∴，，
∵将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∴
故选B．
9. 如图，中，，是的内切圆，切点分别为点D、E、F，，则劣弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查切线长性质、弧长公式．根据切线的性质证明四边形为正方形，再弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，
在四边形中，，
四边形为矩形．
又因为，
四边形为正方形．
则，，
劣弧的长是．
故选：A．
10. 如图，面积为2的矩形在第一象限，与x轴平行，反比例函数经过B、D两点，直线所在直线与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段的三等分点，则b的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据B、D为线段的三等分点，的面积为2，可求出反比例函数的关系式，确定k的值，再利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标，及的面积即可求出b的值．
【详解】解：延长交x轴于点Q、P，延长交y轴于点M、N，

∵B、D为线段的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∴，
∵一次函数的关系式为，即：，
由题意得的面积为，
∴，
解得:（舍去），
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可求出的取值范围．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件．
12. 方程的解是______
【答案】0或3
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法解题的关键是掌握因式分解法解方程，属于中考常考题型；
提公因式法因式分解，可得结论；
【详解】解：∵
或
故答案为：0或3．
13. 如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是_______cm．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成为解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长公式可得、、即，然后将整体代入即可解答．
【详解】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
∴，即，
∴，即
∴．
故答案为：8．
14. 关于x的方程无解，则反比例函数图象在第_______象限．
【答案】一、三
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得，再判断反比例函数图象所在象限即可．
【详解】解：∵关于x的方程无解，
∴，
解得，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
故答案为：一、三．
15. 如图，D、E分别是上两点，点A与点关于轴对称，，，，则_______．
【答案】122°##122度
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
先说明和关于轴对称可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到，再根据三角形内角和定理可得，最后运用平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵点A与点关于轴对称，
∴和关于轴对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴．
故答案为：122°．
16. 如图，在矩形中，，，点E是上一个点，连接，，若绕点O顺时针旋转，旋转角为，点E对应点G，点C对应点F．①当时，等于_______°时，；②当且长度最大时，的长度为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，旋转的性质．先求得是等边三角形，再求得，，根据全等三角形的性质可求得第一问；当点G在线段上时，长度最大，画出图形，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴等于时，；
当点G在线段上时，长度最大，如图，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法进行求解即可得．
【详解】解：，
②﹣①得：x=6，
把x=6代入①得：y=4，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18. 如图，和相交于点O，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
由平行线的性质先得到，继而利用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论.
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴．
19. 已知
（1）化简P；
（2）若，且点在第二象限，求P的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，点的坐标．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果；
（2）根据点的位置，求得，，推出，求得，据此求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：∵点在第二象限，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 某校组织学生参加“亲子共劳”的主题实践活动，为了解学生参与本次活动的情况，随机抽取本校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生，并补全条形统计图．
（2）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．
【答案】（1）200，60，补全条形统计图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列表法求概率等知识点，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键．
（1）由做饭的人数及其所占百分比即可求得调查学生数，利用总人数减去其他的人数即可求得扫地人数，然后补全统计图即可；
（2）先列表画求出所有可能结果数和甲、乙两人同时被抽中的情况数，然后运用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：本次共调查学生数为：（名），
扫地人数为（名），
故答案为200，60．
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：根据题意列表如下：
由列表可知共有12种可能出现的结果，其中甲、乙同时被抽中的有2种，所以甲、乙同时被抽中的概率为．
答：甲、乙两人同时被抽中的概率为．
21. 某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】（1）A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）最多购置100个A玩具．
【解析】
【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；
解得：，
则B玩具单价（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
【小问2详解】
设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，
解得：，
∴最多购置100个A玩具．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．
22. 如图，内接于，为直径．
（1）尺规作图：作交于点D、交于点E．（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，见解析
【解析】
【分析】（1）作，得到即可；
（2）证明，得到，由，得到，据此即可证明四边形是菱形．
【小问1详解】
解：如图，即为所作，
；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
由作图知，，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，尺规作图．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【小问1详解】
解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
【小问3详解】
解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
24. 已知抛物线，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为．
（1）若抛物线过点A，求抛物线解析式；
（2）若抛物线与直线只有一个交点，求a的值．
（3）把抛物线沿直线方向平移个单位（规定：射线方向为正方向）得到抛物线，若对于抛物线，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2）或；
（3）时，．
【解析】
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数图像的平移等知识点，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
（1）把A点坐标代入解析式求出a的值即可；
（2）首先确定抛物线的对称轴为直线，顶点为，再分和两种情况分别画出图形分析即可解答；
（3）先求出，即可求得水平方向和垂直方向的平移距离，然后求得新的抛物线的对称轴，然后再分和两种情况，分别运用抛物线的增减性即可解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点A，点A坐标，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为．
故答案为：．
【小问2详解】
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴是：直线，顶点为，
∵点A坐标为，
∴线段为，
抛物线与线段只有一个交点分两种情况：
①当，如答图1：由（1）知当抛物线过点A时，，
由图可知当变大，抛物线开口变小，抛物线过点；线段始终与抛物线有一个交点，
所以当时，a越大抛物线开口越小，故，
②若，如答图2，对称轴与线段交于点B，
在中令，得，即，
当抛物线顶点在线段上恰好有一个交点，即解得，
综上所述，抛物线C1与线段只有一个交点，或．
【小问3详解】
解：∵，
∴,
∴抛物线沿直线方向平移t个单位相当于水平移动了个单位再竖直方向移动了个单位，
∴抛物线的对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，分两种情况：
①时，对称轴为直线或在直线左侧，
∴得，不符合题意；
②时，对称轴为直线或在直线右侧，
∴得；
综上：当时，符合题意．
25. 如图，在菱形中，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接．
（1）当平分时，的度数为_______．
（2）延长，交射线于点G，当时，求的长．
（3）连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）8
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得，由角平分线的性质可得，即，最后结合即可解答；
（2如图：过E作于其延长上点H，延长交于M设，连接；由折叠的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点可得；再说明，根据直角三角形的性质及勾股定理可得，、，然后证明，根据相似三角形的性质列式计算可得，最后根据线段的和差即可解得；
（3）如图：过B作，根据菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理可得；如图：过B作交延长线于F，可得；再证明四边形是平行四边形可得、，再证明易得，即，然后求得的最小值即可．
【小问1详解】
解：∵边关于对称的线段为，
∴，
∵边关于对称的线段为，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图：过E作于其延长上点H，延长交于M
设，连接
由轴对称的性质可得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵
∴即
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图：过B作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
如图：过B作交延长线于F，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
当D、E、F三点不共线时，，
当D、E、F三点共线时，，
∴，即，
∴的最小值为8．
第二人 第一人
甲
乙
丙
丁
甲
乙甲
丙甲
丁甲
乙
甲乙
丙乙
丁乙
丙
甲丙
乙丙
丁丙
丁
甲丁
乙丁
丙丁