高考数学复习第三章　第三节　二次函数与幂函数（导学案）

这是一份高考数学复习第三章　第三节　二次函数与幂函数（导学案），共16页。学案主要包含了课程标准，必备知识 精归纳，常用结论，基础小题 固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。

第三节 二次函数与幂函数
【课程标准】
1.了解幂函数的概念,结合y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x的图象,理解它们的变化规律.
2.掌握二次函数的图象和性质.
3.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
【必备知识 精归纳】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①当α>0时,幂函数的图象都过点 (1,1) 和 (0,0) ,且在(0,+∞)上单调递增;
②当α<0时,幂函数的图象都过点 (1,1) ,且在(0,+∞)上单调递减;
③当α为奇数时,y=xα为 奇函数 ;当α为偶数时,y=xα为 偶函数 .
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:y= ax2+bx+c(a≠0) .
顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为 (m,n) .
零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为y的 零点 .
(2)二次函数的图象和性质
点睛对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目的条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
【常用结论】
巧识幂函数的图象和性质
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),则f(14)等于( B )
A.-12 B.12 C.±12 D.22
解析：设f(x)=xα,所以2α=2,α=12,所以f(x)=x12,所以f(14)=12.
2.(教材提升)幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象如图所示,则实数m的值为( C )
A.3 B.0 C.1 D.2
解析：因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-13.(结论)若幂函数f(x)=(a2-5a-5)x-12a在(0,+∞)上单调递增,则a等于( D )
A.1 B.6 C.2 D.-1
解析：因为函数f(x)=(a2-5a-5)x-12a是幂函数,所以a2-5a-5=1,解得a=-1或a=6.
当a=-1时,f(x)=x12在(0,+∞)上单调递增;当a=6时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,所以a=-1.
4.(教材提升)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为 .
解析：因为y=f(x)在x=2处取得最小值-4,
所以可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0),
又图象过原点,所以f(0)=4a-4=0,a=1,
所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
答案:f(x)=x2-4x
5.(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)解析：f(x)=x-12的定义域为(0,+∞),且在定义域内是减函数,
所以a+1>10-2a>0,解得3答案:(3,5)
6.(忽视区间限制)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是 .
解析：f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
因为g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
题型一幂函数的图象与性质
[典例1](1)幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为( D )
A.-1C.-1解析：幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,且0<α<1时,图象上凸,所以0则-1(2)已知a=243,b=323,c=2513,则( A )
A.bC.b解析：因为a=243=423,b=323,c=2513=523,且y=x23在(0,+∞)上是增函数,所以c>a>b.
(3)(2022·长沙模拟)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m= .
解析：由幂函数定义,知m2-3m+3=1,
解得m=1或m=2,
当m=1时,f(x)=x的图象不关于y轴对称,舍去,
当m=2时,f(x)=x2的图象关于y轴对称,
因此m=2.
答案:2
【方法提炼】
(1)幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
(2)比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
【对点训练】
1.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)·x-5m-3为减函数,则实数m的值为( A )
A.m=2 B.m=-1
C.m=-1或m=2 D.m≠1±52
解析：因为函数y=(m2-m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+∞)上的减函数,所以m2-m-1=1,-5m-3<0,解得m=2.
2.(2023·怀仁模拟)有四个幂函数:①f(x)=x-1;②f(x)=x-2;③f(x)=x3;④f(x)=x13.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是{y|y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是( )
A.① B.② C.③ D.④
解析：选B.f(x)=x-1只满足性质(2),f(x)=x3只满足性质(3),f(x)=x13只满足性质(3),f(x)=x-2是偶函数,在(-∞,0)上是增函数,但是其值域是{y|y>0}.
3.若(a+1)12<(3-2a)12,则实数a的取值范围是 .
解析：易知函数y=x12的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以a+1≥0,3-2a≥0,a+1<3-2a,解得-1≤a<23.
答案:[-1,23)
题型二 二次函数的解析式
[典例2](1)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,函数的解析式f(x)= .
解析：方法一 (一般式):设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7.所以所求二次函数的解析式为
f(x)=-4x2+4x+7.
方法二 (顶点式):
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为x=2+(-1)2=12,
所以m=12.又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=a(x-12)2+8.因为f(2)=-1,所以a(2-12)2+8=-1,解得a=-4,
所以f(x)=-4(x-12)2+8=-4x2+4x+7.
方法三 (零点式):
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,即4a(-2a-1)-(-a)24a=8.解得a=-4或a=0(舍去).
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
答案:-4x2+4x+7
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为 .
解析：因为f(2+x)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,
所以f(x)图象的对称轴为直线x=2,又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,
所以f(x)=0的两根为1和3,设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),
因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,所以a=1,
所以所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
答案:f(x)=x2-4x+3
【方法提炼】
确定二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
【对点训练】
已知函数f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x为偶函数,再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,求f(x)的解析式.
条件①:函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5;
条件②:函数f(x)≤0的解集为{1};
条件③:方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10.
解析：函数f(x)=x2+bx+c,则g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c,
因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),即x2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2,
所以f(x)=x2-2x+c,图象开口向上,对称轴为直线x=1.
若选条件①,因为函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5,所以f(-2)=4+4+c=5,解得c=-3.所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
若选条件②,由函数f(x)≤0的解集为{1},可得f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1,
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1.
若选条件③,方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10.
由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=c,
又(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2,
所以4=10+2c,解得c=-3.
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
【加练备选】
1.已知f(x)为二次函数,且f(x)=x2+f'(x)-1,则f(x)等于( B )
A.x2-2x+1 B.x2+2x+1
C.2x2-2x+1 D.2x2+2x-1
解析：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b,
由f(x)=x2+f'(x)-1可得ax2+bx+c=x2+2ax+(b-1),
所以a=1,b=2a,c=b-1,解得a=1,b=2,c=1,因此,f(x)=x2+2x+1.
2.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)满足条件f(-x)=f(x),定义域为R,值域为(-∞,4],则函数的解析式f(x)= .
解析：f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2.
因为f(-x)=f(x),所以2a+ab=0,所以f(x)=bx2+2a2.
因为f(x)的定义域为R,值域为(-∞,4],所以b<0,且2a2=4,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+4.
答案:-2x2+4
题型三 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象的识别
[典例3]设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( D )
解析：因为abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c,那么可知,
在A中,a<0,b<0,c<0,不符合题意;B中,a<0,b>0,c>0,不符合题意;
C中,a>0,c<0,b>0,不符合题意.
角度2 二次函数的单调性
[典例4](1)已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则f(-2),f(4),
f(5)的大小关系为( B )
A.f(5)>f(-2)>f(4) B.f(4)>f(5)>f(-2)
C.f(4)>f(-2)>f(5) D.f(-2)>f(4)>f(5)
解析：因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).
(2)(2022·宜宾模拟)若函数f(x)=12x2+a|x|在区间[3,4]和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是( D )
A.[4,6] B.[-6,-4]
C.[2,3] D.[-3,-2]
解析：f(x)=12x2+a|x|,因为f(-x)=12×(-x)2+a|-x|=12x2+a|x|=f(x),所以f(x)为实数集上的偶函数,因为f(x)在区间[3,4]和[-2,-1]上均为增函数,所以f(x)在[3,4]上单调递增,在[1,2]上单调递减,所以函数f(x)=12x2+a|x|,x>0的对称轴x=-a∈[2,3],得a∈[-3,-2].
角度3 二次函数的最值
[典例5]已知函数f(x)=x2-tx-1.
(1)若f(x)在区间(-1,2)上不单调,求实数t的取值范围;
(2)若x∈[-1,2],求f(x)的最小值g(t).
解析：f(x)=x2-tx-1=(x-t2)2-1-t24.
(1)依题意,-1所以实数t的取值范围是(-2,4).
(2)①当t2≥2,即t≥4时,f(x)在[-1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=3-2t.
②当-1③当t2≤-1,即t≤-2时,f(x)在[-1,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(-1)=t.综上有g(t)=t,t≤-2,-1-t24,-2【一题多变】
本例条件不变,求当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值G(t).
解析：f(-1)=t,f(2)=3-2t,f(2)-f(-1)=3-3t,当t≥1时,f(2)-f(-1)≤0,所以f(2)≤f(-1),所以f(x)max=f(-1)=t;当t<1时,f(2)-f(-1)>0,所以f(2)>f(-1),所以f(x)max=f(2)=3-2t,
综上有G(t)=t,t≥1,3-2t,t<1.
【方法提炼】
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.
(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
角度4 与二次函数有关的恒成立问题
[典例6]金榜原创·易错对对碰
已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.
(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),则k的取值范围是 ;
(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,则k的取值范围是 ;
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),则k的取值范围是 .
解析：(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,
有86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞).
答案:[86,+∞)
(2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,有-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为[-10,+∞).
答案:[-10,+∞)
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].
由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.
故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为[118,+∞).
答案:[118,+∞)
【方法提炼】
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是利用二次函数图象.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤
f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【对点训练】
1.(多选题)二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是( AD )
A.b=-2a B.a+b+c<0
C.a-b+c>0 D.abc<0
解析：由题图可知a<0,对称轴x=-b2a=1,则b=-2a,则b>0,又f(0)=c>0,所以abc<0,由于f(-1)<0,则a-b+c<0,由于f(1)>0,则a+b+c>0.
2.已知函数f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是( B )
A.(-∞,2] B.[4,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,4]
解析：因为f(x)>0的解集为(-1,3),故-2x2+bx+c=0的两个根为-1,3,所以-c2=-1×3,b2=-1+3,即b=4,c=6,令g(x)=f(x)+m,则g(x)=-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m,由x∈[-1,0]可得g(x)min=g(-1)=m,又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立,故m≥4.
3.(2023·抚顺模拟)已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间[0,m]上有最大值6,最小值5,则实数m的取值范围是 .
解析：由题意知,f(x)=-(x-1)2+6,则f(0)=f(2)=5=f(x)min,f(1)=6=f(x)max,
函数f(x)的图象如图所示,则1≤m≤2.
答案:[1,2]
4.(2023·衡水模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是 .
解析：由题意知f(x)在R上是增函数,结合f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,知-4t>2m+mt2对任意实数t恒成立,所以mt2+4t+2m<0对任意实数t恒成立,所以m<0,Δ=16-8m2<0,所以m∈(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
【加练备选】
1.(多选题)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论正确的是( AC )
A.当x>3时,y<0 B.4a+2b+c=0
C.-1≤a≤-23 D.3a+b>0
解析：依题意知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),所以函数与x轴的另一交点为(3,0),所以当x>3时,y<0,故A正确;
当x=2时,y=4a+2b+c>0,故B错误;因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A
(-1,0),且a<0,所以a-b+c=0,因为b=-2a,所以a+2a+c=0,所以3a+b<0,c=-3a,因为2≤c≤3,所以2≤-3a≤3,所以-1≤a≤-23,故C正确,D错误.
2.(2022·沈阳模拟)已知f(x)=ax2-2x+1.
(1)若f(x)在[0,1]上单调,求实数a的取值范围;
(2)若x∈[0,1],求f(x)的最小值g(a).
解析：(1)当a=0时,f(x)=-2x+1单调递减;当a>0时,f(x)的对称轴为x=1a,且1a>0,
所以1a≥1,即0所以a<0符合题意.综上可得a的取值范围为{a|a≤1}.
(2)①当a=0时,f(x)=-2x+1在[0,1]上单调递减,
所以f(x)min=f(1)=-1.
②当a>0时,f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上,且对称轴为x=1a.
(ⅰ)当1a<1,即a>1时,f(x)=ax2-2x+1图象的对称轴在[0,1]内,
所以f(x)在[0,1a]上单调递减,在[1a,1]上单调递增.
所以f(x)min=f(1a)=1a-2a+1=-1a+1.
(ⅱ)当1a≥1,即0③当a<0时,f(x)=ax2-2x+1的图象开口向下,且对称轴x=1a<0,在y轴的左侧,
所以f(x)=ax2-2x+1在[0,1]上单调递减.所以f(x)min=f(1)=a-1.
综上所述,g(a)=a-1,a≤1,-1a+1,a>1.
【思维导图·构网络】
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函数
y=ax2+bx+c
(a>0)
y=ax2+bx+c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
[4ac-b24a,+∞)
(-∞,4ac-b24a]
对称轴
x=-b2a
顶点
坐标
(-b2a,4ac-b24a)
奇偶性
当b=0时是偶函数,
当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在(-∞,-b2a]上单调递减;在[-b2a,+∞)上单调递增
在(-∞,-b2a]上单调递增;在[-b2a,+∞)上单调递减
教材改编
结论应用
易错易混
1,2,4
3
5,6