高考数学一轮复习第1章第3课时不等式的性质与一元二次不等式学案

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2．理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，掌握一元二次不等式的解法.
1．两个实数比较大小的方法
2．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔b性质2 传递性：a>b，b>c⇒a>c；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根．
[常用结论]
1．有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则bab-ma-m(b－m>0)；
(2)若ab>0，且a>b，则1a<1b.
2．分式不等式的解法
(1)fxgx>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；
(2)fxgx≥0(≤0)⇔fxgx≥0≤0，gx≠0．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＞b，则ac2＞bc2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(4)x-ax-b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为( )
A．{x|x<1} B．{x|x>3}
C．{x|x<1或x>3} D．{x|1C [由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>3}，故选C.]
2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编) (链接常用结论1)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添加m克水(m>0)，糖水就变淡了，下面哪一个式子可以说明这一事实( )
A．ab+m＜ab B．ab+m＞ab
C．ab＜a+mb+m D．a+mb+m＜ab
A [向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为ab+m，此时浓度变小，糖水变淡，即ab+m＜ab，故选A.]
3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空．
(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d；
(2)如果a＞b＞0，那么1a2________1b2；
(3)如果c＞a＞b＞0，那么ac-a________bc-b.
[答案] (1)＜ (2)＜ (3)＞
4．(人教A版必修第一册P42习题2.1T5改编)已知－1(－6，5) [∵－3又－1考点一比较两个数(式)的大小
[典例1] 若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则( )
A．aC．cB [法一(作差法)：
a－b＝ln33-ln44＝4ln3-3ln412＝ln81-ln6412＞0，
b－c＝ln44-ln55＝5ln4-4ln520＝ln1024-ln62520＞0，
所以a＞b＞c.
法二(作商法)：
易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝lg8164＜1，所以a＞b；bc＝5ln44ln5＝lg6251 024＞1，所以b＞c.即c＜b＜a.
法三(单调性法)：
对于函数y＝f(x)＝lnxx，y′＝1-lnxx2.
易知当x＞e时，函数f(x)单调递减．
因为e＜3＜4＜5，
所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即c＜b＜a.]
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
[跟进训练]
1．(1)若a<0，b<0，则p＝b2a+a2b与q＝a＋b的大小关系为( )
A．pC．p>q D．p≥q
(2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．
(1)B (2)aabb>abba [(1)p－q＝b2a+a2b－a－b
＝b2-a2a+a2-b2b＝(b2－a2)·1a-1b
＝b2-a2b-aab＝b-a2b+aab，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
又(b－a)2≥0，所以p－q≤0.
综上，p≤q.
(2)因为aababa＝aa-bba-b＝aba-b，
又a>b>0，故ab>1，a－b>0，
所以aba-b>1，即aababa>1，
又abba>0，所以aabb>abba.]
考点二不等式的性质及应用
[典例2] (1)若a0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．1a<1b B．a－1bC．ln (b－a)>0 D．abc>bac
(2)(多选)(2023·扬州模拟)已知实数x，y满足－3A．x的取值范围为(－1，2)
B．y的取值范围为(－2，1)
C．x＋y的取值范围为(－3，3)
D．x－y的取值范围为(－1，3)
(1)D (2)ABD [(1)对选项A，1a-1b＝b-aab，因为a0，b－a>0，即b-aab>0，所以1a>1b，故A错误；对选项B，a－1b-b-1a＝a－b＋1a-1b＝a-b·ab-1ab，因为a0，所以ln (b－a)的取值范围为R，故C错误；对选项D，因为a0，ba>0，因为 ab-ba＝a2-b2ab>0，
所以ab>ba，又因为c>0，所以y＝xc在0，+∞上单调递增，
所以abc>bac，故D正确．故选D.
(2)因为－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8．因为－3因为－3因为－1<2x－y<4，所以－4<－2x＋y<1，
所以－10<5y<5，所以－2因为－3所以－95<35(x＋2y)<65，－15<15(2x－y)<45，则－2因为－3所以－25<－15(x＋2y)<35，－35<35(2x－y)<125，则－1【教师备选题】
1．现有三个房间需要粉刷，粉刷要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xA．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
B [由x0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx.同理ay＋bz＋cx2．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[5，10] [设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得m+n=4，n-m=-2，解得m=3，n=1.
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.]
求解此类问题应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．
[跟进训练]
2．(1)(多选)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的真命题是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若bc－ad≥0，bd>0，则a+bb≤c+dd
C．若aab
D．若a>b，1a>1b，则a>0，b<0
(2)已知12(1)ABD (2)(－24，45) 13，4 [(1)对于A，若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，故A正确；对于B，若bc－ad≥0，bd>0，则bc-adbd≥0，化为cd≥ab，可得a+bb≤c+dd，故B正确；对于C，若ab2>0，ab>0，则ba-ab＝b2-a2ab<0，故bab，1a>1b，则1a-1b＝b-aab>0，所以ab<0，所以a>0，b<0，故D正确．
(2)因为15又12所以12－36所以－24即a－b的取值范围是(－24，45)．
因为136<1b<115，所以1236所以ab的取值范围是13，4.]
考点三一元二次不等式的解法
[典例3] (1)不等式0(2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
(1){x|－2≤x<－1或20，x2-x-2≤4，即x2-x-2>0，x2-x-6≤0，
解得x>2或x<-1，-2≤x≤3.
故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2(2)[解] 原不等式可化为(x－a)(x－1)<0.
当a>1时，原不等式的解集为{x|1当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a<1时，原不等式的解集为{x|a[拓展变式] 将本例(2)中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
[解] 原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
因为a>0，所以ax-1a(x－1)<0.
所以，当a>1时，解得1a当a＝1时，解集为∅；
当0综上，当01时，不等式的解集为x1a 解含参数的一元二次不等式的步骤
[跟进训练]
3．(1)(链接常用结论2)不等式1-x2+x≥0的解集为( )
A．[－2，1]
B．(－2，1]
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是x-12(3)解关于x的不等式：x2＋ax＋1＜0(a∈R)．
(1)B (2){x|x≥3或x≤2} [(1)1-x2+x≥0等价于(1-x)(2+x)≥0，2+x≠0， ⇒（x－1）（x＋2）≤0，x＋2≠0，
∴－2＜x≤1，即解集为(－2，1].故选B.
(2)由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以-12+-13=ba，-12×-13=-1a，解得a=-6，b=5. 故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.]
(3)[解] Δ＝a2－4.
①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．
②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝-a+a2-42，x2＝-a-a2-42，
则原不等式的解集为x-a-a2-42＜x＜-a+a2-42.
综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．
当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为x-a-a2-42＜x＜-a+a2-42.
课时分层作业(三) 不等式的性质与一元二次不等式
一、选择题
1．(2023·河北大名一中模拟)已知集合A＝x2x2+x-6≤0，B＝xx+3x-1<0，则A∪B＝( )
A．x-2≤x<1 B．x-2≤x≤1
C．x-3C [A＝x2x2+x-6≤0＝x-2≤x≤32 ，
B＝xx+3x-1<0＝x-32．若6A．[9，18] B．(15，30)
C．[9，30] D．(9，30)
D [因为a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a，因为63．(2023·广东深圳外国语模拟)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A．1a<1b B．a2>b2
C．ac2+1>bc2+1 D．a|c|>b|c|
C [当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但1a>1b，a20，a>b，由不等式的性质得ac2+1>bc2+1，C正确；当c＝0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，故选C.]
4．(2023·山东临沂模拟)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A B
C D
B [∵不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2∴a<0，方程ax2－x－c＝0的两个根为－2和1，则－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，∴a＝－1，c＝－2，
∴f(x)＝ax2－x－c＝－x2－x＋2，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，与x轴交于点(－1，0)，(2，0)．故选B.]
5．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－1＜x＜2}，则下列选项正确的是( )
A．b<0且c>0
B．a－b＋c>0
C．a＋b＋c>0
D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2＜x＜1}
ABD [对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝ba，－1×2＝ca，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；令f(x)＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－ba＝－1，x1x2＝ca＝－2，所以两根分别为－2和1．所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2＜x＜1}，所以D正确．]
6．(多选)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是( )
A．1ac>1bc
B．bac>abc
C．(1－c)a<(1－c)b
D．lgb(a＋c)>lga(b＋c)
CD [由题意知，a>b>1>c>0，
所以对于A，ac>bc>0，故1ac<1bc，所以A错误；
对于B，取a＝3，b＝2，c＝12，
则bac＝23，abc＝32，所以bac对于C，因为0<1－c<1，且a>b，
所以(1－c)a<(1－c)b，故C正确；
对于D，a＋c>b＋c>1，
所以lgb(a＋c)>lgb(b＋c)>lga(b＋c)，故D正确．]
二、填空题
7．已知三个不等式①ab>0；②ca>db；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个真命题．
3 [①②⇒③，③①⇒②.(证明略)
由②得bc-adab>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0，即为①.所以可以组成3个真命题．]
8．不等式axx-1＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为________．
12 [原不等式转化为a-1x+1x-1＜0，由条件可知a－1＜0且-1a-1＝2，解得a＝12，∴a的值为12.]
9．(2022·湖南师大附中模拟)已知定义在R上的运算“⊗”：x⊗y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a)⊗(x＋a)>0.
(1)当a＝2时，不等式的解集为________；
(2)若∀x∈[0，1]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．
(1){x|－10为(x－2)(1－x－2)>0，即(x－2)(x＋1)<0，解得－1(2)不等式(x－a)⊗(x＋a)>0为(x－a)(1－x－a)>0，
即－x2＋x＋a2－a>0，
不等式对∀x∈[0，1]恒成立，设y＝－x2＋x＋a2－a，
则只要∀x∈[0，1]，ymin>0，
y＝－x-122＋14＋a2－a，
当x＝0或x＝1时，ymin＝a2－a，
所以ymin＝a2－a>0，解得a<0或a>1.]
三、解答题
10．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是x12 (1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
[解] (1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为12和2，代入方程解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，
即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为x-3＜x＜12.
11．不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为∅，求实数m的取值范围．
[解] ∵不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为∅，∴不等式(m＋1)x2－mx＋m－1≥0对任意x∈R恒成立．
①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式化为x－2≥0，
解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；
②当m＋1≠0，即m≠－1时，对任意x∈R，
要使(m＋1)x2－mx＋m－1≥0恒成立，
只需m＋1>0且Δ＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)≤0，
解得m≥233.
综上，实数m的取值范围是233，+∞.
12．(多选)已知命题p：关于x的不等式x2－2ax－a>0的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是( )
A．－1C．－1≤a≤0 D．a≥－1
CD [命题p：关于x的不等式x2－2ax－a>0的解集为R，则Δ＝4a2＋4a<0，解得－113．(多选)已知两个不为零的实数x，y满足xA．3|x－y|>1 B．xyC．x|x|AC [因为x0，所以3|x－y|>1，则A正确；因为xy2，则B错误；令f(x)＝x|x|＝x2，x≥0，-x2，x<0，易知f(x)在R上单调递增，又xe-1－e，则D错误．故选AC.]
14．设函数f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是{x|1＜x＜5}．若对于任意x∈[1，3]，不等式f(x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．
[－10，＋∞) [由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b2＝6，c2＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f(x)＝2x2－12x＋10.不等式f(x)≤2＋t在x∈[1，3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10.]
15．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是{x|0＜x＜5}．
(1)若不等式组fx>0，fx+k<0的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1，1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
[解] (1)因为不等式f(x)<0的解集是{x|0＜x＜5}，所以0，5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
可得0+5=-b2，0×5=c2，解得b=-10，c=0.
所以f(x)＝2x2－10x.
不等式组fx>0， fx+k<0，
即2x2-10x>0， 2x2+2kx+k2-10x+k<0，
解得x<0或x>5， -k因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k≤7，解得－2≤k<－1，
所以k的取值范围是[－2，－1)．
(2)tf(x)≤2，即t(2x2－10x)≤2，即tx2－5tx－1≤0，
当t＝0时显然成立，
当t>0时，有t+5t-1≤0，t-5t-1≤0，解得－14≤t≤16，所以0当t<0时，函数y＝tx2－5tx－1在[－1，1]上单调递增，
所以只要其最大值满足条件即可，
所以t－5t－1≤0，解得t≥－14，即－14≤t<0，
综上，t的取值范围是-14，16.
关系
方法
作差法
作商法
a＞b
a－b＞0
ab＞1(a，b＞0)或ab＜1(a，b＜0)
a＝b
a－b＝0
ab＝1(b≠0)
a＜b
a－b＜0
ab＜1(a，b＞0)或ab＞1(a，b＜0)
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
xx≠-b2a
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅