2023-2024学年江苏省扬州市邗沟中学八下数学第十五周周末强化训练（含答案）

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A．AB＝ACB．AB＝BCC．∠B＝90°D．∠C＝90°
2．（2023春•高邮市期末）若点A（2，y1）、B（m，y1+1）在反比例函数的图象上，则m满足（ ）
A．m＞2B．0＜m＜2C．m＜2D．m＜0或m＞2
3．（2023春•高邮市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与AC、BC分别交于点M、N（不与端点重合），连接MN，设三角板与△ABC重叠部分的四边形OMCN的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A．S变化，MN有最大值B．S变化，MN有最小值
C．S不变，MN有最大值D．S不变，MN有最小值
4．（2023•瑞安市模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
5．（2023春•宝应县期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若菱形ABCD的面积为，则OH的长为（ ）
A．4B．C．8D．
6．（2023春•宝应县期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0B．y1+y2＞0C．y1＜y2D．y1＞y2
二．填空题（共14小题）
7．（2023春•高邮市期末）为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ．
8．（2024•郫都区模拟）若反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ．
9．（2023春•高邮市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是 ．
10．（2023春•高邮市期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
11．（2023春•高邮市期末）若，则bc的值为 ．
12．（2023春•高邮市期末）如图，已知点A在反比例函数的图象上，连接OA交反比例函数的图象于点B，分别过A、B两点分别作AD⊥x轴于点D、BC⊥x轴于点C，若直角梯形ABCD的面积为5，则k﹣m＝ ．
13．（2023春•高邮市期末）如图，在平面直角坐标系中，点P是y轴正半轴上的一个动点，点A在x轴的正半轴上，OA＝6，将点P绕点A顺时针旋转90°至点P′，点M是线段AP′的中点，若点Q是x轴的正半轴上的一个动点（OQ＞6），且点N是AQ的中点，则线段MN长的最小值为 ．
14．（2023春•广陵区期末）数轴上的两个点a，b如图所示，则式子a+的值为 ．
15．（2021•南京）如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ ．
16．（2023春•广陵区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ＝，则PM+CQ的最小值为 ．
17．（2023春•宝应县期末）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是 ．
18．（2023春•宝应县期末）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是 ．
19．（2023春•宝应县期末）设函数y＝x﹣4与y＝的图象的交点坐标为（m，n），则﹣的值为 ．
20．（2023春•宝应县期末）如图，点A在反比例函数的图象上，以OA为一边作等腰Rt△OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是 ．
三．解答题（共3小题）
21．（2023春•高邮市期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数y＝﹣的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“y＝﹣的l镜像”．
（1）当OP＝3时：
①点 “的l镜像”；（填“在”或“不在”）
②“的l镜像”与x轴交点坐标是 ；
（2）过y轴上的点Q（0，﹣1）作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若BQ＝2CQ，求OP的长．
22．（2023春•高邮市期末）在正方形ABCD中，AB＝6，E、F分别是BC、AB边上的动点，以DF、EF为边作平行四边形EFDG．
（1）如图1，连接AE，交DF于点O，若AF＝BE．
①试说明EG与AE的关系；
②线段DG最小值是 ；
（2）如图2，若四边形EFDG为菱形，判断线段BE与AF之间的数量关系，并说明理由．
23．（2023春•宝应县期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题：
（1）初步思考：自变量x的取值范围是 ；
（2）探索发现：当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0．由此我们可猜想，该函数图象在第 象限；
（3）深入思考：当x＞0时，．于是，当时，即x＝1时，y有最小值是2．请仿照上述过程，求当x＜0时，y的最大值．
【实际应用】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：添加的条件可以是∠B＝90°，理由如下：
∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故选：C．
2．【解答】解：∵k＝m2＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（2，y1）、B（m，y1+1）在反比例函数的图象上，且y1＜y1+1，
∴0＜m＜2，
故选：B．
3．【解答】解：如图，连接OC，
设AC＝BC＝a，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵点O为AB的中点，
∴OC＝OB，∠ACO＝∠BCO＝45°，
∵设将直角三角板的直角顶点绕点O旋转α，三角板的两条直角边分别与AC、BC分别交于点M、N（不与端点重合），
∴∠COM＝∠BON＝α，
在△COM和△BON中，
，
∴△COM≌△BON（ASA），
∴CM＝BN，S△COM＝S△BON，
∴四边形CNOM的面积S＝S△COB＝S△ABC＝；
故S不变；
设CM＝BN＝x，则CN＝a﹣x，
在Rt△CMN中，
MN2＝CM2+CN2＝x2+（a﹣x）2＝2（x﹣）2+a2，
∵M、N（不与端点重合），
∴x≠0，故没有最大值；
当x＝时，MN有最小值，
故选：D．
4．【解答】解：∵以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，AD＝7，
∴AF＝AD＝7．
在△ABC中，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝10．
∴BF＝AB﹣AF，即BF＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
故选：C．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴H是AB的中点，
∴OH＝AB，
设AB＝x，则DH＝x，
∵S菱形＝AB•DH＝32，
∴x2＝32，
解得x＝8或x＝﹣8（舍去），
OH＝4．
故选：A．
6．【解答】解：∵k＞0，
∴函数图象分布在一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜0＜x2，
∴A（x1，y1）在三象限，B（x2，y2）在一象限，
∴y2＞0＞y1．
故选：C．
二．填空题（共14小题）
7．【解答】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝64，
故答案为：100（1﹣x）2＝64．
8．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案为：m＜2．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝4，
∴BD＝8，
∴AD＝＝＝4，
故答案为：4．
10．【解答】解：方程两侧同乘（x﹣1）得：m﹣2＝3（x﹣1），
将x＝1代入整式方程得：m＝2．
11．【解答】解：∵a﹣6＝（b+c）2＝b2+2bc+2c2＝b2+2c2+2bc，
∴2bc＝﹣6，
∴bc＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴S△ADO＝lkl，S△BCO＝lml，
∴S梯ABCD＝S△ADO﹣S△BCO＝lkl﹣lml，
∵S梯ABCD＝5，
∴（lkl﹣lml）＝5，
∴lkl﹣lml＝10，
∵点A点B在第二象限，
∴k＜0，m＜0，
∴lkl﹣lml＝﹣k﹣（﹣m）＝10，
∴k﹣m＝﹣10．
故答案为：﹣10．
13．【解答】解：过点P′作x轴垂线，垂足为点H，
因为点M，N分别是AP′和AQ的中点，
所以MN是△AP′Q的中位线，
则MN＝，
所以P′Q取得最小值时，MN即取得最小值．
令P（0，a），则OP＝a，
易证△APO≌△P′AH．
则AH＝OP＝a，P′H＝OA＝6，
故P′（a+6，6）．
即点P′在直线y＝6上．
所以当P′Q⊥x轴，即点Q在点H处时，P′Q有最小值，
此时P′Q＝6，
所以MN的最小值为：3．
故答案为：3．
14．【解答】解：由a、b在数轴上的位置可知，a＜0＜b，﹣a＞b，
∴a﹣b＜0，
∴原式＝a﹣（a﹣b）
＝a﹣a+b
＝b．
故答案为：b．
15．【解答】解：方法一：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y轴于M点，
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴S△AON＝S△OBM，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，
即S△ABC＝4S△AON＝4×xA•yA＝4×＝12；
方法二：根据题意设A（t，），
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（﹣t，﹣），
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴C（t，﹣），
∴S△ABC＝BC•AC＝×[t﹣（﹣t）]×[﹣（﹣）]＝12；
故答案为：12．
16．【解答】解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴AC＝BD＝4，
∴OD＝OB＝OA＝OC＝2，
∵AM＝OM，AT＝DT，
∴MT＝OD＝，
∴MT＝PQ＝，
∵MT∥PQ，
∴四边形PQTM是平行四边形，
∴PM＝TQ，
∴PM+CQ＝TQ+CQ＝CT，
∵∠CMT＝90°，MT＝，CM＝3，
∴CT＝＝＝2，
故答案为：2．
17．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4c＝0，
解得c＝9．
故答案为：9．
18．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝3，
∴x1+x2﹣x1•x2＝4﹣3＝1，
故答案为：1．
19．【解答】解：∵函数y＝x﹣4与y＝的图象的交点坐标为（m，n），
∴n﹣m＝﹣4，mn＝3，
∴﹣＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．
20．【解答】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，
∴当OB最小时，OA最小，
设A点坐标为（a，），
∴OA＝，
∵（a﹣）2≥0，
即：a2+﹣2≥0，
∴a2+≥2，
∵（a﹣）2≥0，
两边同时开平方得：a﹣＝0，
∴当a＝时，OA有最小值，
解得a1＝1，a2＝﹣1（舍去），
∴A点坐标为（1，1），
∴OA＝，
∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，
∴OB＝OA＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共3小题）
21．【解答】解：（1）①由反比例函数y＝知：当x＝时，y＝8．
∵OP＝3且过点P作y轴的垂线l．
∴关于直线l：y＝3对称点坐标为（）．
由“y＝﹣的t镜像”定义得：点M（）在“y＝﹣的t镜像”上．
故答案为：在．
②∵“的l镜像”与x轴相交点纵坐标为0．
∴关于直线l：y＝3对称点在反比例函数上点纵坐标为6．
∴y＝6时，x＝．
∴“的l镜像”与x轴交点坐标是（）．
故答案为：（）．
（2）如图，①∵过y轴上的点Q（0，﹣1）作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C．
∴点B，C纵坐标为﹣1．
∵点C在反比例函数图象上．
∴点C坐标（4，﹣1）．
∴CQ＝4．
∵BQ＝2CQ．
∴BQ＝8．
∴点B坐标为（﹣8，﹣1）．
∴当x＝﹣8时，反比例函数的值y＝．
∴点（﹣8，﹣1）与点（﹣8，）关于直线l：y＝对称．
由“y＝﹣的t镜像”定义得：OP＝．
∴OP的长为，此时点P在y轴正半轴，不符合题意舍去．
②当点B，C位置交换时，同理得OP的长为．
∴OP的长为．
22．【解答】解：（1）①EG＝AE，且EGIAE．
∵四边形ABCD为正方形，
∵AD＝AB，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE（SAS），
∴DF＝AE，∠ADF＝∠BAE，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠EAD+∠ADF＝90°，
∴AE⊥DF，
∵四边形EFDG是平行四边形．
∴DF∥EG，DF＝EG，
∴AE⊥EG，且AE＝EG：
②当E、F分别为AB、BC的中点时，EF最小，即DG最小，
此时EF是三角形的中位线，EF＝AC＝3；
故答案为：3；
（2）BE2＝12AF，
∵四边形EFDG为菱形，
∴DF＝EF，
∴DF2＝EF2，
∴62+AF2＝（6﹣AF）2+BE2，
解得BE2＝12AF，
∴BE2＝12AF．
23．【解答】解：【提出问题】（1）函数y＝x+的自变量x的取值范围是x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0．由此可见，图象在第一、三象限，
故答案为：一、三；
（3）当x＜0时，y＝x+＝﹣（﹣x﹣）＝﹣（﹣）2﹣2≤﹣2，
当＝时，即x＝﹣1时，y有最大值是﹣2．
∴当x＜0时，即x＝﹣1时，x+的最大值为﹣2；
【实际应用】设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9，
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，
∴x：9＝4：S△AOD，
∴S△AOD＝，
∴四边形ABCD面积＝4+9+x+≥13+2＝25，
∴当x＝时，四边形ABCD面积有最小值，
∴当x＝6时，四边形ABCD面积的最小值为25．