高考数学复习第七章　第三节　等比数列（导学案）

这是一份高考数学复习第七章　第三节　等比数列（导学案），共15页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，一题多变，备选例题，备选题型等内容，欢迎下载使用。

第三节 等比数列
【课程标准】
1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
【必备知识·精归纳】
1.等比数列的有关概念
点睛(1)由an+1=qan,q≠0,并不能立即确定{an}为等比数列,还要验证a1≠0;
(2)只有当两个数同号时,这两数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
2.等比数列的前n项和公式
点睛求等比数列的前n项和,若公比是参数,需要讨论是否为1.因此涉及含参数等比数列的前3项和,常用S3=a1+a1q+a1q2求解.
3.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an=a1q·qn,而y=a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y=aq·qx的图象上孤立的点.
4.等比数列的性质
(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q=2k,则am·an=ap·aq=ak2.
(2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(3)在等比数列中,若项数为2n(n∈N*),则S偶S奇=q;若项数为2n+1,则S奇−a1S偶=q.
(4)若a1>0,q>1,或a1<0,0若a1>0,01,则等比数列{an}是递减数列.
点睛性质(1)由am·an=ap·ak不一定推出m+n=p+k,因为有非零常数列的存在.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)若数列{an}是等比数列,且首项a1=3,公比q=12,则该数列的通项公式可以写成
an=kan的形式,则k=( )
A.32B.23C.6D.16
解析：选C.数列的通项公式为an=3×12n−1=6×12n,因此k=6.
2.(忽视隐含条件)若数列1,a,b,c,9是等比数列,则实数b的值为( )
A.5B.-3
C.3D.3或-3
解析：选C.因为数列1,a,b,c,9是等比数列,
所以b2=9.
因为1,a,b成等比数列,所以a2=b>0,
所以b=3.
3.(教材提升)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S2=4,S4=6,则S6=( )
A.7B.8C.9D.10
解析：选A.依题设得,数列{an}的公比
q≠1,且4=a1(1−q2)1−q,6=a1(1−q4)1−q,
解上式得:q2=12,a11−q=8,所以S6=a1(1−q6)1−q=8×[1-(12)3]=7.
4.(忘记讨论q=1的情况)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=3a1,则a6a3=( )
A.-8B.8
C.1或-8D.-1或8
解析：选C.因为等比数列{an}中,S3=3a1,
当q=1时,显然满足题意,则a6a3=q3=1,
当q≠1时,a1(1+q+q2)=3a1,
解得q=-2或q=1(舍),则a6a3=q3=-8.
所以a6a3=1或-8.
5.(教材提升)已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,且Sn=5n-a,则a=( )
A.-5B.5C.1D.-1
解析：选C.当n=1时,a1=S1=5-a.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-a)-(5n-1-a)=4×5n-1.
因为数列{an}为等比数列,
所以a1=5-a=4×50=4,所以a=1.
【题型一】等比数列基本量的计算
[典例1](1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=( )
A.14B.12C.6D.3
解析：选D.设等比数列{an}的公比为q,q≠0,
若q=1,则a2-a5=0,与题意矛盾,所以q≠1,
则a1+a2+a3=a1(1−q3)1−q=168,a2−a5=a1q−a1q4=42,
解得a1=96,q=12,所以a6=a1q5=3.
(2)(2022·南京模拟)在等比数列{an}中,a1+a3=1,a4+a6=-8,则a10+a12a5+a7=( )
A.-8B.16C.32D.-32
解析：选D.因为数列{an}为等比数列,a1+a3=1,a4+a6=-8,所以a4+a6=a1q3+a3q3
=q3(a1+a3)=q3=-8,所以q=-2.
所以a10+a12a5+a7=a5q5+a7q5a5+a7=q5=-32.
(3)(2022·安庆模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a6+a7+a8=224,S3=7,则S5a3=( )
A.334B.314C.318D.338
解析：选B.设等比数列{an}的公比为q,因为等比数列{an}中a6+a7+a8=224,S3=7,所以q≠1,故a1q5(1+q+q2)=224,a1(1−q3)1−q=7,故q=2,a1=1.
所以S5a3=1−251−222=314.
(4)设数列{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=( )
A.12B.24C.30D.32
解析：选D.方法一:设等比数列{an}的公比为q,
所以a2+a3+a4a1+a2+a3=(a1+a2+a3)qa1+a2+a3=q=2,
由a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=a1(1+2+22)=1,解得a1=17,所以a6+a7+a8=a1(q5+q6+q7)=17×(25+26+27)=17×25×(1+2+22)=32.
方法二:令bn=an+an+1+an+2(n∈N*),则bn+1=an+1+an+2+an+3.设数列{an}的公比为q,则bn+1bn=an+1+an+2+an+3an+an+1+an+2=(an+an+1+an+2)qan+an+1+an+2=q,
所以数列{bn}为等比数列,由题意知b1=1,b2=2,所以等比数列{bn}的公比q=2,所以bn=2n-1,所以b6=a6+a7+a8=25=32.
【方法提炼】
等比数列基本量的计算方法
等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可解.
【对点训练】
1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则Snan=( )
A.2n-1B.2-21-n
C.2-2n-1D.21-n-1
解析：选B.方法一:设等比数列{an}的公比为q,则由a5−a3=a1q4−a1q2=12,a6−a4=a1q5−a1q3=24,
解得a1=1,q=2,所以Sn=a1(1−qn)1−q=2n-1,
an=a1qn-1=2n-1,所以Snan=2n−12n−1=2-21-n.
方法二:设等比数列{an}的公比为q,
因为a6−a4a5−a3=a4(1−q2)a3(1−q2)=a4a3=2412=2,
所以q=2,所以Snan=a1(1−qn)1−qa1qn−1=2n−12n−1=2-21-n.
2.已知数列{an}是等比数列,a2=1,a5=-18,
若Sk=-118,则k= .
解析：设等比数列{an}的公比为q,因为a2=1,a5=-18,所以q3=-18,解得q=-12,
所以a1=-2,由Sk=−2[1−(−12) k]1−(−12)=-118,解得k=5.
答案:5
3.(2022·武汉模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S3=3a2+8a1,S8=2S7+2,则a2=( )
A.4B.3C.2D.1
解析：选A.设正项等比数列{an}的公比为q,
因为2S3=3a2+8a1,
所以2(a1+a2+a3)=3a2+8a1,
即6a1+a2-2a3=0,所以6a1+a1q-2a1q2=0.
因为a1>0,所以6+q-2q2=0,解得q=2或q=-32(舍去).因为S8=2S7+2,
所以S7+a8=2S7+2,所以a8=S7+2,
所以a1q7=a1(1−q7)1−q+2.
因为q=2,所以128a1=127a1+2,解得a1=2,
所以a2=a1q=4.
【题型二】等比数列的判定与证明
[典例2]已知数列{an}的各项均为互不相等的正数,且a1=1,a5=4a3,记Sn为数列{an}的前n项和,若{1+Sn}是等比数列.证明:数列{an}是等比数列.
【证明】因为a1=1,
所以S1+1=2,又数列{1+Sn}是等比数列,
设数列{1+Sn}的公比为q,
根据题意有q>0且q≠1,所以Sn+1=(S1+1)·qn-1=2qn−1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(Sn+1)-(Sn-1+1)=2qn-1-2qn-2=2(q-1)qn-2,
又因为a5=4a3,所以2(q-1)q3=8(q-1)q,
又q≠1,所以有q2=4,又q>0,所以q=2,
所以an=2(q-1)qn-2=2n-1(n≥2).
当n=1时,由上式得a1=1,这与已知a1=1相一致.所以数列{an}是以1为首项,以2为公比的等比数列.
【一题多变】
本例变为:已知数列{an}的各项均为互不相等的正数,且a1=1,a5=4a3,记Sn为数列{an}的前n项和,数列{an}是等比数列.求证:数列{1+Sn}是等比数列.
【证明】设等比数列{an}的公比为q,
因为a5=4a3,所以q4=4q2,根据题意可知q>0,所以解得q=2.
所以Sn=1−qn1−q=2n-1,所以1+Sn=2n,
且S1+1=2,符合上式,
所以数列{Sn+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列.
【方法提炼】
等比数列的判定方法
【对点训练】
已知数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*),
(1)求证:数列an+n2为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解析：(1)因为2an+1=6an+2n-1(n∈N*),
所以an+1=3an+n-12,
所以an+1+n+12an+n2=3an+n−12+n+12an+n2
=3an+32nan+n2=3,因为a1+12=1+12=32,
所以数列an+n2是首项为32,公比为3的等比数列.
(2)由(1)得,an+n2=32×3n-1=12×3n,
所以an=12×3n-n2.
【题型三】等比数列性质的应用
角度1 等比数列项的性质的应用
[典例3](1)已知数列{an}是正项等比数列,若a2a9a16=64,则lg2a1+lg2a2+…+lg2a17等于( )
A.34B.32C.30D.28
解析：选A.等比数列{an}中,由a2a9a16=64得a93=64,即a9=4.
所以lg2a1+lg2a2+…+lg2a17=lg2(a1a2…a17)=lg2a917=lg2417=34.
(2)两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若a5b5=2,则A9B9=( )
A.512B.32C.8D.2
解析：选A.因为A9=a1a2a3…a9=a59,B9
=b1b2b3…b9=b59,所以A9B9=(a5b5)9=512.
角度2 等比数列前n项和的性质
[典例4](1)设Sn为等比数列{an}的前n项和,S12=7S4,则S8S4=( )
A.13B.13或12
C.3D.3或-2
解析：选C.方法一:设S4=1,则S12=7,
因为S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,
所以(S8-1)2=7-S8,解得S8=3或-2(舍去),所以S8S4=3.
方法二:设公比为q,由题意S12S4=(1+q4+q8)S4S4=1+q4+q8=7,即q8+q4-6=0,
所以q4=2或-3(舍去),
所以S8S4=(1+q4)S4S4=1+q4=3.
(2)已知正项等比数列{an}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q= .
解析：设等比数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,
则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+
a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇,
由S2n=3S奇,得(1+q)S奇=3S奇,因为an>0,
所以S奇>0,所以1+q=3,q=2.
答案:2
【备选例题】
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a3=5,S4=20,则S8−2S4S6−S4−S2=( )
A.9B.10C.12D.17
解析：选B.设等比数列{an}的公比为q,因为S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+a2+a4
=a1+a3+q(a1+a3)=(1+q)(a1+a3)
=5(1+q)=20.
所以q=3,则S8−2S4S6−S4−S2=(S8−S4)−S4(S6−S2)−S4
=q4S4−S4q2S4−S4=q4−1q2−1=q2+1=10.
角度3 等比数列的单调性
[典例5](2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：选B.方法一:当a1<0,q>1时,
an=a1qn-1<0,此时数列{Sn}递减,所以甲不是乙的充分条件.
当数列{Sn}递增时,有Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0,若a1>0,则qn>0(n∈N*),即q>0;
若a1<0,则qn<0(n∈N*),不存在,所以甲是乙的必要条件.
综上,甲是乙的必要条件但不是充分条件.
方法二:a1=-1,q=2时,数列{Sn}是递减数列,所以甲不是乙的充分条件;数列{Sn}是递增数列,可以推出an+1=Sn+1-Sn>0,可以推出
q>0,甲是乙的必要条件.
【方法提炼】
1.应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.
(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关Sm,S2m,S3m的问题可利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(Sm≠0)成等比数列求解.
2.等比数列的单调性的应用方法
研究等比数列的单调性问题,要综合考虑首项的符号以及公比的取值范围,而涉及等比数列有关的单调性的充分必要条件问题,既要考虑数列的单调性也要善于举反例说明.
【对点训练】
1.已知数列{an}是各项均为正值的等比数列,且
a4a12+a3a5=15,a4a8=5,则a4+a8=( )
A.15B.5C.5D.25
解析：选C.因为a4a12+a3a5=15,
所以a42+a82=15,又a4a8=5,
所以(a4+a8)2=a42+a82+2a4a8=25,
又a4+a8>0,所以a4+a8=5.
2.已知数列{an}是等比数列,其公比为q,则“q>1”是“数列{an}为单调递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选D.在等比数列{an}中,当a1<0,q>1时,数列{an}为单调递减数列,则充分性不成立;当a1<0,01不成立,则必要性不成立;综上所述,“q>1”是“数列{an}为单调递增数列”的既不充分也不必要条件.
3.已知等比数列{an}的前10项中,所有奇数项之和为8514,所有偶数项之和为17012,则S=a3+a6+a9+a12的值为 .
解析：设公比为q,
由S偶S奇=q=2,S奇=a1[1−(q2)5]1−q2=8514,得a1=14,q=2,
所以S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)
=a1q2(1+q3)(1+q6)=585.
答案:585
【备选题型】等比数列在实际问题中的应用
[典例]某市利用省运会的契机,鼓励全民健身,从7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月投放A型健身器材300台,B型健身器材64台,计划8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2 000台,则a的最小值为( )
A.243B.172C.122D.74
解析：选D.设B型健身器材这6个月投放量为{bn},则{bn}是以b1=64为首项,q=32为等比的等比数列,所以其前6项和为
S6=64×[1−(32) 6]1−32=1 330,
所以5a+300+1 330≥2 000,解得a≥74.
【方法提炼】
等比数列实际应用问题的方法
实际问题中涉及相同增长率(或减少率)问题常转化为等比数列问题求解,求解时应明确是求通项还是求和.
【对点训练】
1.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁“衰分”得100,60,36,21.6个单位,衰分比为40%.今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,衰分比为20%,已知乙衰分得100石,则丁衰分得( )
A.90石B.80石C.51.2石D.64石
解析：选D.依题意丁衰分为100×(1−20%)2=64(石).
2.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个,现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A.4秒钟B.5秒钟
C.6秒钟D.7秒钟
解析：选B.依题意,1+3+32+33+…+3n−1≥110,则1−3n1−3≥110,
所以3n≥221,解得n≥5.即至少需5秒钟细菌将病毒全部杀死.
【加练备选】
某同学入读某大学金融专业,过完年刚好得到红包10 000元,他决定以此作为启动资金投资股票,每月月底获得的收益是该月月初投入资金的20%,并从中拿出500元作为自己的生活费,余款作为资金全部投入下个月的炒股,如此继续.设第n个月月底的股票市值为an.
(1)求证:数列{an-2 500}为等比数列;
(2)该同学一年(共12个月)在股市约赚了多少元钱?(1.211≈7.43,1.212≈8.92)
解析：(1)由题意得第一个月股票市值
a1=10 000(1+20%)-500=11 500,
第n+1个月月底的股票市值为
an+1=1.2an-500,
则an+1-2 500=1.2(an-2 500),
a1-2 500=9 000,
所以数列{an-2 500}是以9 000为首项,以1.2为公比的等比数列;
(2)由(1)得,an-2 500=9 000×1.2n−1,
所以a12=2 500+9 000×1.211≈69 370.
故该同学一年(共12个月)在股市约赚了69 370+500×12-10 000=65 370(元).
【思维导图·构网络】
定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列
通项公式
设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式an=a1qn-1.推广:an=amqn−m(m,n∈N*)
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab
已知量
首项、公比与项数
首项、末项与公比
选用
公式
Sn=na1,q=1,a1(1−qn)1−q,q≠1
Sn=na1,q=1,a1−anq1−q,q≠1
教材改编
易错易混
1,3,5
2,4
定义法
若an+1an=q(q为非零常数,n∈N*)或anan−1=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列
等比中项法
若数列{an}中,an≠0且an+12=an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列