2023高考要点归纳 第三节 等比数列及其前n项和

第三节 等比数列及其前n项和

【要点归纳】

一、等比数列的定义

1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．

2．等比数列定义的理解：

(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；

(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；

(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝(n≥2)或q＝.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．

3．等比数列的通项公式：一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．

4.等比数列与等差数列的区别与联系

二、等比数列的性质

1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.

2．等比中项的理解

(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．

(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．

(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．

3．等比数列的判定

(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．

(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．

(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}是等比数列．

4．等比数列的性质：

(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．

(2)若已知等比数列{an}中的任意两项an，am，由an＝am·qn－m可以求得公比q＝

(3)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.

①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.

②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….

(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.

(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．

5．等比数列与指数函数的关系

等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．

6．等比数列的常用结论

(1)若{an}是公比为q的等比数列，则下列数列：

①{can}(c为任一不为零的常数)是公比为q的等比数列．

②{|an|}是公比为|q|的等比数列．

③{a}(m为常数，m∈N*)是公比为qm的等比数列．

(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．

7．等比数列的单调性

已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则

(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；

(2)当或时，等比数列{an}为递减数列．

8．等比数列连续几项的设法

(1)三个数成等比数列设为，a，aq.

推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，，a，aq，aq2…

(2)四个符号相同的数成等比数列设为：，，aq，aq3.

推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，，，aq，aq3，aq5…

(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.

三、等比数列的前n项和公式

等比数列的前n项和公式

四、等比数列前n项和的性质

1．在等比数列的前n项和公式Sn＝中，如果令A＝，那么Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．

2．等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0).

3．涉及Sn，S2n，S3n，…的关系或Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质

(1)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．

(2)等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm.

4．错位相减法

(1)推导等比数列前n项和的方法

一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①

用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ②

由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝(q≠1)．

(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.

【夯实基础练】

1．(2022•高考全国乙卷数学(文理同题))已知等比数列的前3项和为168，，则(    )

A．14 B．12 C．6 D．3

【解析】  设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.

【答案】  D

2．(2022•重庆市第八中学高三第六次月考)各项均为正数的等比数列{}满足，则=(    )

A．2 B．4 C．6 D．8

【解析】  因为各项均为正数的等比数列{}满足，所以，即.因为{}为正项等比数列，所以，所以，所以=4.故选：B

【答案】  B

3．(2022•重庆市巴蜀中学第七次月考)已知在等比数列中，，则(    )

A． B．3 C． D．9

【解析】  因为数列为等比数列，故可得，解得.故选：A.

【答案】  A

4．(2022•云南省师范大学附属中学高三第七次月考)已知数列满足：，点在函数的图象上．记为的前n项和，则(    )

A．6 B．7 C．8 D．9

【解析】  由题得，解得，故，所以，故选：A．

【答案】  A

5．(2022•西南四省名校高三第二次大联考)若单调递增的等比数列，满足，，则(    )

A．16 B．32 C． D．31

【解析】  由题意知，，∴，又，∴，由数列为单调递增，可得，，故．故选：C．

【答案】  C

6．(2022•黑龙江省哈三中第五次验收)公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为(    )

A．米 B．米

C．米 D．米

【解析】  由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，其中，且，所以乌龟爬行的总距离为.故选：A.

【答案】  A

7．(2022•四川省树德中学高三(下)开学考试)在等比数列中，已知，，则的值为(    )

A．3 B．9 C．3或 D．9或

【解析】  因为数列为等比数列，所以①

又因为②

联立①②可求得或，

当，时，由，得，所以.

当，时，由，得，所以.

综上所述，的值为3或.故选：C

【答案】  C

8．(2022•陕西省西安中学高三二模)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则(    )

A．16 B．8 C．4 D．2

【解析】  设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．

【答案】  C

9．(2022•陕西省西安市高新第一中学高三第八次大练习)公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为(    )

A．米 B．米

C．米 D．米

【解析】  由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，其中，且，所以乌龟爬行的总距离为.故选：A.

【答案】  A

10．(2022•山东省实验中学高三(上)二诊)在等比数列中，若，则(    )

A．6 B． C． D．

【解析】  根据题意及等比数列中项的性质有，，又，所以 或-6，选项C正确.故选：C.

【答案】  C

11．(2022•东北师大附中、黑龙江省大庆实验中学高三联合模拟考试)已知数列是等比数列，是等差数列，若，，则(    )

A．4 B．8 C．12 D．16

【解析】  因为数列是等比数列，所以，由，即，因为是等差数列，所以，故选：D

【答案】  D

12．(2022•湖南省长沙市第一中学高三第八次月考)(多选)一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为(    )

A．180 B．108

C．75 D．63

【解析】  由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.故选：D

【答案】  D

13．(2022•黑龙江省鹤岗市第一中学高三(上)期末)在各项均为正数的等比数列中，若，，成等差数列，则(    )

A． B． C．2 D．4

【解析】  设等比数列的公比为，，由，，成等差数列，可得，即为，可得，解得舍去)，则．故选：D

【答案】  D

14．(2022•河北省衡水中学高三六调)(多选)已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，，成等差数列，则q的值可能为(    )

A． B．1 C．2 D．3

【解析】  因为，，成等差数列，所以，又因为数列前4项的和为，所以，而数列公比为q，再根据有，，所以或.故选：AC.

【答案】  AC

15．(2022•四川省南充高级中学高三第四次月考)记为正项等比数列的前项和，若，则的值为________．

【解析】  设正项等比数列的公比为，因为为正项等比数列的前项和，且，所以，即，所以，所以((舍去))，又，所以的值为.故答案为：.

【答案】 

16．(2022•湖北省荆州中学高三(上)期末)九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n(n为奇数)个环所需的最少移动次数为___.(用含n的式子表示)

【解析】  当为奇数时，为偶数，为奇数，则，故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，(，n为奇数)，故解下n(n为奇数)个环所需的最少移动次数为(，n为奇数).故答案为：(，n为奇数).

【答案】  (，n为奇数)

17．(2022•河北省衡水中学高三三模)在等比数列中，，则的公比为_____．

【解析】  设等比数列的公比为，因为，所以，解得：，即等比数列的公比为.故答案为：.

【答案】  1

18．(2022•北京市一零一中学高三(下)开学检测)设等比数列｛an｝满足a1+a2＝48，a4+a5＝6，则公比q＝______，log2(a1a2a3…an)的最大值为__________.

【解析】  因为a1+a2＝48，所以由a4+a5＝6，可得：，由a1+a2＝48，可得，所以，，因为，,所以时，有最大值，最大值为15，故答案为：；15 .

【答案】  ①##    ②15

19．(2022•山东省实验中学高三(上)二诊)已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)若，求数列的前项和.

【解析】  (Ⅰ)设等差数列的公差为，

由，，成等比数列，可得，即，

解得或(舍)，所以数列的通项公式.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

所以，

可得，

两式相减得

所以.

【答案】  (Ⅰ)；(Ⅱ).

20．(2022•宁夏银川一中高三第六次月考)已知数列的前项和，数列中且满足.

(1)求､的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【解析】  (1)当时，

当时，，满足上式。∴

∵且∴数列是首项为2，公比为2的等比数列

∴，

(2)，设的前项和为.

.

【答案】  (1)，；    (2).

21．(2022•河北省衡水中学高三一模)已知数列的前项和为，，是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解析】  因为，，所以，所以，，

假设存在正整数，使得，，成等比数列，

则，即，解得或(舍去)，

故存在，使得，，成等比数列．

【答案】  存在；．

22．(2022•厦门外国语学校高考仿真预测试题)已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)求的前项和．

【解析】  (1)因为等差数列满足，且，，成等比数列，

所以 ，因为，所以， 所以；

(2)由(1)得，所以

．

【答案】  (1)；(2)．