2024年山东省泰安市岱岳区中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数：，，，，其中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键．计算零指数幂和绝对值后，根据正数比负数大，正数比0大，负数比0小，两个负数中，绝对值大的反而小解答即可．
【详解】解：，
∵
∴
∴比小数为，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式、负整数指数幂，运用法则计算后即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
3. 某种病毒的直径达0.0000002，由于它的块头较大，难以附着在空气中的粉尘上，因此不会通过空气传播．0.0000002用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定
4. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【详解】解：A．此图案中心对称图形，符合题意；
B．此图案不是中心对称图形，不合题意；
C．此图案不是中心对称图形，不合题意；
D．此图案不是中心对称图形，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
5. 如图，已知，晓玉把三角板的直角顶点放在直线b上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质，结合即可得出答案．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
6. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ）

A. 最高成绩是9.4环B. 平均成绩是9环
C. 这组成绩的众数是9环D. 这组成绩的方差是8.7
【答案】D
【解析】
【分析】根据统计图即可判断选项A，根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B，根据统计图即可判断选项C，根据所给数据进行计算即可判断选项D．
【详解】解：A、由统计图得，最高成绩是9.4环，选项说法正确，不符合题意；
B、平均成绩：，选项说法正确，符合题意；
C、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，选项说法正确，不符合题意；
D、方差：，选项说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平均数，众数，方差，解题的关键是理解题意掌握平均数，众数和方差的计算方法．
7. 如图，均为直径，点是圆上两点，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC=2∠CDB=56°，可推出∠AOC=124°，即可推出∠E．
【详解】∵，
∴∠BOC=2∠CDB=56°，
∴∠AOC=124°，
∵
∴∠E=∠AOC=62°，
故选：A．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握知识点是解题关键．
8. 已知二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数的图像性质分析a，b，c的符号，从而判断bc和abc的符号，然后结合反比例函数和一次函数图像性质进行判断即可．
【详解】解：由题意可知，二次函数开口向上，∴a＞0
由二次函数对称轴在y轴右侧，∴b<0
由二次函数与y轴交于原点上方，∴c＞0
∴bc<0，abc<0
∴一次函数图像经过一、三、四象限，反比例函数图像经过二四象限
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图像性质，掌握函数图像性质，利用数形结合思想解题是关键．
9. 如图，矩形ABCD中，,以AB为直径作，与CD相交于E,F两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OF、OE，过点O作OH⊥CD于点H，利用勾股定理求出FH=1，得到∠FOH=45°，根据等腰三角形的三线合一的性质得到EF=2FH=2，∠EOF=90°，再利用扇形EOF的面积减去△EOF的面积即可得到答案.
【详解】如图，连接OF、OE，过点O作OH⊥CD于点H，
∵OF=AB=，OH=BC=1，∠OHF=90°，
∴，
∴FH=OH,
∴∠FOH=45°，
∵OF=OE，
∴EF=2FH=2，∠EOF=90°，
∴阴影部分的面积是.
故选：D
【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一的性质，扇形的面积公式，熟记弓形面积的计算方法：扇形面积减去三角形的面积，是解题的关键.
10. 在我国古代数学巨著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．根据题意列出方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，，
故选C．
11. 如图，在中， ，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点P，连结并延长，交BC于点D．有下列说法：①线段是的平分线；②；③点D到边的距离与的长相等；④与的面积之比是．其中结论正确的是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】由基本作图可对①进行判断；线求出，再利用角平分线的定义计算出，则，于是可对②进行判断；根据角平分线的性质可对③进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
【详解】由作法得平分，故①正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵平分，，
∴点D到边的距离与的长相等，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故④不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，

设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且．
故答案为：且
14. 如图，CD是的切线，点C在直径的延长线上，若，，______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握弦切角定理是解题的关键．
根据切线的性质得到证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵是直径，
∴，即：
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：2．
15. 将抛物线先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点，则新抛物线与y轴交点的坐标______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键．
设平移后新抛物线的表达式为，把点代入，即可确定函数关系式，再将代入函数关系式求解，即可．
【详解】设平移后新抛物线的表达式为，
∵新抛物线经过点，
∴，
解得：，，
∴新抛物线的表达式为：，或，
将代入，
得：；
将代入，
得：，
∴与y轴的交点坐标为，或．
故答案为：或．
16. 如图，海中一渔船在A处于小岛C相距70海里，若该渔船由西向东航行30海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上，则该渔船此时与小岛C之间的距离是__海里．
【答案】50
【解析】
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得∠BCD＝30°，设BC＝x，解直角三角形即可得到BD＝BC•sin30°＝x、CD＝BC•cs30°＝x、AD＝30＋x，根据“AD2＋CD2＝AC2”列方程求解可得．
【详解】过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得∠BCD＝30°，设BC＝x，
在Rt△BCD中，BD＝BC•sin30°＝x，CD＝BC•cs30°＝x；
∴AD＝30＋x，
∵AD2＋CD2＝AC2，
∴（30＋x）2＋（x）2＝702，
解得：x＝50（负值舍去），
即渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
故答案为：50．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．
17. 将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形，点A、C、D的对应点分别为、、．如图，当过点C时，若，，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质．连接，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：如图，连接，
由题意得，，，
由勾股定理得，，
，
由勾股定理得，，
，，，
，
，即，
解得，．
故答案为：．
18. 将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
【答案】
【解析】
【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．
【详解】第1行的第一个数字：
第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字：
第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字：
…..，
设第行的第一个数字为，得
设第行的第一个数字为，得
设第n行，从左到右第m个数为
当时
∴
∵为整数
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19. （1）化简：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先把小括号内的分式通分后，再把除法转化为乘法，约分后即可把分式化为最简；
（2）先去掉不等式中的分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后化系数为1即可求出不等式的解．
【详解】（1）解：
（2）解：不等式两边都乘以12，得
即
解得
∴原不等式的解集是．
【点睛】第（1）题考查了分式的化简，熟练运用分式的运算法则是解决问题的关键；第（2）题考查了一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的一般步骤是解决问题的关键．
20. 泰安市高中招生体育考试前教育局为了解全市九年级男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分九年级男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、排球；B、立定跳远：C、1000米跑：D．篮球；E足球．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市九年级毕业学生中有35000名男生，试估计全市九年级男生中选“篮球”的人数有多少人？
（3）甲、乙两名九年级男生在上述五个项目中各选一项，正好一人选篮球．一人选立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
【答案】（1）条形统计图补充完整见解析
（2）估计全市九年级男生中选“篮球”的人数有7000人
（3）正好一人选篮球，一人选立定跳远的概率为，共有25种等可能结果，说明见解析
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．额考查了统计图．
（1）用A类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出B类人数后补全条件统计图；
（2）用35000乘以样本中D类人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有25种等可能情况，找出正好一人选篮球．一人选立定跳远的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：（人），
调查的总人数为1000人，
B类人数为（人），
条形统计图补充为：
【小问2详解】
解：（人），
所以估计全市九年级男生中选“篮球”的人数有7000人：
【小问3详解】
解：画树状图为：
共有25种等可能情况，其中正好一人选篮球．一人选立定跳远的结果数为2，
所以正好一人选篮球，一人选立定跳远的概率．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．
（1）_________，_________；
（2）连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】（1）4，2 （2）点坐标为、
【解析】
【分析】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案；
对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可．
【小问1详解】
将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得
，
解得，
一次函数的关系式为；
将点A（1，4）代入反比例函数，得
，
反比例函数的关系式为．
故答案为：4，2；
【小问2详解】
点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）．
当x=0时，y=2，
∴点B（0，2），
∴OB=2．
根据勾股定理可知．
当点落在轴的正半轴上，则，
∴与不可能相似．
当点落在轴负半轴上，
若，
则.
∵，
∴，
∴；
若，则．
∵，，
∴，
∴．
综上所述：点的坐标为、．
【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性质和判定等．
22. 某商店要运一批货物，租用甲、乙两车运送．若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元，若甲、乙两车单独运完这批货物，则乙车所运趟数是甲车的2倍；且乙车每趟运费比甲车少100元．若单独租用一辆车运送货物，租用哪一辆车运完此批货物支出的总费用较少？总费用是多少？
【答案】单独租用甲车运完此批货物，支出的总费用较少，总费用是4500元
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
设乙车每趟的运费为x元，则甲车每趟的运费为元，根据两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元，列出方程求解，设单独租用甲车需y趟才能运完，则单独租用乙车需要2y趟才能运完，根据两车合作，各运12趟才能完成，列出分式方程，进行求解，再求出各自需要的费用，比较即可．
【详解】解：设乙车每趟的运费为x元，则甲车每趟的运费为元，
依题意，得：，
解得：，
∴．
设单独租用甲车需y趟才能运完，则单独租用乙车需要2y趟才能运完，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
单独租用甲车所需总费用为（元），
单独租用乙车所需总费用为（元）．
∵，
∴单独租用甲车运完此批货物，支出的总费用较少，总费用是4500元．
23. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）过E作于M，于N，证明，推出四边形是矩形，证明，得到，即可得证；
（2）设，则，三线合一求出，进而推出，得到，求出的值，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：过E作于M，于N，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
又四边形是矩形，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：设，则．
由①知：
∴，
∵四边形是正形
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24. 解答
（1）问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
（2）类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．
【答案】（1） ①. ②.
（2），，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质可得，可得，通过证明，可得的值；
（2）先证明，再证明，可得的值，得到，即可求的度数；
（3）分点在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长．
【小问1详解】
解：，，
，
，
且，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
，，
，，
，，
，
，
，且，
，
，
，
．
【小问3详解】
若点在线段上，如图，
由上一问可知：，，
，
，，，
，，
，且点是的中点，
，且是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
若点在线段的延长线上，如图，
同理可得，，
，
，
，
，
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查了相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点和点．与y轴交于点C，D是线段上一点．
（1）求这条抛物线的表达式．
（2）如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求D的坐标；
（3）点P为该抛物线上第一象限内一点，当，且时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设，则，运用待定系数法求出直线的解析式，设直线与x轴交于点E，求得点E的坐标，由知，由此可列出关于m的方程，求出m的值即可；
（3）利用求出，利用求出，直线的表达式，设点，由求出，得点，求出直线的表达式，联立方程组，即可求出点P的坐标．
【小问1详解】
解：抛物线的图象与x轴交于点和点，
把点和点代入得，
，
解得，，
所以，设抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：设，则，
对于，当时，
∴点C的坐标为
延长交轴于点，如图，
设直线的解析式为
把，代入得，
，
∴，即，
∵
∴
∴直线的解析式为
当时，，
∴，
∴，
∵轴，，
∴
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，但时，点D与点B重合，不符合题意，舍去，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴
∴，
过点A作于点H，设交于点N，
而，
即
则，
∵，即，
则，
设直线的表达式为，
把代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设点，
则，
解得：（舍去）或，
则点，
设直线表达式为，
把，代入得，
解得，，
∴直线的表达式为，
联立方程组，
解得，，（舍去）
∴点．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．