江西省上饶市玉山县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份江西省上饶市玉山县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：120分钟考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 数字万用科学记数法表示应为（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
解：数字万用科学记数法表示应为．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：选项A中式子，根据同底数幂的乘法可以计算出正确的结果，从而可以判断是否正确；
选项B中的式子，根据同底数幂的除法可以计算出正确的结果，从而可以判断是否正确；
选项C中的式子，根据完全平方公式可以计算出正确的结果，从而可以判断是否正确；
选项D中的式子，根据积的乘方可以计算出正确的结果，从而可以判断是否正确．
解：∵3x×2x2＝6x3，故选项A错误；
∵8x2y÷2x2y＝4，故选项B正确；
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故选项C错误；
∵（﹣x3y2）2＝x6y4，故选项D错误；
故选：B．
4. 如图所示，几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图．
解：从上往下看该几何体的俯视图，符合题意的是A，
故选：A．
5. 若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，则b的值为（）
A. ﹣3B. 3C. ﹣5D. 5
答案：A
解析：根据根与系数的关系得到，即可代入求出答案．
解：由题意得：，
∵x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，
∴，
∴b=-3，
故选：A．
6. 如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（）
A. B. 4C. D.
答案：B
解析：连接HF，如图，根据矩形的性质和勾股定理可得HF的长，过点H作HM⊥AB于点M，则MB≤HF，于是可得MB的最大值，进而可得正方形边长的最小值．
解：连接HF，如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，
∴，
过点H作HM⊥AB于点M，则MB≤HF，∴MB≤4，
根据题意，AB≥MB，
∴正方形边长的最小值为4．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 分解因式：=____．
答案：．
解析：利用平方差公式分解因式即可得到答案
解：．
故答案为：
8. 计算：_________
答案：
解析：先计算负整数指数幂和零指数幂，然后再计算加减法即可．
解：．
故答案为：-1．
9. 不等式组的解集为__________．
答案：
解析：分别求出每一个不等式的解集，然后找到公共部分即可得不等式组的解集．
解：解不等式①得
解不等式②得
∴不等式组的解集为：
故答案为：．
10. 一副三角板按如图所示的方式放置，它们的直角顶点分别在另一个三角板的斜边上，且，则的度数为_________．
答案：
解析：根据EF∥BC得出∠FDC=∠F=30°，进而得出∠1=∠FDC+∠C即可．
解：∵EF∥BC，
∴∠FDC=∠F=30°，
∴∠1=∠FDC+∠C=30°+45°=75°，
故答案为：75°．
11. 一个扇形的弧长是，圆心角的度数为，则扇形的面积为______.
答案：
解析：设扇形所在圆的半径为R，先根据弧长公式计算出R，然后根据扇形面积公式求解．
设扇形所在圆的半径为R，
根据题意得20π=，
解得R=30，
∴扇形的面积=•30•20π=300π．
故答案为300π．
12. 菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，点E在对角线BD上，∠AED=45°，P是菱形上一点，若△AEP是以AE为直角边为直角三角形，则tan∠APE的值为________．
答案：1或或
解析：本题以菱形为题目背景，综合考查菱形的性质，并以动点问题丰富题干，考查分类讨论方式，结合题干信息特殊角度，可通过做辅助线构造特殊直角三角形以满足求解三角函数正切值的前提，继而通过图形性质求解边长比例．
∵菱形ABCD，∠ABC=30°，AC⊥BD
∴∠BAC=75°
连接CE，并延长CE交AB于点P1，如下图所示
当∠AED=45°时，∠BAE=30°，△AEC与△AEP1为直角三角形
在△AEP1中，tan∠AP1E=tan60°=
在△AEC（即△AEP2，此时点P2与点C重合）中，tan∠AP2E=tan45°=1
在△AEP3中，∠EAP3=90°，此时CP1∥AP3
设OA=，那么EC=AE=，EP1=
所以AP3=CP1=+，tan∠AP3E==÷(+)=．
综上，tan∠APE值为1或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解方程：；
（2）如图，已知，且．求证：．
答案：（1）x=0；（2）见解析．
解析：（1）根据解分式方程的方法解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，根据平行线的性质可得∠DBC=∠D，再根据角的和差即得结论．
（1）解：去分母，得，
解这个方程，得x=0，
经检验：x=0是原方程根，
∴原方程的解为：x=0；
（2）证明：∵，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，
∵，
∴∠DBC=∠D，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠D，
∴∠C=2∠D．
14. 化简求值：，其中，．
答案：，1
解析：本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合计算，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
解：
，
当，时，原式．
15. 中考前，为了解各地市九年级学生复习备考情况，江西省教育厅准备对各市进行一次实地调研活动，调研的对象初步确定从南昌市、九江市、景德镇市、赣州市、上饶市中随机抽签选取．
（1）若这次调研准备选取一个市，则恰好抽到上饶市的概率是_______；
（2）若这次调研准备选取两个市，请用列表或画树状图概率是的方法表示出所有可能的结果，并求出所选取的两个市恰好是南昌市和上饶市的概率．
答案：（1）
（2）
解析：本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率，
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和所选取的两个市恰好是南昌市和上饶市的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
解题的关键是掌握求概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
小问1
解：∵调研的对象共有个城市，分别是南昌市、九江市、景德镇市、赣州市、上饶市，
∴恰好抽到南昌市的概率是，
故答案为：；
小问2
用，，，，分别代表南昌市、九江市、景德镇市、赣州市、上饶市，列表如下：
共有种等可能的结果，所选取的两个市恰好是和的结果有种，其概率是：，
∴所选取的两个市恰好是南昌市和上饶市的概率是．
16. 如图，已知正方形与，点E在上，且为的中点，点在线段的反向延长线上．请利用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图的痕迹）．
（1）在图1中，画出的中点；
（2）在图2中，画出的垂直平分线．
答案：（1）见解析；（2）见解析．
解析：（1）如图1，连接GE并延长交AD于点H，根据ASA易证△AEH≌△BEG，可得AH=GB=FE，连接FH交AB于点P，根据AAS可证明△APH≌△EPF，可得AP=PE，问题即得解决；
（2）如图2，延长FE交CD于点L，连接AC、BD交于点M，连接BL、CE交于点N，作直线MN，由正方形和矩形的性质可得：直线MN即为BC的垂直平分线．
解：（1）如图1，点P即为所求；
（2）如图2，直线MN即为所求．
17. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与反比例函数的图象在第一象限内的部分交于点垂直于轴，垂足为，其中．
（1）直接写出点的坐标．
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
答案：（1）点的坐标为（-2，0），点的坐标为（2，4）；（2）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
解析：（1）利用OA=OB=OD=2直接写出A点坐标和B点坐标，再利用平分线分线段成比例定理计算出CD得到C点坐标；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式．
（1）∵OA=OB=OD=2．
∴A点坐标为（-2，0），B点坐标为（0，2），AD=4，
∵OB∥CD，
∴，
∴CD=，
∴C点坐标为（2，4）；
（2）把C（2，4）代入，得
∴反比例函数的解析式为，
把A（-2，0），B（0，2）代入，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为增强学生环保意识．实施垃圾分类管理．某中学举行了“垃圾分类知识竞赛"并随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．
知识竞赛成馈频数分布表
根据所给信息，解答下列问题．
（1）a=__________ ，；
（2）请求出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数；
（3）补全知识竞赛成绩频数分布直方图；
（4）已知该中学有名学生，请估算该中学学生知识竞赛成绩低于分的人数．
答案：（1）300，50；（2）C组所在扇形的圆心角的度数为；（3）补全统计图见解析；（4）该中学学生知识竞赛成绩低于分的人数约为175人．
解析：（1）先根据D组人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数乘以B组人数占总人数的比例可得a的值，用总人数减去其它各组人数之和可得b的值；
（2）用360°乘以C组人数占总人数的比例即可得；
（3）根据（1）中所求结果即可补全统计图；
（4）总人数乘以样本中E组人数所占比例可得．
解：（1）∵被调查的总人数为200÷20%=1000（人），
∴a=1000×=300，b=1000-（300+300+150+200）=50，
故答案为：300、50；
组所在扇形的圆心角的度数为
补全统计图如下：
该中学学生知识竞赛成绩低于分的人数约为人
19. 如图，是的外接圆，，延长至点，连接，使．
（1）求证；与相切．
（2）若，，求的长．
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，连接并延长，交于，连接，，设与相交于点，根据圆周角定理得到，继而得到，由直径所对的圆周角为直角，得到，可得，即可得证；
（2）设，则，在中，根据勾股定理得，求得，得到，根据垂径定理推论可得，，再由求得，即可得出结论．
小问1
证明：如图，连接并延长，交于，连接，，设与相交于点，
在中，和都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴与相切；
小问2
解：设，则，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，是的半径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
20. 图1是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和可升降支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度，同时可以通过调节支架脚使拍摄时更灵活安全．图2是其正面简化示意图，手机（为矩形）与其下方套管连接于点E，E为的中点，，支架脚，与地面平行，．
（1）当时，求点E到地面的高度；
（2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使，若，求点G到直线与交点的距离．
（参考数据：，结果精确到）
答案：（1）点E到地面的高度；（2）点G到直线与交点的距离约为．
解析：（1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理得出，然后根据直角三角形的性质可得FM的长，最后根据线段的和差即可得；
（2）先利用等腰三角形的性质、余弦值求出GH的长，从而确定与交点的位置，如图（见解析），延长AB分别交GF于点P，交GH于点Q，再根据矩形的判定与性质可得MQ的长，从而可得GQ的长，然后在中利用余弦值即可得．
（1）如图，设EF与GH的交点为点M
，即
，
在中，
答：点E到地面的高度；
（2）由（1）已知，
（等腰三角形的三线合一）
，即
则依题意，延长AB分别交GF于点P，交GH于点Q，画图如下所示：
四边形ABCD是矩形
，即
，即
又
四边形BEMQ是平行四边形
平行四边形BEMQ是矩形
，点E是BC的中点
在中，，即
解得
答：点G到直线与交点的距离约为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某超市购进一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量(件)与销售单价 (元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若超市按单价不低于成本价，且不高于元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润(元)最大?
（3）若超市要使销售该商品每天获得的利润为元，则每天的销售量应为多少件?
答案：（1）；（2）销售单价定为元时，该超市每天的利润最大；（3）每天的销售量应为件．
解析：（1）将点代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得，即可求解；
（3）由题意得，解一元二次方程即可得到结论．
（1）设与销售单价之间的函数关系式为:
将点代入一次函数表达式得
解得
故函数的表达式为：
（2）由题意得
，
故当时，随的增大而增大，而
当时，有最大值
故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大;
（3）由题意得
解得
每天的销售量
每天的销售量应为件
22. 对于某个函数，若自变量取实数，其函数值恰好也等于时，则称为这个函数的“等量值”．在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等最距离”为0．
（1）请分别判断函数，，有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”；
（2）已知函数．
①若其“等量距离”为0，求的值；
②若，求其“等量距离”的取值范围；
③若“等量距离”，直接写出的取值范围．
答案：（1）函数没有“等量值”；，函数有-1和1两个“等量值”，其“等量距离”为2；函数有0和1两个“等量值”，其“等量距离”为1；（2）①；②；（3）的取值范围为或．
解析：（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）①首先由函数y=2x2-bx=x，求得x（2x-b-1）=0，然后由“等量距离”为0，求得答案；
②由①，利用1≤b≤3，可求得“等量距离”的取值范围；
③由②可知，，解不等式组，即可得到答案．
解：（1）函数没有“等量值”，
函数有和1两个“等量值”，其“等量距离”d为2．
函数有0和1两个“等量值”，其“等量距离”d为1．
（2）①∵函数的“等量距离”为零，
令，则，
∴，
∴，，
∴，
∴．
②解方程，
得：，．
∵，
∴．
∴，
∴函数的“等量距离”的取值范围为：．
③由②可知，，
∴或，
∴或；
∴的取值范围为或．
六、解答题（12分）
23. （1）发现问题
如图（1），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD边上的动点（均不与端点重合），且∠EAF=45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，发现EF=BE+DF，请你给出证明过程；
（2）类比探究
①如图（2），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边CB，DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
②如图（3），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，请直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．（不要求证明）
（3）拓展应用
在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求EF的长．
答案：（1）见解析；（2）①不成立，理由见解析；②BE=EF+DF；（3）5
解析：（1）证明△EAF≌△GAF，可得出EF=FG，则结论得证；
（2）①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF=FM，则结论得证；
②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF=EN，则结论得证；
（3）求出DG=2，设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．
（1）证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∠B=∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠DAG+∠FAD=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG=DF+DG，
∴EF=DF+BE；
（2）①不成立，结论：EF=DF-BE；
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM，
∴∠FAM=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF=FM=DF-DM=DF-BE；
②结论为：BE=EF+DF，
如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，
∴AN=AF，∠NAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠NAE=45°，
∴∠NAE=∠FAE，
∵AE=AE，
∴△AFE≌△ANE（SAS），
∴EF=EN，
∴BE=BN+NE=DF+EF．
即BE=EF+DF；
（3）解：由（1）可知AE=AG=3，
∵正方形ABCD边长为6，
∴DC=BC=AD=6，
∴DG=，
∴BE=DG=3，
∴CE=BC-BE=6-3=3，
设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，
在Rt△EFC中，∵CF2+CE2=EF2，
∴(6-x)2+32=(x+3)2，
解得：x=2．
∴EF=x+3=5．
组别
成绩（分数）
人数