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高考数学一轮复习第一章第三节不等式的性质与基本不等式学案
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这是一份高考数学一轮复习第一章第三节不等式的性质与基本不等式学案，共17页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
3．掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题．
自查自测
知识点一 两个实数比较大小的方法
1.已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为( )
A．PC．P>QD．不能确定
C 解析：因为P－Q＝a2＋3a＋3－(a＋1)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1>0，所以P>Q.
2．(教材改编题)已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为(x2＋1)2>x4＋x2＋1．
3．比较两数的大小：7+10________3+14.
> 解析：因为7+102＝17＋270，3+142＝17＋242，
所以7+102>3+142，所以7+10>3+14.
核心回扣
两个实数比较大小的方法
自查自测
知识点二 不等式的性质
1.(教材改编题)已知实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是( )
A．yx＜1B．ax＞ay
C．x＋a＞y＋aD．x2＞y2
C 解析：当x＝－2，y＝－3时，x＞y，但是yx＞1，x2＜y2，故A，D错误；当a＜0时，ax＜ay，B错误；C正确．
2．下列命题中，是真命题的是( B )
A．如果ac>bc，那么a>bB．如果ac2>bc2，那么a>b
C．如果ac>bc，那么a>bD．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d
3．已知－1(－6，5) 解析：因为－3核心回扣
自查自测
知识点三 基本不等式
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.( × )
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．( × )
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．( √ )
2．函数y＝xx2+1(x>0)的最大值为________.
12 解析：因为x＞0，所以y＝xx2+1＝1x+1x≤12，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立．
3．矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是．
4．已知012 解析：x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x+(1－x)22＝3×14＝34，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，等号成立．所以x(3－3x)取得最大值时x的值为12.
核心回扣
1.基本不等式：ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2.算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．(简记：和定积最大)
【常用结论】
1.倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；(2)a＜0＜b⇒1a＜1b；(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒ac＞bd；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.
2.常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)；(2)ab≤a+b22(a，b∈R)；(3)a+b22≤a2+b22(a，b∈R)；
(4)ba+ab≥2(a，b同号)．
应用1 (多选题)下列四个条件中，能推出1a＜1b的有( )
A．b＞0＞aB．0＞a＞b
C．a＞0＞bD．a＞b＞0
ABD 解析：因为1a＜1b等价于1a－1b＝b－aab＜0，当a＞b，ab＞0时，1a＜1b成立，故B，D正确．又正数大于负数，A正确，C错误．
应用2 已知a，b是不相等的正数，x＝a+b2，y＝a+b，则x，y的大小关系是( )
A．x>yB．y>x
C．x>2yD．y>2x
B 解析：因为a，b为不相等的正实数，所以y2＝a+b2＝a＋b.由基本不等式得a＋b＝a+b+a+b2>a+b+2ab2＝a+b22＝x2，所以y2>x2.又因为x>0，y>0，所以y>x. 故选B．
不等式的性质
考向1 利用不等式的性质比较大小
1．(多选题)已知实数a，b，c满足cA．ab>acB．c(b－a)>0
C．ac(a－c)<0D．cb2ABC 解析：因为c0，所以ab>ac，故A一定成立；又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立；又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb22．(多选题)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A．a121b
C．a+2b+2>ab D．ac3ABC 解析：因为y＝x12在(0，＋∞)上单调递增，所以a121b；因为a+2b+2－ab＝2b－ab+2b>0，所以a+2b+2>ab；当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不一定成立．
3．(2024·潍坊调研)下列对不等关系的判断，正确的是( )
A．若1a＜1b，则a3＞b3
B．若aa2＞bb2，则2a＜2b
C．若ln a2＞ln b2，则2|a|＞2|b|
D．若tan a＞tan b，则a＞b
C 解析：对于选项A，当a＝－1，b＝1时，满足1a＜1b，但a3＜b3，A错误；对于选项B，当a＝1，b＝－2时，满足aa2＞bb2，但2a＞2b，B错误；对于选项C，ln a2＞ln b2⇒a2＞b2⇒|a|＞|b|⇒2|a|＞2|b|，C正确；对于选项D，tanπ3＞tan2π3，但π3＜2π3，D错误．故选C.
判断不等式成立常用的三种方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
考向2 利用不等式的性质求取值范围
4．若－2(0，10) 解析：由－20，且－25．设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤x2y≤4，则x5y5的最大值是________.
32 解析：x5y5＝x2y31xy2，因为3≤x2y≤4，所以27≤x2y3≤64.因为2≤xy2≤3，所以13 ≤1xy2≤12.根据不等式的性质得9≤x2y31xy2≤32，即x5y5的最大值为32，当且仅当x2y＝4，xy2＝2，即x＝2，y＝1时，等号成立．
求含有字母的数(或式)的取值范围时应注意的两点
(1)要注意题设中的条件．
(2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．
利用基本不等式求最值
考向1 配凑法求最值
【例1】(1)若x＞2，则函数y＝x＋4x－2的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
D 解析：因为x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋4x－2＝(x－2)＋4x－2+2≥2x－2·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时取等号，所以函数y＝x＋4x－2的最小值为6.
(2)已知函数f (x)＝－x2x+1(x<－1)，则( )
A．f (x)有最小值4B．f (x)有最小值－4
C．f (x)有最大值4D．f (x)有最大值－4
A 解析：f (x)＝－x2x+1＝－x2－1+1x+1＝－x－1+1x+1＝－x+1+1x+1－2＝－(x＋1)＋1－x+1＋2.因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f (x)≥21＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝1－x+1，即x＝－2时，等号成立．故f (x)有最小值4.
配凑法求最值的依据、技巧
(1)依据：基本不等式．
(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合“一正、二定、三相等”的条件，然后利用基本不等式求最值．
考向2 常数代换法求最值
【例2】(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a+1b的最小值为________.
4 解析：因为a＋b＝1，
所以1a+1b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba+ab≥2+2ba·ab＝2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝12时，等号成立，故1a+1b的最小值为4.
(2)已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x＋2y的最小值为________.
94 解析：将x＋2y＝8xy两边同时除以xy，得2x+1y＝8，则4x＋2y＝18(4x＋2y)2x+1y＝1810+4yx+4xy ≥1810+24yx×4xy＝94.当且仅当4yx＝4xy，即y＝x＝38时，等号成立．故4x＋2y的最小值为94.
[变式1] 将本例(1)中的条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则1a+1b的最小值为________.
1＋223 解析：因为a＋2b＝3，所以13a+23b＝1，
所以1a+1b＝1a+1b13a+23b＝13+23+ a3b+2b3a≥1+2a3b·2b3a＝1+223，
当且仅当a＝2b时，等号成立．故1a+1b的最小值为1＋223.
[变式2] 若本例(1)条件不变，则1+1a1+1b的最小值为________.
9 解析：1+1a1+1b＝1+a+ba1+a+bb＝2+ba2+ab＝5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab＝9，
当且仅当a＝b＝12时，等号成立．
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求最值．
考向3 消元法求最值
【例3】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
6 解析：(方法一)由已知得9－(x＋3y)＝13·x ·3y≤13·x+3y22，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
(方法二)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1+y，
所以x＋3y＝9－3y1+y+3y＝9－3y+3y1+y1+y＝9+3y21+y＝31+y2－61+y+121+y
＝3(1＋y)＋121+y－6≥231+y·121+y－6＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝121+y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.
消元法求最值的技巧
(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．
(2)如果出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但一定要注意各个元的范围．
1．若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
C 解析：由lg a＋lg b＝lg (a＋b)，得lg (ab)＝lg (a＋b)，即ab＝a＋b，则有1a+1b＝1，所以a＋b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba+ab≥2+2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b的最小值为4.
2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )
A．223 B．23
C．33 D．233
A 解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝1－x26x.由x>0，y>0，即x>0，1－x26x>0，解得03．若a，b∈R，ab＞0，则a4+4b4+1ab的最小值为__________.
4 解析：因为ab＞0，所以a4+4b4+1ab≥24a4b4+1ab＝4a2b2+1ab＝4ab+1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当a2＝2b2，ab＝12时取等号，故a4+4b4+1ab的最小值是4.
利用基本不等式解决实际问题
【例4】当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电桩进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电桩的历年总利润y(单位：万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系，运营3年时总利润为20万元，运营6年时总利润最大，为110万元．
(1)求出y关于x的函数关系式；
(2)求运营的年平均总利润的最大值．(注：年平均总利润＝历年总利润运营年数)
解：(1)因为投入运营六年时总利润最大，为110万元，即二次函数开口向下，且顶点坐标为(6，110)，
可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋110(a<0)．
又运营三年时总利润为20万元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10，
则y＝－10(x－6)2＋110，即y＝－10x2＋120x－250(x∈N*)．
(2)由(1)得年平均总利润为yx＝－10x+25x+120≤－20x·25x＋120＝20，
当且仅当x＝25x，即x＝5时取等号．
所以运营的年平均总利润的最大值为20万元．
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用M(x)(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：M(x)＝k2x+3(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为203万元，设f (x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f (x)的表达式．
(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x)达到最小？并求最小值．
解：(1)依题意当x＝0时，M(0)＝203，即k3＝203，解得k＝20，
则f (x)＝8x＋20·202x+3＝8x+4002x+3(0≤x≤10)．
(2)f (x)＝8x＋4002x+3＝4(2x＋3)＋4002x+3－12≥242x+3·4002x+3－12＝80－12＝68.
当且仅当4(2x＋3)＝4002x+3，即x＝72时，等号成立．
答：当隔热层修建72 cm厚时，总费用f (x)达到最小，最小值为68万元．
两个不等式的几何解释及应用
鉴于不等式在实际生活中的广泛应用，以及在中学数学中的重要地位和在高考数学中的重要作用，高考数学对不等式知识有着重考查的趋势．对“基本不等式”的重点考查显得尤为突出，这是因为基本不等式是不等式中的重要不等式，应用它不仅可以证明不等式，同时对于部分函数的最值的求法是一个有力的工具．
[典题展示]
下图验证的不等式是( )
A．a2＋b2≥a＋bB．4ab≥a2＋b2
C．a＋b≥2ab D．a2＋b2≥2ab
思路展示 (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab表示最大的正方形的面积，每一个三角形的面积为12ab，一共8个，则其面积和为4ab，最小的正方形的面积为(b－a)2.由图可得(a＋b)2＝4ab＋(b－a)2，即a2＋b2＋2ab＝4ab＋(b－a)2，即a2＋b2＝2ab＋(b－a)2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．故选D.
(1)仔细分析图形中各边之间的关系，准确表示出有关图形的面积．
(2)找出图形面积之间的关系，找到与之对应的不等式．
(3)常用结论ab≤a+b22≤a2+b22.
《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图所示，点O为半圆的圆心，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于点D，连接OD．作CE⊥OD交OD于点E，则下列不等式可以表示CD≥DE的是( )
A．ab≥2aba+b(a＞0，b＞0)B．a+b2≥ab(a＞0，b＞0)
C.a2+b22≥a+b2(a＞0，b＞0)D．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
思路展示 如图，连接DB．因为AB是⊙O 的直径，所以∠ADB＝90˚.在Rt△ADB中，中线OD＝AB2＝a+b2.由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab，所以CD＝ab.
在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝CD2OD＝aba+b2＝2aba+b.
由CD≥DE得ab≥2aba+b. 故选A.
(1)注意灵活应用平面几何知识(如勾股定理、三角形全等、射影定理、相似等)求图形中有关线段的长度．
(2)常用结论21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)．
课时质量评价(三) 不等式的性质与基本不等式
1．(2024·徐州模拟)设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( )
A．P≥QB．P>Q
C．PA 解析：因为P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，所以P≥Q.
2．设a>0，则a＋a+4a的最小值为( )
A．2a+4B．2
C．4D．5
D 解析：a＋a+4a＝a+1+4a≥1+2a·4a＝5，当且仅当a＝4a，即a＝2时取等号．故选D．
3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( B )
A．ad＞bdB．ad＜bc
C．ac＞bdD．ac＜bd
4．若6A．[9，18]B．(15，30)
C．[9，30]D．(9，30)
D 解析：因为a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a.因为65．(2024·日照模拟)若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为( )
A．4πB．8π
C．12πD．16π
B 解析：设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱的高为24－r2，圆柱的侧面积为S＝2πr×24－r2＝4πr4－r2≤4π×r2+4－r22＝8π，当且仅当r＝4－r2，即r＝2时，等号成立．故选B．
6．(2024·潍坊质检)给出下列命题：
①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a2>b2；④|a|>b⇒a2>b2.
其中正确的命题是________.
② 解析：对于①，当c＝0时，ac2＝bc2，不满足题意，故①错误；对于②，因为a>|b|≥0，故a2>b2，故②正确；对于③，取a＝1，b＝－2，满足a>b，但a2＝1<4＝b2，故③错误；对于④，取a＝1，b＝－2，满足|a|>b，但a2＝1<4＝b2，故④错误．
7．1x+1yx+4y的最小值为______.
9 解析：1x+1yx+4y＝5＋xy+4yx≥5+24＝9，当且仅当xy＝4yx，即x＝4y>0时，等号成立，所以1x+1yx+4y的最小值为9.
8．(2024·菏泽模拟)若实数x，y满足x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值为________.
22 解析：2x＋4y≥22x×22y＝22x+2y＝22，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝14时取等号．
9．(数学与生活)某居民小区欲在一块空地上建一面积为1 200 m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3 m，东西的人行通道宽4 m，如图所示(图中单位：m)．问：如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？
解：设矩形停车场东西侧边长为x m(x>0)，则其南北侧边长为1 200x m，人行通道占地面积为S＝(x＋6)·1 200x+8－1 200＝8x＋7 200x+48≥28x·7 200x＋48＝2×240＋48＝528，当且仅当8x＝7 200x，即x＝30时，等号成立，故S min＝528 m2，此时1 200x＝40.所以，设计矩形停车场东西侧边长为30 m，南北侧边长为40 m，人行通道占地面积最小为528 m2.
10．已知对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥mxy恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(0，4]B．(0，2]
C．(－∞，4]D．(－∞，2]
C 解析：因为x>0，y>0，所以x＋4y≥mxy等价于m≤x+4yxy，即m≤x+4yxymin.又因为x+4yxy＝xy+4yx≥2xy·4yx＝4，当且仅当xy＝4yx，即x＝4y时，等号成立，所以m≤4，故m的取值范围是(－∞，4].
11．(学科交汇)(2024·泰安模拟)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品．实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品( )
A．大于20克B．小于20克
C．大于等于20克D．小于等于20克
C 解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝5ab，y＝20ba，故x＋y＝5ab+20ba≥25ab·20ba＝20，当且仅当a＝2b时取等号．故选C．
12．(多选题)已知1≤a≤5，a＋b＝8，则( )
A．－6≤a－b≤2B．7≤ab≤15
C．32≤a2＋b2≤50D．2a＋8b的最小值为128
AC 解析：对于A，由已知得，a－b＝2a－(a＋b)＝2a－8，又1≤a≤5，所以－6≤2a－8≤2，所以－6≤a－b≤2，故A正确；对于B，当a＝b＝4时，ab＝16，不等式不成立，故B错误；对于C，a2＋b2＝a2＋(8－a)2＝2a2－16a＋64＝2(a－4)2＋32，由1≤a≤5，得32≤2(a－4)2＋32≤50，故C正确；对于D，2a＋8b＝2a＋23b≥22a+3b，当且仅当a＝3b，即a＝6，b＝2时，等号成立，此时2a＋8b取得最小值128，但与1≤a≤5矛盾，故D错误．故选AC．
13．已知a>1，且(a－1)(b－1)＝4，则a＋b的最小值是________.
6 解析：由题意，得b>1，则a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2≥2a－1b－1+2＝24＋2＝6(当且仅当a－1＝b－1，即a＝b＝3时取等号)，故a＋b的最小值是6.
14．写出一个关于a与b的等式，使1a2+9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为________.
a2＋b2＝1 解析：该等式为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．
1a2+9b2＝1a2+9b2(a2＋b2)＝1＋9＋9a2b2+b2a2≥10+29a2b2·b2a2＝16，
当且仅当b2＝3a2时取等号，所以1a2+9b2是一个变量，且它的最小值为16.
15．(2024·聊城模拟)如图放置的边长为2的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OB·OC的最大值是________.
8 解析：设A(x，0)，D(0，y)，则x2＋y2＝4，所以B(x＋y，x)，C(y，x＋y)，于是OB·OC＝(x＋y，x)·(y，x＋y)＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)＝8，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
16．某市计划建设一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅．如图，点C，D在底边AB上，E，F分别在腰OB，OA上，已知OA＝OB＝30米，AB＝302 米，OE＝x米，x∈[14，20].
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为37kS，绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为12kS(k为正常数)，求总造价W关于S的函数W＝f (S)，并求当OE为何值时总造价W最低．
解：(1)由题意得，△OAB为等腰直角三角形，则EF＝2x米，DE＝22(30－x)米，所以S＝EF·DE＝x(30－x)＝－(x－15)2＋225.因为x∈[14，20]，所以S∈[200，225].故S＝－(x－15)2＋225，S∈[200，225].
(2)由题意得，矩形展厅的造价为37kS·S，绿化区(题图中阴影部分)的造价为12kS·(450－S)，所以W＝37kS·S+12kS·(450－S)＝25k·S+12×18S≥3006k，当且仅当S＝12×18＝x(30－x)，即x＝18时，等号成立，所以W＝f (S)＝25kS+216S，当OE为18米时，总造价W最低．关系
方法
作差法
作商法
a>b
a－b>0
ab>1(a，b>0)或ab<1(a，b<0)
a＝b
a－b＝0
ab＝1(b≠0)
aa－b<0
ab<1(a，b>0)或ab>1(a，b<0)
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔ba
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a同向
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc的符号
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向同正
可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>nb
同正
2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
3．掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题．
自查自测
知识点一 两个实数比较大小的方法
1.已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为( )
A．P
C 解析：因为P－Q＝a2＋3a＋3－(a＋1)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1>0，所以P>Q.
2．(教材改编题)已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为(x2＋1)2>x4＋x2＋1．
3．比较两数的大小：7+10________3+14.
> 解析：因为7+102＝17＋270，3+142＝17＋242，
所以7+102>3+142，所以7+10>3+14.
核心回扣
两个实数比较大小的方法
自查自测
知识点二 不等式的性质
1.(教材改编题)已知实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是( )
A．yx＜1B．ax＞ay
C．x＋a＞y＋aD．x2＞y2
C 解析：当x＝－2，y＝－3时，x＞y，但是yx＞1，x2＜y2，故A，D错误；当a＜0时，ax＜ay，B错误；C正确．
2．下列命题中，是真命题的是( B )
A．如果ac>bc，那么a>bB．如果ac2>bc2，那么a>b
C．如果ac>bc，那么a>bD．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d
3．已知－1
自查自测
知识点三 基本不等式
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.( × )
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．( × )
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．( √ )
2．函数y＝xx2+1(x>0)的最大值为________.
12 解析：因为x＞0，所以y＝xx2+1＝1x+1x≤12，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立．
3．矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是．
4．已知0
核心回扣
1.基本不等式：ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2.算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．(简记：和定积最大)
【常用结论】
1.倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；(2)a＜0＜b⇒1a＜1b；(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒ac＞bd；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.
2.常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)；(2)ab≤a+b22(a，b∈R)；(3)a+b22≤a2+b22(a，b∈R)；
(4)ba+ab≥2(a，b同号)．
应用1 (多选题)下列四个条件中，能推出1a＜1b的有( )
A．b＞0＞aB．0＞a＞b
C．a＞0＞bD．a＞b＞0
ABD 解析：因为1a＜1b等价于1a－1b＝b－aab＜0，当a＞b，ab＞0时，1a＜1b成立，故B，D正确．又正数大于负数，A正确，C错误．
应用2 已知a，b是不相等的正数，x＝a+b2，y＝a+b，则x，y的大小关系是( )
A．x>yB．y>x
C．x>2yD．y>2x
B 解析：因为a，b为不相等的正实数，所以y2＝a+b2＝a＋b.由基本不等式得a＋b＝a+b+a+b2>a+b+2ab2＝a+b22＝x2，所以y2>x2.又因为x>0，y>0，所以y>x. 故选B．
不等式的性质
考向1 利用不等式的性质比较大小
1．(多选题)已知实数a，b，c满足c
C．ac(a－c)<0D．cb2
A．a12
C．a+2b+2>ab D．ac3
3．(2024·潍坊调研)下列对不等关系的判断，正确的是( )
A．若1a＜1b，则a3＞b3
B．若aa2＞bb2，则2a＜2b
C．若ln a2＞ln b2，则2|a|＞2|b|
D．若tan a＞tan b，则a＞b
C 解析：对于选项A，当a＝－1，b＝1时，满足1a＜1b，但a3＜b3，A错误；对于选项B，当a＝1，b＝－2时，满足aa2＞bb2，但2a＞2b，B错误；对于选项C，ln a2＞ln b2⇒a2＞b2⇒|a|＞|b|⇒2|a|＞2|b|，C正确；对于选项D，tanπ3＞tan2π3，但π3＜2π3，D错误．故选C.
判断不等式成立常用的三种方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
考向2 利用不等式的性质求取值范围
4．若－2
32 解析：x5y5＝x2y31xy2，因为3≤x2y≤4，所以27≤x2y3≤64.因为2≤xy2≤3，所以13 ≤1xy2≤12.根据不等式的性质得9≤x2y31xy2≤32，即x5y5的最大值为32，当且仅当x2y＝4，xy2＝2，即x＝2，y＝1时，等号成立．
求含有字母的数(或式)的取值范围时应注意的两点
(1)要注意题设中的条件．
(2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．
利用基本不等式求最值
考向1 配凑法求最值
【例1】(1)若x＞2，则函数y＝x＋4x－2的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
D 解析：因为x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋4x－2＝(x－2)＋4x－2+2≥2x－2·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时取等号，所以函数y＝x＋4x－2的最小值为6.
(2)已知函数f (x)＝－x2x+1(x<－1)，则( )
A．f (x)有最小值4B．f (x)有最小值－4
C．f (x)有最大值4D．f (x)有最大值－4
A 解析：f (x)＝－x2x+1＝－x2－1+1x+1＝－x－1+1x+1＝－x+1+1x+1－2＝－(x＋1)＋1－x+1＋2.因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f (x)≥21＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝1－x+1，即x＝－2时，等号成立．故f (x)有最小值4.
配凑法求最值的依据、技巧
(1)依据：基本不等式．
(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合“一正、二定、三相等”的条件，然后利用基本不等式求最值．
考向2 常数代换法求最值
【例2】(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a+1b的最小值为________.
4 解析：因为a＋b＝1，
所以1a+1b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba+ab≥2+2ba·ab＝2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝12时，等号成立，故1a+1b的最小值为4.
(2)已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x＋2y的最小值为________.
94 解析：将x＋2y＝8xy两边同时除以xy，得2x+1y＝8，则4x＋2y＝18(4x＋2y)2x+1y＝1810+4yx+4xy ≥1810+24yx×4xy＝94.当且仅当4yx＝4xy，即y＝x＝38时，等号成立．故4x＋2y的最小值为94.
[变式1] 将本例(1)中的条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则1a+1b的最小值为________.
1＋223 解析：因为a＋2b＝3，所以13a+23b＝1，
所以1a+1b＝1a+1b13a+23b＝13+23+ a3b+2b3a≥1+2a3b·2b3a＝1+223，
当且仅当a＝2b时，等号成立．故1a+1b的最小值为1＋223.
[变式2] 若本例(1)条件不变，则1+1a1+1b的最小值为________.
9 解析：1+1a1+1b＝1+a+ba1+a+bb＝2+ba2+ab＝5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab＝9，
当且仅当a＝b＝12时，等号成立．
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求最值．
考向3 消元法求最值
【例3】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
6 解析：(方法一)由已知得9－(x＋3y)＝13·x ·3y≤13·x+3y22，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
(方法二)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1+y，
所以x＋3y＝9－3y1+y+3y＝9－3y+3y1+y1+y＝9+3y21+y＝31+y2－61+y+121+y
＝3(1＋y)＋121+y－6≥231+y·121+y－6＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝121+y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.
消元法求最值的技巧
(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．
(2)如果出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但一定要注意各个元的范围．
1．若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
C 解析：由lg a＋lg b＝lg (a＋b)，得lg (ab)＝lg (a＋b)，即ab＝a＋b，则有1a+1b＝1，所以a＋b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba+ab≥2+2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b的最小值为4.
2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )
A．223 B．23
C．33 D．233
A 解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝1－x26x.由x>0，y>0，即x>0，1－x26x>0，解得0
4 解析：因为ab＞0，所以a4+4b4+1ab≥24a4b4+1ab＝4a2b2+1ab＝4ab+1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当a2＝2b2，ab＝12时取等号，故a4+4b4+1ab的最小值是4.
利用基本不等式解决实际问题
【例4】当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电桩进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电桩的历年总利润y(单位：万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系，运营3年时总利润为20万元，运营6年时总利润最大，为110万元．
(1)求出y关于x的函数关系式；
(2)求运营的年平均总利润的最大值．(注：年平均总利润＝历年总利润运营年数)
解：(1)因为投入运营六年时总利润最大，为110万元，即二次函数开口向下，且顶点坐标为(6，110)，
可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋110(a<0)．
又运营三年时总利润为20万元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10，
则y＝－10(x－6)2＋110，即y＝－10x2＋120x－250(x∈N*)．
(2)由(1)得年平均总利润为yx＝－10x+25x+120≤－20x·25x＋120＝20，
当且仅当x＝25x，即x＝5时取等号．
所以运营的年平均总利润的最大值为20万元．
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用M(x)(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：M(x)＝k2x+3(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为203万元，设f (x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f (x)的表达式．
(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x)达到最小？并求最小值．
解：(1)依题意当x＝0时，M(0)＝203，即k3＝203，解得k＝20，
则f (x)＝8x＋20·202x+3＝8x+4002x+3(0≤x≤10)．
(2)f (x)＝8x＋4002x+3＝4(2x＋3)＋4002x+3－12≥242x+3·4002x+3－12＝80－12＝68.
当且仅当4(2x＋3)＝4002x+3，即x＝72时，等号成立．
答：当隔热层修建72 cm厚时，总费用f (x)达到最小，最小值为68万元．
两个不等式的几何解释及应用
鉴于不等式在实际生活中的广泛应用，以及在中学数学中的重要地位和在高考数学中的重要作用，高考数学对不等式知识有着重考查的趋势．对“基本不等式”的重点考查显得尤为突出，这是因为基本不等式是不等式中的重要不等式，应用它不仅可以证明不等式，同时对于部分函数的最值的求法是一个有力的工具．
[典题展示]
下图验证的不等式是( )
A．a2＋b2≥a＋bB．4ab≥a2＋b2
C．a＋b≥2ab D．a2＋b2≥2ab
思路展示 (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab表示最大的正方形的面积，每一个三角形的面积为12ab，一共8个，则其面积和为4ab，最小的正方形的面积为(b－a)2.由图可得(a＋b)2＝4ab＋(b－a)2，即a2＋b2＋2ab＝4ab＋(b－a)2，即a2＋b2＝2ab＋(b－a)2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．故选D.
(1)仔细分析图形中各边之间的关系，准确表示出有关图形的面积．
(2)找出图形面积之间的关系，找到与之对应的不等式．
(3)常用结论ab≤a+b22≤a2+b22.
《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图所示，点O为半圆的圆心，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于点D，连接OD．作CE⊥OD交OD于点E，则下列不等式可以表示CD≥DE的是( )
A．ab≥2aba+b(a＞0，b＞0)B．a+b2≥ab(a＞0，b＞0)
C.a2+b22≥a+b2(a＞0，b＞0)D．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
思路展示 如图，连接DB．因为AB是⊙O 的直径，所以∠ADB＝90˚.在Rt△ADB中，中线OD＝AB2＝a+b2.由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab，所以CD＝ab.
在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝CD2OD＝aba+b2＝2aba+b.
由CD≥DE得ab≥2aba+b. 故选A.
(1)注意灵活应用平面几何知识(如勾股定理、三角形全等、射影定理、相似等)求图形中有关线段的长度．
(2)常用结论21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)．
课时质量评价(三) 不等式的性质与基本不等式
1．(2024·徐州模拟)设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( )
A．P≥QB．P>Q
C．P
2．设a>0，则a＋a+4a的最小值为( )
A．2a+4B．2
C．4D．5
D 解析：a＋a+4a＝a+1+4a≥1+2a·4a＝5，当且仅当a＝4a，即a＝2时取等号．故选D．
3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( B )
A．ad＞bdB．ad＜bc
C．ac＞bdD．ac＜bd
4．若6
C．[9，30]D．(9，30)
D 解析：因为a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a.因为6
A．4πB．8π
C．12πD．16π
B 解析：设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱的高为24－r2，圆柱的侧面积为S＝2πr×24－r2＝4πr4－r2≤4π×r2+4－r22＝8π，当且仅当r＝4－r2，即r＝2时，等号成立．故选B．
6．(2024·潍坊质检)给出下列命题：
①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a2>b2；④|a|>b⇒a2>b2.
其中正确的命题是________.
② 解析：对于①，当c＝0时，ac2＝bc2，不满足题意，故①错误；对于②，因为a>|b|≥0，故a2>b2，故②正确；对于③，取a＝1，b＝－2，满足a>b，但a2＝1<4＝b2，故③错误；对于④，取a＝1，b＝－2，满足|a|>b，但a2＝1<4＝b2，故④错误．
7．1x+1yx+4y的最小值为______.
9 解析：1x+1yx+4y＝5＋xy+4yx≥5+24＝9，当且仅当xy＝4yx，即x＝4y>0时，等号成立，所以1x+1yx+4y的最小值为9.
8．(2024·菏泽模拟)若实数x，y满足x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值为________.
22 解析：2x＋4y≥22x×22y＝22x+2y＝22，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝14时取等号．
9．(数学与生活)某居民小区欲在一块空地上建一面积为1 200 m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3 m，东西的人行通道宽4 m，如图所示(图中单位：m)．问：如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？
解：设矩形停车场东西侧边长为x m(x>0)，则其南北侧边长为1 200x m，人行通道占地面积为S＝(x＋6)·1 200x+8－1 200＝8x＋7 200x+48≥28x·7 200x＋48＝2×240＋48＝528，当且仅当8x＝7 200x，即x＝30时，等号成立，故S min＝528 m2，此时1 200x＝40.所以，设计矩形停车场东西侧边长为30 m，南北侧边长为40 m，人行通道占地面积最小为528 m2.
10．已知对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥mxy恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(0，4]B．(0，2]
C．(－∞，4]D．(－∞，2]
C 解析：因为x>0，y>0，所以x＋4y≥mxy等价于m≤x+4yxy，即m≤x+4yxymin.又因为x+4yxy＝xy+4yx≥2xy·4yx＝4，当且仅当xy＝4yx，即x＝4y时，等号成立，所以m≤4，故m的取值范围是(－∞，4].
11．(学科交汇)(2024·泰安模拟)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品．实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品( )
A．大于20克B．小于20克
C．大于等于20克D．小于等于20克
C 解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝5ab，y＝20ba，故x＋y＝5ab+20ba≥25ab·20ba＝20，当且仅当a＝2b时取等号．故选C．
12．(多选题)已知1≤a≤5，a＋b＝8，则( )
A．－6≤a－b≤2B．7≤ab≤15
C．32≤a2＋b2≤50D．2a＋8b的最小值为128
AC 解析：对于A，由已知得，a－b＝2a－(a＋b)＝2a－8，又1≤a≤5，所以－6≤2a－8≤2，所以－6≤a－b≤2，故A正确；对于B，当a＝b＝4时，ab＝16，不等式不成立，故B错误；对于C，a2＋b2＝a2＋(8－a)2＝2a2－16a＋64＝2(a－4)2＋32，由1≤a≤5，得32≤2(a－4)2＋32≤50，故C正确；对于D，2a＋8b＝2a＋23b≥22a+3b，当且仅当a＝3b，即a＝6，b＝2时，等号成立，此时2a＋8b取得最小值128，但与1≤a≤5矛盾，故D错误．故选AC．
13．已知a>1，且(a－1)(b－1)＝4，则a＋b的最小值是________.
6 解析：由题意，得b>1，则a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2≥2a－1b－1+2＝24＋2＝6(当且仅当a－1＝b－1，即a＝b＝3时取等号)，故a＋b的最小值是6.
14．写出一个关于a与b的等式，使1a2+9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为________.
a2＋b2＝1 解析：该等式为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．
1a2+9b2＝1a2+9b2(a2＋b2)＝1＋9＋9a2b2+b2a2≥10+29a2b2·b2a2＝16，
当且仅当b2＝3a2时取等号，所以1a2+9b2是一个变量，且它的最小值为16.
15．(2024·聊城模拟)如图放置的边长为2的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OB·OC的最大值是________.
8 解析：设A(x，0)，D(0，y)，则x2＋y2＝4，所以B(x＋y，x)，C(y，x＋y)，于是OB·OC＝(x＋y，x)·(y，x＋y)＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)＝8，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
16．某市计划建设一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅．如图，点C，D在底边AB上，E，F分别在腰OB，OA上，已知OA＝OB＝30米，AB＝302 米，OE＝x米，x∈[14，20].
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为37kS，绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为12kS(k为正常数)，求总造价W关于S的函数W＝f (S)，并求当OE为何值时总造价W最低．
解：(1)由题意得，△OAB为等腰直角三角形，则EF＝2x米，DE＝22(30－x)米，所以S＝EF·DE＝x(30－x)＝－(x－15)2＋225.因为x∈[14，20]，所以S∈[200，225].故S＝－(x－15)2＋225，S∈[200，225].
(2)由题意得，矩形展厅的造价为37kS·S，绿化区(题图中阴影部分)的造价为12kS·(450－S)，所以W＝37kS·S+12kS·(450－S)＝25k·S+12×18S≥3006k，当且仅当S＝12×18＝x(30－x)，即x＝18时，等号成立，所以W＝f (S)＝25kS+216S，当OE为18米时，总造价W最低．关系
方法
作差法
作商法
a>b
a－b>0
ab>1(a，b>0)或ab<1(a，b<0)
a＝b
a－b＝0
ab＝1(b≠0)
a
ab<1(a，b>0)或ab>1(a，b<0)
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔b
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向同正
可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>nb
同正
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