2023-2024学年江苏省南通市海安中学七下数学第九周周末强化训练（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安中学七下数学第九周周末强化训练（含答案），共19页。

2．若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则2x2﹣2x+2023＝ ．
3．如图，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值是 ．
4．把化成循环小数时，小数点后第2023位是 ．
5．时针与分针在9点 分第一次重合．
6．同学们去春游，若每辆车坐26人，则有6人没上车，若每辆车坐30人，则可少用一辆车且刚好坐满，这次春游的同学总共 人．
7．如图，一个圆柱形钢化玻璃容器的底面半径是10cm，把一块铁块从这个容器的水中取出后，水面下降2cm，则这块铁块的体积是 cm3．
8．如图，把一个圆沿半径剪开，平均分成8等分，拼成一个近似的长方形，此时长方形的周长比圆的周长大8厘米，则这个圆的周长是 厘米（结果保留π）．
9．小明小学毕业后往A、B、C、D四个城市旅游，他今天在这个城市，明天就去到另外一个城市，如果他第一天在A市，第五天又回到A市，他的旅游路线共有 种不同的方案．
10．A，B两地相距4800米，甲从A地出发，以每分钟60米的速度步行去B地，15分钟后，乙从A地出发，以每分钟240米的速度骑自行车去B地，乙在途中C地第一次追上甲．乙到达B地后又立即返回在D地与甲迎面相遇．那么C，D两地相距 米．
11．自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积abcde＝2000，则其和a+b+c+d+e的最大值和最小值的差为 ．
12．将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比是5：4：3，实际上，甲、乙、丙人所得糖果数的比为7：6：5，其中一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友实际所得的糖果数为 块．
13．比较A、B、C三个数的大小： ＜ ＜ .（填字母A、B、C即可）
；；．
14．设＝，其中a、b、c、d都是正整数，则a+b+c+d＝ ．
15．已知x1，x2，…，xn中xi（i＝1，2，…，n）的数值只能取﹣2，0，1中的一个，且满足x1+x2+…+xn＝﹣17，++…+＝43，则（++…+）2的值为 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，扇形ABE半径AE＝6，扇形CBF的半径CB＝4，则阴影部分的面积为 ．
17．[]+[]+…+[]+[]的值为 ．{其中[x]表示不超过x的最大整数}
18．已知非负实数a，b，c满足，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则的值为 ．
19．方程：的解为 ．
20．32023除以26的余数是 ．
21．把2023表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有 种．
22．如图，AB＝AC＝5，BC＝6，BD＝AE，AF⊥DE，则＝ ．
23．已知正整数n，使得对任意正整数x、y，z，都有n|（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2），则n的最大值为 ．（a|b表示a整除b）
24．若270n是100×99×98×…×3×2×1的因数，则n最大可以取 ．
25．已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝10；x＝6时，y＝12；x＝7时，y＝14．则当x＝4时，y的值为 ．
二．解答题（共8小题）
26．自然数a，b，a＞b，且，求a，b．
27．如图，△ABC中，D是BC上一点且CD：DB＝2：3，E是AB上一点且AE：EB＝2：1，F是CA的延长线上一点且CA：AF＝4：3，若△DFE的面积为1209，求△ABC的面积．
28．在同一天中四辆车A，B，C，D以各自的速度匀速行驶在同一条路上，A分别在8点和9点超过B和C，并在10点与D相遇．D分别在12点和14点与B和C相遇．求B超过C的时间．
29．已知正整数k使49k2+220k+284为一个整数的平方，求k的值并写出严格的推理过程．
30．甲乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时他们的速度比是3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地间的距离是多少千米？
31．解方程：．
32．如图，凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，求S△CFD：S△ABE的值．
33．设a，b，c满足a+b+c＝1，ab+bc+ca＝﹣5，abc＝1，求（a2﹣4ab+b2）（b2﹣4bc+c2）（c2﹣4ca+a2）的值．
参考答案与试题解析
一．填空题（共25小题）
1．【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
2．【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣x＝1．
又∵2x2﹣2x+2023＝2（x2﹣x）+2023，
∴2x2﹣2x+2023＝2×1+2023＝2025．
故答案为：2025．
3．【解答】解：16+11+12﹣11﹣15＝13，
16+11+12﹣16﹣13＝10，
16+11+12﹣10﹣15＝14．
根据题意得：16+11+12＝16+x+14，
解得：x＝9．
故答案为：9．
4．【解答】解：＝0.142857142857⋯⋯，
则可知其循环节为142857，循环周期为6，
故2023÷6＝337⋯⋯1，
则小数点后第2023位是1，
故答案为：1．
5．【解答】解：设时针与分针在9点x分第一次重合，
由题意得：6x﹣0.5x＝9×30，
解得：x＝49，
∴时针与分针在9点49分第一次重合，
故答案为：49．
6．【解答】解：设有x辆车，这次春游的同学总共有y人，
由题意得：，
解得：，
即这次春游的同学总共240人，
故答案为：240．
7．【解答】解：根据题意得，π×102×2＝200π（cm3），
故答案为：200π．
8．【解答】解：∵8÷2＝4（厘米），
2×4×π＝8π（厘米），
故答案为：8π．
9．【解答】解：列树形图如下，共有21种路线．
故答案为：21．
10．【解答】解：设乙出发m分钟追上甲，
60（15+m）＝240m，
解得m＝5，
∴C地距离A地的距离为：240×5＝1200（米），
设乙出发n分钟与甲迎面相遇，
60（15+n）+240n＝4800×2，
解得n＝29，
∴D地距离A地的距离为：60×（15+29）＝2640（米），
∴C，D两地相距：2640﹣1200＝1440（米），
故答案为：1440．
11．【解答】解：为使S＝a+b+c+d+e尽可能大，在abcde＝2000＝24×53的分解中，显然应取a＝53，b＝c＝d＝e＝2即可，
这时最大值S＝125+8＝133；
为使S尽可能小，显然应取a＝23，b＝2，c＝d＝e＝5或a＝22，b＝22，c＝d＝e＝5，前者S＝8+2+15＝25，后者S＝4+4+15＝23，故最小值S＝23．
故答案为：110．
12．【解答】解：5+4+3＝12，7+6+5＝18，
∵12，18的最小公倍数是36，
∴设这堆糖果共36x块，则原计划甲、乙、丙三人分别分得15x块，12x块，9x块，实际甲、乙、丙三人分别分得14x块，12x块，10x块，
根据题意得：10x﹣9x＝15，
解得：x＝15，
∴10x＝10×15＝150，
∴这位小朋友实际所得的糖果数为150块．
故答案为：150．
13．【解答】解：∵＜，，＜，…，
∴A＜B，
∵A×B＝××××…××＝＝＝C2，
∴C在A和B之间，
故答案为：A，C，B．
14．【解答】解：∵a，b，c，d均为正整数，
∴，，都是真分数，
∴a+＝＝1+，
∴a＝1，b+＝＝6+，
∴b＝6，c+＝＝1+，
∴c＝1，d＝2，
∴a+b+c+d＝1+6+1+2＝10．
故答案为：10．
15．【解答】解：∵当xi＝1或0时，xi＝＝，
∴xi＝﹣2的个数为：（43+17）÷（4+2）＝10，
∴++…+＝﹣17+10×{﹣8﹣（﹣2）}＝﹣77，
∴（++…+）2＝5929．
故答案为：5929．
16．【解答】解：×6×6×π﹣（4×6﹣×4×4×π）
＝9π﹣（24﹣4π）
＝13π﹣24．
答：阴影部分的面积为13π﹣24．
故答案为：13π﹣24．
17．【解答】解：由题意可知：﹣1＜[]＜①，
﹣1＜[]＜②，
①+②，得﹣2＜[]+[]＜，
则得27＜[]+[]＜29，
∴[]+[]＝28，
同理可得：[]+[]＝28，
……，
则原式＝28×21＝588，
故答案为：588．
18．【解答】解：∵，
∴a﹣1＝＝，
∴b＝2a+1，c＝8﹣3a，
∵a≥0，b≥0，c≥0，
∴0≤a≤，
∴S＝a+2b+3c＝a+2（2a+1）+3（8﹣3a）＝26﹣4a，
∴≤S≤26，
当S＝时，a＝，b＝，c＝0，符合题意；
当S＝26时，a＝0，b＝1，c＝8，符合题意；
∴m＝26，n＝，
∴＝．
故答案为：．
19．【解答】解：原方程转化为，
，
即，
∴x＝2024
故答案为：x＝2024．
20．【解答】解：3÷26＝0……3，
9÷26＝0……9，
27÷26＝1……1，
81÷26＝3……3，
……
∴3n除以26的余数按照3，9，1，3，9，1……的规律进行变化，
∵2023÷3＝674……1，
∴32023除以26的余数是3．
故答案为：3．
21．【解答】解：设2023＝a2﹣b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝2023，
∵2023＝1×2023＝7×289＝17×119，
∴a+b＝2023，a﹣b＝1或a+b＝289，a﹣b＝7或a+b＝119，a﹣b＝17，
分别求出对应的a、b共三组，每组a、b可以取负数，
∴共有4×3＝12种表示方法．
故答案为：12．
22．【解答】解：过A作AG∥DE，AG＝DE，连接BG，DG，过A作AH⊥BC于H，过G作GP⊥AH于P，
∴四边形AEDG是平行四边形，
∴∠DAE＝∠ADG，AE＝DG，
又∵AE＝BD，
∴BD＝DG，
∴∠ABG＝∠ADG＝∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AH是∠BAC的平分线，
∴∠ABG＝∠BAH，
∴BG∥AH，
又∵PG⊥AH，BH⊥AH，
∴PG∥BH，
∴四边形PGBH为矩形，
∴PG＝BH，
∵DE⊥AF，AG∥DE，
∴AF⊥AG，
∴∠AGP+∠FAH＝90°，
∵∠AGP+∠GAP＝90°，
∴∠AGP＝∠FAH，
∴△AGP∽△FAH，
∴AF：AG＝AH：PG，
∵PG＝BH，AG＝DE，
∴＝，
∵AB＝AC，
∴AH为△ABC的中线，
∴BH＝BC＝3，
∴AH＝＝4，
∴＝．
故答案为：．
23．【解答】解：当x＝1，y＝2，z＝3时，（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）＝120＝12×10，
当x＝2，y＝3，z＝4时，（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）＝420＝12×35，
当x＝3，y＝5，z＝4时，（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）＝﹣1008＝12×（﹣84），
∵n|（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2），
∴n为（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）的最大公因数，
综上所述，n的最大值为12，
故答案为：12．
24．【解答】解：∵270＝2×33×5，
∴270n＝2n×33n×5n，
∵100÷2＝50，100÷4＝25，100÷8＝12……4，100÷16＝6……4，100÷32＝3……4，100÷64＝1……36，
∴100×99×98×…×3×2×1有因数2的个数为：50+25+12+6+3+1＝97，
∵100÷3＝33……1，100÷9＝11……1，100÷27＝3……19，100÷81＝1……19，
∴100×99×98×…×3×2×1有因数3的个数为：33+11+3+1＝48，
∵100÷5＝20，100÷25＝4，
∴100×99×98×…×3×2×1有因数5的个数为：20+4＝24，
∴，
∴n≤16，
∴n最大可以取16．
故答案为：16．
25．【解答】解：根据x，y的取值，联立方程：
，
解得：，
∴原函数为：y＝x3﹣18x2+109x﹣210，
当x＝4时，y＝64﹣18×16+4×109﹣210＝2．
故答案为：2．
二．解答题（共8小题）
26．【解答】解：∵a+b+a﹣b+ab+＝75，自然数a，b，
∴a为b的整数倍，
∴2a+ab+＝75，
∴a（2+b+）＝75，
即a•＝75，
∵a、b为自然数，b≠0，
而75＝25×3，
∴（b+1）2＝25，＝3，
解得b＝4，a＝12，
即a的值为12，b的值为4．
27．【解答】解：连接BF、AD，如图，设S△ABC＝x，
∵CA：AF＝4：3，
∴S△ABC：S△ABF＝CA：AF＝4：3，
∴S△ABF＝x，
∴S△BCF＝S△ABC+S△ABF＝x+x＝x，
∵CD：DB＝2：3，
∴S△CDF：S△BDF＝CD：DB＝2：3，S△ADC：S△ADB＝CD：DB＝2：3，
∴S△BDF＝S△BCF＝×x＝x，S△ADB＝S△ABC＝x，
∵AE：EB＝2：1，
∴S△ADE：S△BDE＝AE：EB＝2：1，S△AEF：S△BEF＝AE：EB＝2：1，
∴S△BDE＝S△ADB＝×x＝x，S△BEF＝S△ABF＝×x＝x，
∵S△DFE＝1209，
∴S△BDF﹣S△BDE﹣S△BEF＝1209，即x﹣x﹣x＝1209，
解得：x＝2015，
∴△ABC的面积为2015．
28．【解答】解：设A，B，C，D的速度分别是VA，VB，VC，VD．
由题意可知，在8点时A，B，C，D在路上的位置如图所示：
则AC＝VA﹣VC，
AD＝2（VA﹣VD），
BD＝4（VB﹣VD），
CD＝6（VC﹣VD），
由AD＝BD可知，2（VA﹣VD）＝4（VB﹣VD），
所以VD＝2VB﹣VA，
由AD＝AC+CD可知，2（VA﹣VD）＝VA﹣VC+6（VC﹣VD），
所以4VD＝5VC﹣VA，
消去VD得5VC﹣8VB+3VA＝0，即VA﹣VC＝（VB﹣VC）．
所以，在8点后再过小时B超过C，即在10：40时B超过C．
29．【解答】解：设 49k2+220k+284＝（7k+m）2（m 为整数），
∴49k2+220k+284＝49k2+14km+m2．
∴.．
∵k为正整数，
∴．
∴15＜m＜17．
∴m＝16．
∴．
30．【解答】解：设两地距离是skm，甲、乙的速度分别是3x，2x，则第一次相遇时甲、乙所走的路程分别为＝0.6skm，＝0.4skm，
根据相遇后甲到B地所用时间列方程：，
消去分母，得：2.6×0.4s＝3.6×（0.6s﹣14），
整理，得：1.12s﹣50.4＝0，
解得：s＝45．
答：A、B两地间的距离是45千米．
31．【解答】解：∵a2＝1﹣ab，b2＝3﹣ab，
∴a2+ab＝1，b2+ab＝3，
两式作比：＝，
∴b＝3a，
∴a2+3a2＝1，
∴a＝±，
∴方程的解为：或．
32．【解答】解：连接BG，设△CDF的面积为4，
∵BF：DF＝5：4，
∴S△BCF＝5，
∵CF：FG：GE＝2：2：3，
∴S△GDF＝4，S△DGE＝6，S△BFG＝5，S△BEG＝7.5，
∴S△BDG＝S△GDF+S△BFG＝9，
∵AG＝DG，
∴S△AEG＝S△EDG＝6，S△ABG＝S△BDG＝9，
∴S△ABE＝S△AEG+S△ABG﹣S△BEG＝6+9﹣5＝10，
∴S△CFD：S△ABE＝4：10＝2：5．
33．【解答】解：由题意，∵a+b+c＝1，ab+bc+ca＝﹣5，abc＝1，
∴a，b，c可以看作是方程x3﹣x2﹣5x﹣1＝0的根．
显然x≠0，
∴x2＝x++5．
∴a2＝a++5，b2＝b++5，c2＝c++5．
∵abc＝1，
∴ab＝，bc＝，ac＝．
又ab+bc+ca＝﹣5，
∴++＝﹣5．
∴a2﹣4ab+b2＝a++5﹣+b++5
＝a+b++﹣+10
＝（1﹣c）+（﹣5﹣）﹣+10
＝6﹣﹣c
＝﹣（c2﹣6c+5）
＝﹣（c﹣5）（c﹣1），
同理可得，b2﹣4bc+c2＝﹣（a﹣5）（a﹣1），
c2﹣4ca+a2）＝﹣（b﹣5）（b﹣1）．
∴（a2﹣4ab+b2）（b2﹣4bc+c2）（c2﹣4ca+a2）＝﹣（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）（a﹣5）（b﹣5）（c﹣5）．
又（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＝abc﹣（ab+bc+ac）+（a+b+c）﹣1
＝1﹣（﹣5）+1﹣1＝6，
（a﹣5）（b﹣5）（c﹣5）＝abc﹣5（ab+bc+ac）+25（a+b+c）﹣125
＝1﹣5×（﹣5）+25×1﹣125＝﹣74，
∴（a2﹣4ab+b2）（b2﹣4bc+c2）（c2﹣4ca+a2）＝﹣1×6×（﹣74）＝444．
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