2023年山东省泰安市岱岳区中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市岱岳区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.  

3.  今年五一假期，游客出游热情不减，从泰安市假日旅游指挥部了解到，月日时至月日时，泰安市纳入抽样调查统计的级旅游景区、新业态旅游景区、乡村旅游区点、红色旅游景区等家旅游景区、景点共接待游客万人次，同比增长，将万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将一副三角板的直角顶点重合按如图方式放置，其中，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如表是抽查的某班名同学中考体育测试成绩统计表中位数是，众数是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

8.  如图，是的直径，，是上的点，，过点作的切线交的延长线于点，若，则的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是(    )

 

A.  B.
C. ≌ D.

11.  如图所示，菱形中，，点，分别为边、上的点，且，连接，交于点，连接交于点，则下列结论：≌；；；其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12.  在平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，是等边三角形，是边上动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，的面积为，的中点为，当点在边上运动时，线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  ______ ．

14.  如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，过上一点作，与相交于点，，则 ______ ．

15.  已知抛物线如图所示，它与轴的两交点的横坐标分别是，．
对于下列结论：
；
方程的根是，；
；
当时，随着的增大而增大．
其中正确的结论是______填写结论的序号．

16.  如图，边长为的正方形中心与半径为的的圆心重合，、分别是、的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是______结果保留

17.  一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间如图，已知，，，为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，李明很快就知道了砌墙所用砖块的厚度每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计为______ ．

18.  如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，，则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
化简分式：；
解不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来．

20.  本小题分
“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：

本次参与问卷调查的初中生共有______人，将条形统计图补充完整；
扇形统计图中“合格”所对应的百分比为______，“较差”所对应的圆心角度数为______度；
该校某班有名同学名男同学、名女同学在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这名同学中随机选取名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的概率．

21.  本小题分
某超市预测某饮料有发展前途，用元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的倍，但单价比第一批贵元．
第一批饮料进货单价多少元？
若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于元，那么销售单价至少为多少元？

22.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点过点作轴于点，，，连接，已知的面积等于．
求一次函数和反比例函数的解析式；
若点是点关于轴的对称点，求的面积．

23.  本小题分
在中，，，于点．
如图，点，分别在，上，且，求证：；
如图，点在的延长线上，点在上，且，求证：．

 

24.  本小题分
如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
求抛物线的解析式；
抛物线顶点为，直线交轴于点；
设点为线段上一点点不与、两点重合，过点作轴的垂线与抛物线交于点，求面积的最大值；
在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
在和中，点在上，，，，，连接．
特例发现：如图，当时求证：．
探究证明：如图，当时判断与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：若，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，的相反数是，
故选：．
根据相反数定义直接求值即可得到答案．
本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将万用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要用原数的整数位数减，由此即可解答．
本题主要考查了用科学记数法的知识，正确确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
依据平行线的性质，即可得到，再根据三角形外角的性质得到，计算即可．
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是运用两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：中位数，众数，
，
故选：．
利用中位数及众数的定义求得和的值，从而求得的值即可．
本题考查了众数及中位数的定义，求得、的值是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当，即时，此方程为一元二次方程．
关于的方程有实数根，
，
解得；
当，即时，方程为，显然有解；
综上，的取值范围是，
故选：．
分和两种情况，利用根的判别式求解可得．
本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
为的切线，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是的直径，平分，
，，
，
，
，
，
，选项A成立；
，选项B成立；
，选项D成立；
和中，没有相等的边，
与不全等，选项C不成立．
故选C．
本题主要考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，以及角的平分线．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
，
即是等边三角形，
同理：是等边三角形
，
在和中，
，
≌；
，，
，
，
故正确，正确；
，
点，，，四点共圆，
，，
，
∽，
，
故正确；
，，
∽，
，
，
，
故正确；
故选：．
由菱形中，，易证得是等边三角形，则可得，由即可证得≌，可得，，由外角性质可得，可判断，由点，，，四点共圆，可得，，可证∽，可判断，通过证明∽，可得，，可得，可判断，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
点的运动轨迹为过点平行于轴的线段，
时，最小，，
，为线段的中点，
，
设，则，，
由勾股定理可得，
，
解得，
即，
线段的最小值为．
故选：．
证明≌，由全等三角形的性质得出，，则点的运动轨迹为过点平行于轴的线段，得出当时，最小，，由勾股定理可求出答案．
此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是确定点的运动轨迹．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
根据二次根式的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
由题意可知：平分，
．
故答案为：．
通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．
本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于正半轴，
，，，
，故错误；
抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，．
方程的根是，，故正确；
当时，，
，故正确；
抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向下，
当时，随着的增大而增大，故正确；
故答案为：．
由抛物线开口方向，对称轴，以及与轴的交点即可判断；根据抛物线与轴的交点即可判断；根据图形即可判断；求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断．
此题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长，交于，则被分成个部分，其中个部分是全等图形，

图中阴影部分的面积．
故答案为：．
证明阴影部分的面积，可得结论．
本题考查正方形是性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用全等图形解决问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
设砌墙砖块的厚度为，则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
在中，
，
，
解得；或舍去，
故答案为：．
首先证明≌，进而利用勾股定理，在中，，求出即可．
此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，得出，是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：第一次，
第二次，
第三次，
第四次，
第五次，

发现点的位置次一个循环，
，
的纵坐标与相同为，横坐标为，
，
故答案为．
首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
本题考查坐标与图形的旋转、规律型：点的坐标等知识，学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：



；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集为．
其解集在数轴上表示如下所示：
． 

【解析】根据分式的混合运算法则求解即可；
分别求出每个不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可．
本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
抽取的学生中良好的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：

故答案为：；

扇形统计图中“合格”所对应的百分比为：；
“较差”所对应的圆心角度数为．
故答案为：，；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的结果有个，
则所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的概率为．
根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出良好的人数，再将条形统计图补充完整即可；
用合格的人数除以总人数求出合格的人数，用乘以“较差”的人数所占的百分比求出“较差”所对应的圆心角度数；
画树状图，共有个等可能的结果，所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图和条形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价为元．
设销售单价为元，
则第一批进货数量为：瓶，
第二次进货数量为：瓶，
根据题意得：，
解得：．
答：销售单价至少为元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，根据数量总价单价结合第二批饮料的数量是第一批的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设销售单价为元，根据获利不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值，即可得出结论．
 

22.【答案】解：轴于点，设，
，
，
，
，
连接，
轴，
，
，
，
将代入，得，
反比例函数解析式为；
，
在中，，
，
将点，点代入，可得
，
，
一次函数解析式为；

点是点关于轴的对称点，
，
，
解方程组，
得 或，
，
． 

【解析】依据，可得，将代入，得，即可得到反比例函数解析式为；将点，点代入，可得一次函数解析式为；
依据，可得，解方程组，即可得到，进而得出的面积．
本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，
，
，
，，，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
；
如图，过点作，交的延长线于点，

，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】先判断出，进而得出，再判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
先判断出，进而判断出，判断出≌，即可判断出，再判断出，即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出≌是解的关键，构造出全等三角形是解的关键．
 

24.【答案】解：抛物线对称轴为直线，
由对称轴公式得，
，
抛物线解析式为，
点坐标为．
，
点坐标为，代入得，
，
或舍去，
抛物线解析式为；

抛物线解析式，
当时，有最小值，
顶点坐标为．
在中，令得，，
解得，，
，，
，，
直线解析式为，．
轴，
设点坐标为，则，
，
的面积，
，
当时，；

存在，设，
，
，
，
解得，舍去或，
 

【解析】应用对称轴方程，求，再根据，得点坐标为，代入抛物线解析式，可求；
设出点坐标，用含的代数式表示面积，利用二次函数求最值的方法，求最大值；
设，根据，构建方程求解．
本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及相似三角形的相关知识．学会构建方程，将问题转化，是解此题的关键．
 

25.【答案】证明：当时，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
即，
≌，
；
解：，理由如下：
，，，，
，，
∽，
，
，
，
即，
∽，
，
；
解：由可知，，∽，
，，
，
，
，
，，
，
如图，过作于点，

则四边形是矩形，
，
，，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：负值已舍去，
，，
由可知，，
，
解得：，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为． 

【解析】证是等边三角形，得，再证是等边三角形，得，，然后证≌，即可得出结论；
证∽，得，再证∽，得，即可得出结论；
由相似三角形的性质得，，再证，，过作于点，则四边形是矩形，得，再由等腰三角形的性质得，设，则，，然后由勾股定理求出，则，，进而求出，最好由勾股定理求出，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．