江西省赣州市寻乌县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份江西省赣州市寻乌县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了本卷共有六大题，23小题等内容，欢迎下载使用。

1．本卷共有六大题，23小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答
一．单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】C
解析：解：∵，
∴．
故选C．
2. 2022年2月19日记者从水利部获悉，目前黄河五大水库总蓄水量达到327.96亿立方米，将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：亿．
故选：C．
3. 如图，这是由两个完全相同的小正方体与一个长方体搭成的几何体，则它的俯视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：从上面看得该几何体的俯视图是：

故选：C．
4. 下列运算，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：A、和不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
5. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵绕直角顶点顺时针旋转，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x，，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE=，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,
故选A．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在函数中，自变量的取值范围是___________．
【答案】
解析：解：由题意得，
∴
故答案为：．
8. 因式分解：_________
【答案】
解析：解：
故答案为：
9. 已知，是一元二次方程的两根，则______．
【答案】
解析：解：∵为一元二次方程的根，
∴，
∴，
∵，是一元二次方程的两根，
∴，
∴．
故答案为：．
10. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是____．
【答案】3
解析：解：由题意可得，如图所示，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴，
故答案为3．
11. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为__________．

【答案】3
解析：解：如图，是正十二边形一条边，点是正十二边形的中心，

过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故答案为：3．
12. 如图，在中，，D为边上一点．若将、分成了两个等腰三角形，则的度数为______．
【答案】或或
解析：解：∵是等腰三角形，
∴的三个内角的度数分别为，，或，，，
∴必定是钝角，
∴是等腰三角形，那么只存在这种情况，
当时，
∴，
∵，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴；
当时，
∴，
∴
∵，
∴；
综上所述，的度数为或或
故答案为：或或
三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，．求证：．

【答案】（1）2；（2）见解析
解析：（1）解：原式；
（2）证明：∵，
∴，即
∵在和中，
，
∴，
∴．

14. 以下是小华化简分式的过程：
解：原式①
②
③
（1）小华的解答过程在第______步出现错误．
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值．
【答案】（1）②；（2）过程见解析，
解析：解：（1）小华解答过程在第②步出现错误，在运算去括号时没有变号
第②步应该为：
故答案为②
（2）原式
，
当时，
原式．
15. 江西省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门；
（1）选择历史的概率是________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求恰好选择思想政治和地理的概率．
【答案】（1）
（2）
【小问1解析】
解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门，
选择历史的概率是；
故答案为：；
【小问2解析】
解：记思想政治、地理、化学、生物分别为①，②，③，④，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选择思想政治和地理有：①②，②①，共2种，
恰好选择思想政治和地理的概率为．
16. 如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）图1中，在边上找一点，作线段，使得；
（2）图2中，在边上找一点，作线段，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【小问1解析】
解：如图1，取线段的中点，连接，
则得，
则点即为所求；
【小问2解析】
解：如图2，取格点，，使，且，
连接，交于点，连接，
则，
则，
，
，
则点即为所求．
17. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）随着新能汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
【答案】（1）每辆A型汽车的售价为18万元，每辆B型汽车的售价为26万元
（2）5辆
【小问1解析】
解：设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆型车的售价是18万元，每辆型车的售价是26万元；
【小问2解析】
解：设销售型车辆，则销售型车辆，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为5．
答：型车至少销售5辆．
四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，点在函数的图像上，过点作轴和轴的平行线分别交函数的图像于点，，直线与坐标轴的交点为，．
（1）设点横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______．（用含字母的式子表示）
（2）当点P在函数的图像上运动时，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
（3）请直接写出与满足的数量关系．
【答案】（1）；；
（2）不发生改变，
（3）
【小问1解析】
解：∵点横坐标为，点在函数的图像上，点，在函数的图像上，
∴点的纵坐标为，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；；；
【小问2解析】
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积不发生变化，的面积为；
【小问3解析】
．
理由：如图，延长交轴于点，延长交轴于点，
∵轴，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 为进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分分．为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了名参赛学生的成绩，已知抽取得到的八年级的数据如下：．（分数分以上、不含分为优秀）．为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了如下等级统计表：
八、九年级成绩的平均数、中位数统计表如下：
（1）根据题目信息填空：______，______，______；
（2）若八年级的小宇和九年级的小乐的分数都为分，请判断小宇、小乐在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由．
（3）若九年级学生成绩的优秀率是八年级的两倍，且九年级共有600人参加参赛，请估计九年级获得优秀的学生人数．
【答案】（1）6，3，
（2）八年级小宇的排名更靠前；理由见解析
（3）人
【小问1解析】
解：将成绩从小到大依次排序为：，
∴，
中位数为第位数的平均数，即，
故答案为：6，3，；
【小问2解析】
解：八年级小宇的排名更靠前；理由如下：
因为八年级的中位数是，九年级的中位数是，而小宇和小乐的分数都为分，所以小宇的排名更靠前；
【小问3解析】
解：∵（人），
∴估计九年级获得优秀的学生人数为人．
20. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．

（1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长；
（2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，）
【答案】（1）36cm；
（2）变化了，长度增加了4cm．
【小问1解析】
解：如图1，过点D作于点F，
由题意知，
∴，，
∴．
【小问2解析】
如图2，过点D作于M，过点E作于点N，
由题意知四边形是矩形，
∴，
在中，
，，
在中，，
∴由勾股定理可得，
则，
原来，
，
∴变形前后两轴心的长度增加了．

五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，是的外接圆，，，交的延长线于点D，交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1解析】
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2解析】
∵且，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
22. 如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点和守门员（点）的距离；
（2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点、、、在同一条直线上，结果保留根号）
【答案】（1），16米；（2）米
解析：解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得
，
解得：，
．
当时，，
解得：（舍去）或，
答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点和守门员（点的距离为16米；
（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，由题意，得
，
解得或（舍去），
．
当时，
．
解得：或．
他应从第一次落地点再向前跑的距离为：
米．
答：他应再向前跑米．
六．解答题（本大题共12分）
23. 课本再现
（1）在学习“图形的平移和旋转”时，有这样一道题：如图1，点D在等边的边上，将绕点A旋转，点B的对应点为点C，小明是这样做的：过等边的顶点C作的平行线l，在l上截取，连接，则即为绕点A旋转后的图形，则______；
类比迁移
（2）如图2，点D为等边边下方一点，连接，若，，求面积的最小值；
拓展应用
（3）如图3，在四边形中，，点E在上，且，于点E，交于点O，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
解析：解：（1）∵是等边三角形，
∴．
由旋转性质可知，，
∴，即．
故答案为：；
（2）如图，延长到点，使．

是等边三角形，
，．
，
，
．
，
，
∴，
，
∵
，
是等边三角形．
要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，
即当为等边的高线时才会最短，
由题意可知等边的高线最短为，
∴
的面积最小值是．
（3）如图，过点C作交的延长线于点F．
∵，
∴为的平分线．
∵，
∴，
将绕点C旋转到，使得与重合，则点A，B，G三点共线．
∵，
∴，
又∵，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
由旋转性质可知
∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴．
成绩等级
分数（单位：分）
学生数
等级
等级
等级
等级
年级
平均数
中位数
八年级
九年级