高考数学复习第二章　第一节　等式与不等式的性质（导学案）

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第一节等式与不等式的性质
梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
1.比较大小的基本方法
2.不等式的基本性质
点睛(1)注意不等式成立的条件.
(2)注意不等式性质的单向与双向性,即是否具有可逆性.
1.若ab>0,则a>b⇒1a<1b;若ab<0,则a>b⇒1a>1b.
2.若a>b>0,m>0,则ba若b>a>0,m>0,则ba>b+ma+m.
3.若a>b>0,则na>nb(n∈N,n≥2).
1.(结论2)在日常生活中有这样一种现象,向糖水中不断加入糖,糖水会变得越来越甜.已知a克糖水中含有b克糖(a>b>0),再添加m克糖(m>0,假设全部溶解),可将糖水变甜.这一事实表示为下列哪一个不等式?( )
A.ba>b+ma+mB.baC.ab解析：选B.因为向糖水中不断加入糖,糖水会变得越来越甜,所以糖水开始的浓度为ba,再添加m克糖,即浓度变为b+ma+m.因为a>b>0,m>0,所以ba-b+ma+m=b-amaa+m<0,则ba2.(教材提升)下列结论正确的是( )
A.若a>b,则ac>bc
B.若a>b,则1a>1b
C.若a>b,则a+c>b+c
D.若a>b,则a>b
解析：选C.对于A,若a>b,c≤0,则ac≤bc,故A错误;
对于B,若取a=1,b=0,则1b无意义,故B错误;
对于C,根据不等式的可加性可知若a>b,则a+c>b+c,故C正确;
对于D,若取a=1,b=-2,则a3.(教材变式)设M=2aa-2+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是( )
A.M>NB.M=N
C.M解析：选A.因为M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),所以M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=a+122+34>0,所以M>N.
4.(结论1)若1a<1b<0,则下列不等式正确的是( )
A.a>bB.aC.a+b>abD.a3>b3
解析：选D.由1a<1b<0,可得a<0,b<0,1a-1b<0,即b-aab<0,可得b由a<0,b<0,可得a+b<0,ab>0,则a+b由bb3,故D正确.
5.(忽视不等式成立的条件)已知a,b,c,d为实数,若a>b且c>d,则下列结论中正确的是( )
A.a2>b2B.ac2>bc2
C.a+c>b+dD.ac>bd
解析：选C.当a,b为负数时,A选项显然不成立;
当c=0时,B选项显然不成立;
根据不等式的同向可加性可知C正确;
当a,b,c,d为负数时,D选项显然不成立.
6.(误用同向可减性、区间端点开闭出错)若实数x,y满足-1解析：因为-1又因为-2≤y≤1,所以-2+-2答案:-4,2
题型一比较大小
角度1 作差法比较大小
[典例1](1)(多选题)(2022·衡阳模拟)已知a>b>1,下列不等式正确的是( )
A.b+1a+1b+1b
C.a3+b3>2a2bD.a+1b>b+1a
解析：选BD.对于A,b+1a+1-ba
=a(b+1)-b(a+1)(a+1)a=ab+a-ab-b(a+1)a=a-b(a+1)a,
因为a>b>1,所以a-b>0,a+1>0,
所以b+1a+1-ba=a-b(a+1)a>0,即b+1a+1>ba,故A错误;
对于B,a+1a-(b+1b)=a-b+1a-1b=a-b+b-aab=(a-b) (1-1ab)=(a-b)·(ab-1)ab,
因为a>b>1,所以a-b>0,ab>1,
所以a+1a-(b+1b)>0,即a+1a>b+1b,故B正确;
对于C,当a=3,b=2时,a3+b3=33+23=35,2a2b=2×32×2=36,
所以a3+b3<2a2b,故C错误;
对于D,a+1b-(b+1a)=a-b+1b-1a=a-b+a-bab=(a-b) (1+1ab),
因为a>b>1,所以a-b>0,ab>1,
所以a+1b-(b+1a)>0,即a+1b>b+1a,故D正确.
(2)当m>1时,m3与m2-m+1的大小关系为 .
解析：因为m3-(m2-m+1)=m3-m2+m-1=m2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m2+1),又m>1,所以(m-1)(m2+1)>0,即m3>m2-m+1.
答案:m3>m2-m+1
(3)某汽车加油站的工作人员发现经常来加油的李先生和孙女士的加油习惯有所不同.李先生每次加油都说“师傅,给我加300元的油”,而孙女士则说“师傅帮我把油箱加满”.如果李先生和孙女士都加油两次,第一次加油汽油单价为x元/升,第二次加油汽油单价是y元/升(x≠y),孙女士每次加满油箱,需加油a升,我们规定谁的平均单价低谁就合算,请问李先生、孙女士谁更合算呢?( )
A.李先生B.孙女士C.一样D.不确定
解析：选A.由题意,孙女士两次加油共需付款a(x+y)元,李先生两次能加300x+300y=300(x+y)xy升油.
设李先生两次加油的平均单价为M元/升,孙女士两次加油的平均单价为N元/升,
则M=600300(x+y)xy=2xyx+y,N=a(x+y)2a=x+y2,且x≠y,
所以N-M=x+y2-2xyx+y=(x-y)22(x+y)>0,
所以李先生的加油方式更合算.
1.适合作差法比较大小的两(数)式的特点
(1)正负未知的两多项式;
(2)若两数为无理数且均为正,可考虑平方后再作差比较;
(3)两分式的形式;
(4)可化为同底的两对数;
2.作差法比较大小的步骤
①作差;②变形(通过因式分解或配方法等);③定号;④得出结论.
角度2 作商法比较大小
[典例2](1)已知c>1,且x=c+1-c,y=c-c-1,则x,y之间的大小关系是( )
A.x>yB.x=y
C.x解析：选C.由题设,易知x>0,y>0,又xy=c+1-cc-c-1=c+c-1c+1+c<1,所以x(2)若a=ln22,b=ln33,则a b(填“>”或“<”).
解析：方法一(作差法):
a-b=ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln96<0,所以a方法二(作商法):
易知a,b都是正数,ba=2ln33ln2=ln 32ln 23=ln9ln8=lg89>1,所以b>a.
答案:<
1.适合作商法比较大小的两(数)式的特点
(1)两数(式)均为正数,且是幂的形式;
(2)两式均为两根式之差,且为正数,可考虑作商然后分子分母同时有理化后与1比较大小;
(3)两正分式,且作商后分子分母能约分;
(4)底数相同的两对数式,作商后结合换底公式可化为一个对数.
2.作商法比较大小的步骤
①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
角度3 利用中间值比较大小
[典例3](1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知a=lg52,b=lg83,c=12,则下列判断正确的是( )
A.c解析：选C.a=lg52(2)(2023·太原模拟)设a=lg62,b=216,c=ab,则a,b,c的大小关系是( )
A.aC.b解析：选B.因为a=lg6220=1,所以b>a>0,所以a1.中间量法比较大小的适用条件
两数为指数式或对数式或其他同构式.
2.中间量的选取
(1)一般选取0和1为中间量;
(2)若两数的范围相同,可选取平均数作为中间量进行比较.
角度4 利用单调性比较大小
[典例4](1)(2022·潍坊模拟)已知a>0,则“aa>a3”是“a>3”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选B.因为aa>a3⇔a>3或00时,“aa>a3”是“a>3”的必要不充分条件.
(2)(多选题)(2023·滨州模拟)若实数a,b满足ln bA.a2C.lga3ba
解析：选BCD.因为ln b所以0b2,1a<1b,即选项A错误,B正确;
因为lga3-lgb3=1lg3a-1lg3b
=lg3b-lg3alg3a·lg3b<0,所以lga3由幂函数与指数函数的单调性可得,ab>bb>ba,故选项D正确.
利用单调性比较大小的策略
1.若两个指数式的底数相同,借助指数函数的单调性比较大小;
2.若两个指数式的指数相同,借助幂函数的单调性比较大小;
3.若指数底数均不同,取一个的底数另一个的指数作为中间量比较大小;
4.若比较大小的两个数比较接近哪个函数,可构造新函数比较大小.
1.(2022·中山模拟)已知a=20.1,b=lg43,c=lg52,则( )
A.a>c>bB.b>c>a
C.a>b>cD.b>a>c
解析：选C.因为a=20.1>20=1,b=lg43∈(12,1),c=lg52b>c.
2.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若a>b,c>d,则a-2c>b-2d
B.若a,b∈0,+∞,则ab+ba≥2
C.若a>b>0,m>n>0,则baD.若a>b,则a2>b2
解析：选BC.令a=2,b=1,c=1,d=0,则a-2c=0,b-2d=1,不满足a-2c>b-2d,故A错误;
a,b∈0,+∞,所以ab+ba≥2ab·ba=2,当且仅当ab=ba,即a=b时取等号,故B正确;
b+ma+n-ba=b+ma-ba+na+na=ma-nba+na,因为a>b>0,m>n>0,所以am>bn,所以am-bn>0,a+na>0,即b+ma+n-ba>0,所以b+ma+n>ba,故C正确;
令a=1,b=-2,满足a>b,但是a2>b2不成立,故D错误.
3.(多选题)(2022·威海模拟)若a>b>1,0A.amB.maC.lgmaD.lgam解析：选BC.对于A,y=xm在(0,+∞)上单调递增,因为a>b>1,所以am>bm,故A错误;
对于B,y=mx在(0,+∞)上单调递减,
因为a>b>1,所以ma对于C,y=lgmx在(0,+∞)上单调递减,
因为a>b>1,所以lgma对于D,令a=4,b=2,m=12,满足a>b>1,0lgbm,故D错误.
4.设a>b>0,比较a2-b2a2+b2与a-ba+b的大小.
解析：因为a>b>0,所以a2-b2a2+b2>0,a-ba+b>0,a2-b2a2+b2a-ba+b=a+b2a2+b2=a2+b2+2aba2+b2=1+2aba2+b2>1,故a2-b2a2+b2>a-ba+b.
【加练备选】
已知:a,b∈(0,+∞),且a≠b,比较aabb与abba的大小.
解析：因为a,b∈(0,+∞),所以aabb>0,abba>0,作商:
aabbabba=(ab)a(ba)b=(ab)a(ab)-b=(ab)a-b.
①若a>b>0,则ab>1,a-b>0, (ab)a-b>1,此时aabb>abba成立;
②若b>a>0,则01,此时aabb>abba成立.
综上,aabb>abba.
题型二不等式性质的应用
角度1 由不等式性质判断不等式
[典例5](1)(多选题)(2022·佛山模拟)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是( )
A.若a>b,c>d,则a-d>b-c
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若ab>0,bc-ad>0,则ca>db
D.若a>b,c>d>0,则ad>bc
解析：选AC.根据题意,依次分析选项:
对于A,若a>b,c>d,则-d>-c,则有a-d>b-c,A正确;
对于B,当a=2,b=1,c=-1,d=-2时,ac=bd,B错误;
对于C,若ab>0,bc-ad>0,则bcab-adab>0,即ca-db>0,则有ca>db,C正确;
对于D,当a=-1,b=-2,c=2,d=1时,ad=bc=-1,D错误.
(2)(多选题)(2023·汕头模拟)已知a,b,c满足cA.ac(a-c)>0B.c(b-a)<0
C.cb2ac
解析：选BCD.因为a,b,c满足c0,b>0,a-c>0,b-a>0,
所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2ac.
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证;
(2)利用特殊值法排除错误选项;
(3)作差(商)法;
(4)构造函数,利用函数的单调性;
(5)利用基本不等式.
角度2 利用不等式的性质求取值范围
[典例6](1)已知2解析：因为2所以1当-1所以0<-ab<3,则-3当0当b=0时,ab=0,
综上,-3所以a+b的取值范围是1,8,ab的取值范围是-3,15.
答案:(1,8) (-3,15)
(2)已知-2≤x≤-1,2≤y≤3,求x-y,xy的取值范围.
解析：因为2≤y≤3,所以-3≤-y≤-2,
因为-2≤x≤-1,所以-5≤x-y≤-3;
因为-2≤x≤-1,2≤y≤3,
所以1≤-x≤2,13≤1y≤12,
所以13≤-xy≤1,所以-1≤xy≤-13.
所以x-y的取值范围为[-5,-3],xy的取值范围为-1,-13.
求代数式的取值范围的解题策略
1.求形如a-b的取值范围,要先求-b的取值范围,再加a的取值范围即为a-b的取值范围;
2.求形如ab的取值范围,要借助反比例函数的图象先求出1b的取值范围,再与a遵循“同向同正可乘性”的原则求出ab的取值范围;
3.已知M1(1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);
(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围.
1.(2023·日照模拟)若a,b,c为实数,且a0,则下列不等关系一定成立的是( )
A.a+cC.ac>bcD.b-a>c
解析：选A.对于A选项,由不等式的基本性质知,不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变,则a对于B选项,若a=-2,b=-1,则1a>1b,B选项错误;
对于C选项,由不等式的基本性质知,不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变,c>0,0对于D选项,因为a0,c>0,所以无法判断b-a与c大小,D选项错误.
2.若x,y满足-π4A. (-π2,0)B. (-π2,π2)
C. (-π4,0)D. (-π4,π4)
解析：选A.由x因为-π4所以-π23.已知-1<2s+t<2,3解析：设5s+t=m(2s+t)+n(s-t),
则5s+t=(2m+n)s+(m-n)t,
则2m+n=5m-n=1,解得m=2n=1,
则5s+t=2(2s+t)+(s-t),
因为-1<2s+t<2,所以-2<2(2s+t)<4,
又因为3所以1<2(2s+t)+(s-t)<8,即1<5s+t<8,
所以5s+t的取值范围是(1,8).
答案:(1,8)
【加练备选】
已知有理数a,b,c,满足a>b>c,且a+b+c=0,那么ca的取值范围是 .
解析：由于a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-a-c,-a-c-c,ca>-2,
-a-c>c,-a>2c,ca<-12,所以-2-12.
答案: (-2,-12)
【备选题型】新定义问题
[典例]若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.
(1)若x比12远离1,求实数x的取值范围;
(2)若m≤1,x+y=2,试问:x与x2+y2哪一个更远离m?并说明理由.
解析：(1)由x比12远离1,则x-1>12-1,即x-1>12,所以x-1>12或x-1<-12,得x<12或x>32,
所以x的取值范围是(-∞,12)∪(32,+∞).
(2)因为x2+y2≥(x+y)22=2>m,
有|x2+y2-m|=x2+y2-m,
因为x+y=2,所以x2+y2=2x2-4x+4.
从而|x2+y2-m|-|x-m|=2x2-4x+4-m-|x-m|,①当x≥m时,|x2+y2-m|-|x-m|=2x2-4x+4-m-(x-m)=2(x-54)2+78>0,即|x2+y2-m|>|x-m|;
②当x0.
所以2(x-34)2+238-2m>0,
即|x2+y2-m|>|x-m|.
综上,|x2+y2-m|>|x-m|,即x2+y2比x更远离m.
不等式新定义问题的求解策略
(1)新定义问题顾名思义就是给定一个新的概念,根据这种新定义解决相关的问题;
(2)根据题意套用新定义,转化到所学的不等式的知识进行解决.
对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若ab>cd,那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”.
(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
(2)已知点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,判断是否一定存在点P,满足既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”,若存在,写出一个点P坐标,并证明;若不存在,则说明理由.
解析：(1)因为对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:
若ab>cd,那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”,
所以点(3,5)的一个“上位点”坐标是(3,4)和一个“下位点”坐标是(3,6);
(2)因为点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,
所以一定存在点P(a+c,b+d)满足既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”,
证明如下:
因为点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,
所以ab>cd,即ad>bc,
所以a+cb+d-cd=ad+cd-bc-dcbd+d2=ad-bcbd+d2>0,
即a+cb+d>cd,所以点P(a+c,b+d)是点(c,d)的“上位点”,
所以a+cb+d-ab=ab+cb-ab-adbd+b2=bc-adbd+d2<0,
即a+cb+d综上:点P(a+c,b+d)满足既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”.
关系
方法
作差法 (与0比较)
作商法 (与1比较)
a>b
a-b > 0
ab > 1(a,b>0)或ab < 1(a,b<0)
a=b
a-b = 0
ab = 1(b≠0)
aa-b < 0
ab < 1(a,b>0)或ab > 1(a,b<0)
性质
性质内容
对称性
a>b⇔ ba
传递性
a>b,b>c⇒ a>c ;
a可加性
a>b⇔ a+c>b+c
移项法则
a+b>c⇔a>c-b
可乘性
a>b,c>0⇒ ac>bc ;
a>b,c<0⇒ ac同向可加性
a>b,c>d⇒ a+c>b+d
同向同正
可乘性
a>b>0,c>d>0⇒ ac>bd
正可乘方性
a>b>0⇒ an>bn (n∈N,n≥2)
教材改编
结论应用
易错易混
2,3
1,4
5,6