江西省丰城中学2024届九年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省丰城中学2024届九年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共21页。

一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 在直角坐标系中，将抛物线先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：抛物先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为：．
故选：C．
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
3. 如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：如图，
由图可知，点；
故选B．
4. 已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：C
解析：解：二次函教的图象在轴的下方，
抛物线开口向下，与轴无交点，
即，，
故选：C．
5. 在直角坐标系中，点的坐标为，那么点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：由题意知，点关于原点对称的点的坐标是，
故选：A．
6. 关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（ ）
A. 2024B. C. －2024D.
答案：D
解析：解：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2024，
∴，
∴，
∴，
∴是方程一定有实数根．
故选：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知实数m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________．
答案：
解析：解：∵实数m，n分别是一元二次方程的两个根，
∴，
∴
∴
故答案为：
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，，若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的点处，则点的坐标为______．
答案：
解析：解：由旋转性质得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的坐标为，
故答案为：．
9. 已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是__________（填＞，＜或＝）．
答案：
解析：解：∵，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：．
10. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________．
答案：
解析：解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方，
∴不等式的解集是：，
故答案为：
11. 如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则的长为 __________________．
答案：
解析：解：连接，
∵，，
∴，，
由旋转的性质得到：，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴为垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 对于一元二次方程，下列说法：
若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有______个．（填个数）
答案：3
解析：解：①若方程有一根，则，即，故①正确；
②若，则可知方程有一个根为，
则，故②正确；
③若方程的两个根是，
所以方程的两个根为，，故③正确；
④若c是方程一个根，
则，
当时，则一定有成立，故④错误．
综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个．
故答案为：3．
三．（本大题5小题，每小题6分，共30分）
13. 用适当的方法解下列方程．
（1）．
（2）．
答案：（1）
（2）
【小问1解析：】
解：
∴
∴
∴或
解得：
【小问2解析：】
解：
∴
∴
∴
∴或
解得：
14. 关于x的方程为一元二次方程．
（1）求m的值．
（2）求该一元二次方程的根．
答案：（1）
（2），
【小问1解析：】
解：∵关于x的方程为一元二次方程，
∴，
解得，．
【小问2解析：】
解：由（1）可得，，
∴，即，
∴，
∴，．
15. 如图，在等边中，，点D是线段上的一点，，将绕点A旋转后得到，连接．求的长．
答案：2
解析：是等边三角形，
,
∵绕点A旋转后得到，
∴．
16. 如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？
答案：框边宽为2厘米
解析：解：设框边宽为厘米．
，（不合题意，舍去）
答：框边宽为2厘米．
17. 分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图①，在的方格纸中，点都在格点上，在图①中找一个格点，使以点为顶点的四边形是平行四边形；
（2）如图②，已知四边形是平行四边形，为对角线，点为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点，使．
答案：（1）见解析；
（2）见解析．
【小问1解析：】
解：如图所示，过点沿虚线作线段，交线段于点，
在上，取，根据平行四边形的对角线相互平分，
∴四边形即为所求图形．
【小问2解析：】
解：如图所示，连接交于，连接并延长交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴点即为所求点的位置．
四．（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18. 在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元．
（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少．
（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元．
（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额．
答案：（1）
（2）
（3）售价为元，平均每小时销售额最大为元
【小问1解析：】
解：设涨价的百分率是，
由题意得：，
解得： (不合题意，舍去)，
答：涨价的百分率是；
【小问2解析：】
设小蛋糕的售价提高元，则每小时的销售数量就会减少个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
小蛋糕的售价为：元或元，
售价不能超过元，
小蛋糕的售价为元，
答：此时小蛋糕的售价定为元．
【小问3解析：】
设小蛋糕的售价为元，
∴平均每小时的销售总额为：
售价不能超过元，
小蛋糕的售价为元，
当时，平均每小时的销售总额最大，最大销售额为元
答：此时小蛋糕的售价定为元，最大销售额为元．
19. 已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度．
（1）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根；
（2）如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由．
答案：（1）
（2）原方程有两个不相等的实数解，理由见解析
【小问1解析：】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴
即，
解得：；
【小问2解析：】
解：原方程有两个不相等的实数解
理由：∵是以为斜边的直角三角形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴原方程有两个不相等实数解
20. 如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为9米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
答案：（1）；
（2）．
【小问1解析：】
解：∵矩形，米，米，
∴米，米，
∴，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
设抛物线的解析式为：，把代入，得：，
解得：，
∴；
【小问2解析：】
解：由题意，当时：，
解得：，
当时，，
∴．
五．（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N.
（1）求抛物线的表达式；
（2）当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积
（3）求的最大值，并求此时点M的坐标；
（4）在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
答案：（1）
（2）5 （3）最大值为，.
（4）存在，或或
【小问1解析：】
由题意得：.解得：
∴抛物线的函数解析式是：.
【小问2解析：】
∵.
∴当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是，点.
连接BN.
则；
【小问3解析：】
设点M的坐标是，则点.
∴，.
∴.
∴当时，有最大值，
这时点.
【小问4解析：】
存在，理由如下：
由（1）（3）抛物线的对称轴是直线，点.
设点，.
分三种情况讨论：
①当是对角线时，，解得：，这时点.
②当是对角线时，，解得：，这时点.
③当是对角线时，，解得：，这时点.
综上所述，存或或，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.
22. 在中，是边上一点，将绕着点逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，连接，当时，，若，，，求线段的长．
（2）如图2，连接交于点，若，点为中点，求证：．
答案：（1）6；（2）证明见解析
解析：（1）∵∠ADF=90°，，
∴DF=
∵将CD绕着点D逆时针旋转至DF，
∴DF=CD=
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=
∵AE=2BE，且AB2=AE2+BE2，
∴180=5BE2，
∴BE=6
故答案为：6
（2）如图2，过点A作AH∥DE，交FD的延长线于点H，
∴∠HAD=∠ADE，∠H=∠EDF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠B+∠C=180°，∠ADE=∠DEC，
∴∠HAD=∠DEC，
∵∠EDF+∠B=180°，
∴∠H=∠EDF=∠C，
∵DG∥AH，
∴，且AG=GF
∴HD=DF
∴HD=DF=CD，且AG=GF，
∴AH=2DG，
∵DH=DC，∠H=∠C，∠HAD=∠DEC，
∴△AHD≌△ECD（AAS），
∴AH=EC，
∴EC=2DG，
∴BE=BC-EC=AD-2DG．
六、解答题（本小题12分）
23. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离PF，始终等于它到定直线1：的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，．
例如，抛物线，其焦点坐标为，准线表达式为l：，其中，．

【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的表达式；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；

【拓展延伸】
（4）把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点．当取最小值时，请求出△POD的面积．

答案：（1），；（2）；（3）（4）
解析：解：（1）抛物线中，
，，
抛物线焦点坐标为，准线的方程为，
故答案为：，；
（2）由（1）知抛物线焦点的坐标为，
点，到焦点的距离是它到轴距离的3倍，
，整理得：，
又，
，
解得：或（舍去），
（负值舍去），
点的坐标为
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
直线m：交y轴于点C，
∴设的坐标为
过点作平行线交轴于一点，如图

即
∴
∵直线与直线垂直，
∴
∵当，，三点共线，
∴
解得
∴
∴点
．
即的最小值为．
（4）把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，
∴
抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：

点的坐标为，准线，
点横坐标为，代入解得，
即，
∴，
则的面积为．