高考数学复习第二章　第二节　基本不等式（导学案）

这是一份高考数学复习第二章　第二节　基本不等式（导学案），共15页。


1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b≥0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
1.基本不等式
2.利用基本不等式求最值
已知x,y都是正数.
(1)如果x+y=S(定值),则xy≤x+y22= S24 (当且仅当“x=y”时取“=”).即“和定积最大”.
(2)如果xy=P(定值),则x+y≥2xy= 2P (当且仅当“x=y”时取“=”).即“积定和最小”.
点睛连续使用不等式要注意等号成立的条件保持一致.
1.a2+b2≥a+b22(沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式)
2.ab≤a2+b22(沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式)
3.ab≤a+b22(沟通两积ab与两和a+b的不等关系式)
4.重要不等式串:21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a,b都是正数)即调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).
1.(结论3)已知a+b=1,若a>0且b>0,则ab的最大值为( )
A.1B.12C.14D.18
解析：选C.由基本不等式变形得ab≤a+b22,
所以ab≤14,所以ab的最大值为14.
2.(忽视范围)若x<0,则x+1x的最大值为( )
A.-2B.-22C.-32D.2
解析：选A.当x<0时,-x>0,所以x+1x=--x+-1x≤-2-x·-1x=
-2(当且仅当-x=-1x,即x=-1时取等号),所以x+1x的最大值为-2.
3.(教材变式)若x>-2,则fx=x+1x+2的最小值为( )
A.0B.1C.2D.3
解析：选A.由x>-2,得x+2>0,1x+2>0,
所以f(x)=x+1x+2=x+2+1x+2-2≥2(x+2)×1x+2-2=0,
当且仅当x+2=1x+2即x=-1时等号成立.
4.(结论1)若a+b=1,则a2+b2的最小值为( )
A.2B.12C.13D.2
解析：选B.因为a+b=1,所以a2+b2≥a+b22=12,当且仅当a=b=12时,等号成立.
5.(忽视等号成立的条件)函数y=x2+4x2-2(-1A.{y|y>2}B.{y|y≥2}
C.yy≥3D.yy>3
解析：选D.令t=x2,01+41=5,所以y=x2+4x2-2>5-2=3.
6.(教材提升)已知0解析：因为0当且仅当3x=4-3x,即x=23时取等号,
故x4-3x的最大值为43.
答案:43
题型一利用基本不等式求最值
角度1 直接法求最值
[典例1](1)若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( )
A.9B.18C.36D.81
解析：选A.因为x+y=18,所以xy≤x+y2=9,当且仅当x=y=9时,等号成立.
(2)已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+13b的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
解析：选C.因为2a-b-2=0,所以2a-b=2,
因为32a>0,3-b>0,所以9a+13b=32a+3-b≥
232a×3-b=232a-b=232=6,
当且仅当32a=3-b2a-b=2,即a=12b=-1时,取等号,故9a+13b的最小值为6.
直接利用基本不等式求最值的解题策略
1.满足条件:“一正”“二定”“三相等”.其中“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指满足等号成立的条件.
2.若等号不成立,要借助对勾函数的图象求最值.
角度2 拼凑法求最值
[典例2](1)当x>0时,函数y=3+x+x21+x的最小值为( )
A.23B.23-1C.23+1D.4
解析：选B.因为x>0,所以y=3+x+x21+x=31+x+x=31+x+x+1-1≥231+x·x+1
-1=23-1,当且仅当31+x=x+1,即x=3-1时,等号成立.
(2)(多选题)(2022·廊坊模拟)已知a>1,则2a+2a-1的取值可以是( )
A.5B.6C.7D.8
解析：选BCD.因为a>1,所以a-1>0,
2a+2a-1=2+2(a-1)+2a-1
≥2+2 2(a-1)·2a-1=6,
当且仅当a=2时,等号成立,
故2a+2a-1的最小值为6,故2a+2a-1的取值可以是6,也可以是7或8.
拼凑法求最值的解题策略
1.拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;
2.对于一次二次或二次一次的分式型代数式需要先化简,再拼凑,最后利用基本不等式或对勾函数解决相应最值问题.
提醒注意验证等号取得的条件.
角度3 常值代换法求最值
[典例3](2022·焦作模拟)已知a>0,b>0,且点a,b在直线x+y=4上,则4a+36b的最小值为 .
解析：由题意知a+b=4,故4a+36b=14a+b4a+36b=144ba+36ab+40≥1424ba·36ab+40=1424+40=16,当且仅当4ba=36ab,即b=3a,a=1,b=3时取等号.
答案:16
[变式1]本例中,若正实数a,b满足4a+36b=1,则a+b的最小值是 .
解析：因为a,b均为正实数,且4a+36b=1,
所以a+b=a+b(4a+36b)=40+4ba+36ab
≥40+24ba·36ab=40+24=64,
当且仅当4ba=36ab,即b=3a,a=1,b=3时取等号,所以a+b的最小值是64.
答案:64
[变式2]本例中,设a>0,b>1,若a+b=2,则4a+1b-1的最小值为( )
A.6B.9C.32D.18
解析：选B.因为a>0,b>1,且a+b=2,所以b-1>0且a+(b-1)=1,
所以4a+1b-1=(4a+1b-1)[a+(b-1)]
=5+4(b-1)a+ab-1≥5+24(b-1)a·ab-1=9,
当且仅当4(b-1)a=ab-1,即a=23且b=43时取等号,故4a+1b-1的最小值为9.
[变式3]本例中,若a,b都是正数,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为( )
A.4B.8C.43D.42
解析：选A.因为a,b都是正数,且ab=1,
所以12a+12b+8a+b=b2+a2+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2·8a+b=4,
当且仅当a+b=4时等号成立.
——自主归纳,老师指导
常值代换法主要解决以下最值问题
(1)已知形如或可化为cx+dy=t(t为常数),求ax+by的最值;
(2)已知形如或可化为ax+by=t,求cx+dy型的最值;
(3)求解时要注意把已知条件变形为“1”的形式,将ax+by看作是(ax+by)·cx+dyt或cx+dy看作是(cx+dy)·(atx+bty),变形后利用基本不等式求最值.
角度4 消元法求最值
[典例4](1)已知正实数a,b满足ab+2a-2=0,则4a+b的最小值是( )
A.2B.42-2C.43-2D.6
解析：选B.由ab+2a-2=0,得a=2b+2,
所以4a+b=8b+2+b=8b+2+(b+2)-2
≥28b+2·(b+2)-2=42-2,
当且仅当a=2b+2,8b+2=b+2,即a=22,b=22-2时取等号.
(2)(2022·温州模拟)若正实数a,b满足b+3a=2ab,则a+bab2的最大值为 .
解析：因为正实数a,b满足b+3a=2ab,
所以a=b2b-3,则a+bab2=b+b2b-3b32b-3=-2b2+2b
=-2(1b-12)2+12,
当1b=12,即b=2时取得最大值12.
答案:12
消元法求最值解题策略
对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度3”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.
角度5 由条件等式求a+b或ab的最值
[典例5]金榜原创·易错对对碰
(1)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则xy的取值范围是 .
解析：因为x>0,y>0,所以x+y≥2xy,当且仅当x=y时取等号,
即3-xy≥2xy,解得0即0所以xy的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
(2)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则x+y的取值范围是 .
解析：由x>0,y>0,3-x+y=xy≤x+y22,当且仅当x=y时取等号,
得x+y2+4x+y-12≥0,所以x+y≥2,
又3-x+y=xy>0,
所以x+y<3,
所以x+y的取值范围是[2,3).
答案:[2,3)
——自主完善,老师指导
已知a+b+ab+m=0(m为常数),求a+b或ab的最值的解题策略
1.若求a+b的取值范围,将上式变形为ab=
-(a+b)-m,再利用ab≤(a+b2)2,得到-(a+b)-m≤(a+b2)2,解出a+b的取值范围;
2.若求ab的取值范围,将上式变形为a+b=-ab-m,再利用a+b≥2ab,得到-ab-m≥2ab,解出ab的取值范围.
1.若x>0,则4xx2+1的最大值为( )
A.2B.3C.4D.5
解析：选A.当x>0时,4xx2+1=4x+1x≤42x·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立.
2.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y≤1B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1
解析：选BC.因为ab≤a+b22≤a2+b22(a,b∈R),由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3x+y22,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以A错误,B正确;
由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤x2+y22,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,所以C正确;
因为x2+y2-xy=1变形可得x-y22+34y2=1,设x-y2=cs θ,32y=sin θ,所以x=cs θ+
13sin θ,y=23sin θ,因此x2+y2=cs2θ+53sin2θ+23sin θcs θ=1+13sin 2θ-13cs 2θ+13=43+23sin2θ-π6∈23,2,所以x2+y2≥1不成立,所以D错误.
3.(2023·石家庄模拟)已知ab>0,a+b=1,则a+4bab的最小值为 .
解析：因为ab>0,a+b=1,所以a+4bab=a+b1b+4a=ab+4ba+5≥2ab·4ba+5=9,当且仅当ab=4ba时,等号成立.所以a+4bab的最小值为9.
答案:9
4.已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则x+2y的最小值是 .
解析：由x>0,y>0,x+y+xy-3=0,得x=-y+3y+1=-1+4y+1,x+2y=-1+4y+1+2y=4y+1+2y+1-3≥42-3,当且仅当4y+1=
2y+1,即y=2-1时等号成立.
答案:42-3
【加练备选】
1.已知0A.50B.49C.25D.7
解析：选B.因为0当且仅当9(1-x)x=16x1-x,即x=37时等号成立,所以9x+161-x的最小值为49.
2.(2022·绍兴模拟)若直线ax-by-3=0(a>0,b>0)过点(1,-1),则a+1+b+2的最大值为 .
解析：直线ax-by-3=0过点(1,-1),则a+b=3,又a>0,b>0,设t=a+1+b+2,则t>0,
t2=a+1+b+2+2a+1b+2=6+2a+1b+2,
由a+1b+2≤(a+1+b+22)2=9,当且仅当a+1=b+2,即a=2,b=1时等号成立.
所以t2=6+2(a+1)(b+2)≤12,即0所以a+1+b+2的最大值为23,当且仅当a=2,b=1时等号成立.
答案:23
题型二基本不等式的实际应用
[典例6]某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为( )
A.20 mB.50 m
C.1010 mD.100 m
解析：选B.设BC=x m,x>0,则CD=1 000xm,
所以S矩形A1B1C1D1=x+101 000x+4
=1 040+4x+10 000x≥1 040+24x·10 000x=1 440,当且仅当4x=10 000x,即x=50时,等号成立,所以当BC的长度为50 m时,整个项目A1B1C1D1占地面积最小.
基本不等式实际应用问题的解题策略
1.理解题意,设出变量,建立函数模型,把实际问题抽象为函数的最值问题.
2.注意定义域,验证取等条件.
3.注意实际问题隐藏的条件,比如整数,单位换算等.
(2023·南宁模拟)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比;若在距离车站10 km处建仓库,则y1和y2分别为2万元和8万元,这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小?并求出该值.
解析：设y1=kx,y2=tx,当x=10时,k10=2,10t=8,所以k=20,t=0.8,
所以y1=20x,y2=0.8x,
所以两项费用之和为z=y1+y2=20x+0.8x
≥220x×0.8x=8.
当且仅当20x=0.8x时,即当x=5时等号成立.
即应将仓库建在距离车站5 km处,才能使两项费用之和最小,且最小费用为8万元.
【加练备选】
(2022·邢台模拟)第五届中国国际进口博览会在上海举行.某跨国公司带来了高端空调模型参展,通过展会调研,中国甲企业计划在2023年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元,生产x千台空调,需另投入资金R万元,且R=10x2+ax,0≤x<40901x2-9 450x+10 000x,x≥40.经测算,当生产10千台空调时需另投入的资金R=4 000万元.现每台空调售价为0.9万元时,当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2023年该企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式;
(2)2023年产量为多少时,该企业所获年利润最大?最大年利润为多少?注:利润=销售额-成本.
解析：(1)由题意知,当x=10时,Rx=10×102+10a=4 000,所以a=300.
当0≤x<40时,W=900x-10x2+300x-260=-10x2+600x-260;
当x≥40时,W=900x-901x2-9 450x+10 000x-260,
所以W=-10x2+600x-260,0≤x<40-x2+9 190x-10 000x,x≥40
(2)当0≤x<40时,W=-10x-302+8 740,所以当x=30时,W有最大值,最大值为8 740;
当x≥40时,W=-(x+10 000x)+9190≤-2x·10 000x+9 190=8 990,
当且仅当x=10 000x,即x=100时,W有最大值,最大值为8 990.因为8740<8 990,
所以当2023年产量为100千台时,该企业的年利润最大,最大年利润为8 990万元.
题型三利用基本不等式求参数的取值范围
角度1 利用基本不等式求解恒成立问题
[典例7]已知正数x,y满足x-2y-1=2,若不等式x+2y>m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.8,+∞B.4,+∞C.-∞,8D.-∞,4
解析：选C.因为x>0,y>0,则x-2y-1=xy-x+2y+2=2,所以x+2y=xy,
所以2x+1y=1,
所以x+2y=x+2y2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx·xy=8,当且仅当4yx=xy,即x=4,y=2时等号成立.
又x+2y>m恒成立,所以m<8.
——自主完善,老师指导
利用基本不等式解决恒成立问题的解题策略
1.含参的不等式恒成立问题,若能分离参数,则分离后利用最值转化法求解;
2.若a>f(x)恒成立,则a>f(x)max;若a角度2 利用均值不等式解决有解问题
[典例8]若x>0,不等式8xx2+4>m2-m有解,则实数m的取值范围是 .
解析：因为x>0,所以8xx2+4=8x+4x≤82x·4x=2,当且仅当x=4x,即x=2时取等号,
所以8xx2+4max=2,所以m2-m<2,
即m+1m-2<0,得-1答案:-1,2
——自主完善,老师指导
利用基本不等式解决有解问题的解题策略
1.含参的不等式有解问题,若能分离参数,则分离后利用最值转化法求解;
2.若a>f(x)有解,则a>f(x)min;若a1.(多选题)(2023·南通模拟)实数x,y满足xy+3x=30A.-3B.-2C.4D.5
解析：选AD.因为实数x,y满足xy+3x=3(03,
所以3x+1y-3=y+3+1y-3=y-3+1y-3+6≥2y-3·1y-3+6=8,
当且仅当y=4时,等号成立,所以m2-2m>8,即m2-2m-8>0,解得m<-2或m>4.
2.(2023·潍坊模拟)若正实数x,y满足x+y=4,且不等式3x+2+3y≥m2-2m-1恒成立,则实数m的取值范围为 .
解析：因为两个正实数x,y满足x+y=4,所以x+2+y=6,
所以3x+2+3y=16(3x+2+3y)(x+2+y)=16(6+3yx+2+3(x+2)y)≥16(6+29)=2,
当且仅当3yx+2=3(x+2)y,即x=1,y=3时等号成立,所以(3x+2+3y)min=2,
所以若不等式3x+2+3y≥m2-2m-1恒成立,
则2≥m2-2m-1,解得-1≤m≤3,
答案:-1,3
【加练备选】
(2022·北京模拟)设a∈R,若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,则( )
A.a≤2B.a≥2C.a≤52D.a≥52
解析：选C.由x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,得x2+1x≥a在1≤x≤2上有解,
则a≤x2+1xmax,由于x2+1x=x+1x,而x+1x在1≤x≤2上单调递增,故当x=2时,x+1x取最大值为52,故a≤52.
【备选题型】齐次化求最值
[典例]已知a>0,b>0,且a+2b=1,则1b+b2a+b的最小值为 .
解析：1b+b2a+b=a+2bb+b2a+b=a+12b+32bb+b2a+b=2a+b2b+b2a+b+32≥22a+b2b·b2a+b+32=2+32,当且仅当2a+b2b=b2a+b,即a=42-57,b=6-227时取等号,
即1b+b2a+b的最小值为32+2.
答案:32+2
齐次化求最值的解题策略
齐次化就是含有多元的问题,通过代入已知条件,拆项、分子、分母同时除以某个表达式得到一个整体,然后转化为运用基本不等式进行求解.
已知x,y,z为正实数,且x+2y-4z=0,则xyz2的最大值为 .
解析：因为x+2y-4z=0,所以z=x+2y4,
又x,y,z为正实数,所以x+2y≥2x·2y,当且仅当x=2y时取等号,
所以z=x+2y4≥2xy2,即z2≥xy2,所以xyz2≤2,当且仅当x=2y时取等号,所以xyz2的最大值为2.
答案:2
公式
ab≤a+b2
成立的条件
a>0,b>0
等号成立的条件
a=b
算术平均数
a+b2
几何平均数
ab
教材改编
结论应用
易错易混
3,6
1,4
2,5