高考数学复习拓展提升课一　柯西不等式（导学案）

这是一份高考数学复习拓展提升课一　柯西不等式（导学案），共4页。

来源:柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789-1857)发现的,故命名为柯西不等式.
应用:柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,具有对称和谐的结构,应用的关键是抓住问题的特征,找准解题的方向,并进行合理的变形、巧妙的构造.利用柯西不等式除了证明一些不等式成立外,还可用于选择、填空求最值的问题,达到化难为易、化繁为简的效果.
柯西不等式:设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
[推广]设ai,bi(i=1,2,3,…,n)为任意的实数,则∑i=1nai2·∑i=1nbi2≥(∑i=1nai·bi )2,等号成立的条件:当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
[简记]“方和积不小于积和方”
一、凑“方和积”,求最小值
观察柯西不等式,可以发现其特点是不等式左边是两个因式的积,其中每个因式都是某项的平方和,右边是左边中对应的2项乘积之和的平方,因此在求解最小值相关问题时构造两组数的平方和:a12+a22+…+an2和b12+b22+…+bn2.
[典例1](1)已知x,y满足x+3y=4,则4x2+y2的最小值是( )
A.16B.64C.437D.6437
解析：选D.(2x)2+y2122+32≥ (x+3y)2,所以4x2+y2≥16×437=6437,
当且仅当2x12=y3,即y=12x时,等号成立,
所以4x2+y2的最小值为6437.
(2)设x,y为正数,且x+2y=8,则9x+2y的最小值为 .
解析：(x+2y) (9x+2y)
=(x)2+(2y)23x2+2y2≥(x·3x+2y·2y)2=25.
当且仅当x·2y=2y·3x,
即x=3y时,等号成立.
又x+2y=8,所以9x+2y≥258.
即9x+2y的最小值为258.
答案:258
二、凑“积和方”,求最大值
在解答某些多元函数的最大值时,若数学结构形如“x1x2+y1y2”与柯西不等式的形式结构一致,且相关变量的平方和是常数,可逆用柯西不等式凑积和方求解.
[典例2](1)已知正实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,正实数a,b,c满足a2+b2+c2=9,则ax+by+cz的最大值为 .
解析：(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)=9,所以ax+by+cz≤3,
当且仅当a=3x,b=3y,c=3z时,等号成立,
所以ax+by+cz的最大值为3.
答案:3
(2)已知x,y,z为正数,x2+2y2+3z2=1817,则3x+2y+z的最大值是 .
解析：由柯西不等式得,
(3x+2y+z)2=(3x+2·2y+13·3z)2
≤32+(2)2+132(x2+2y2+3z2),
因为x2+2y2+3z2=1817,
所以(3x+2y+z)2≤12,又x,y,z为正数,
所以3x+2y+z≤23.
当且仅当3x=22y=333z,即3x=1y=13z时,等号成立.所以3x+2y+z的最大值为23.
答案:23
三、运用等号成立的条件求解
如果已知条件与柯西不等式结构相仿,不是求最值,而是求定值,这种情况下可以考虑利用柯西不等式等号成立的条件求解.
[典例3](1)已知a,b,c,d是正数,
且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,
ax+by+cz=20,则a+b+cx+y+z= .
解析：由柯西不等式得,
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,当且仅当ax=by=cz=12时,等号成立,
所以a+b+cx+y+z=12.
答案:12
(2)已知x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=1,
x+2y+3z=14,则x+y+z= .
解析：观察可知,x+2y+3z=14与柯西不等式结构类似,可变形为:14=(x·1+y·2+z·3)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14.
根据柯西不等式等号成立的条件可知
x1=y2=z3=t,所以x=t,y=2t,z=3t,
解得t=1414,所以x+y+z=3147.
答案:3147
【加练备选】
1.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值是 .
解析：因为a2+4b2+9c2=a2+(2b)2+(3c)2,是柯西不等式左边一组数的平方和,所以只需配凑第二组数的平方和即可,由a+2b+3c=6,所以第二组数的平方和是12+12+12,于是有[a2+(2b)2+(3c)2]·(12+12+12)≥ (a·1+2b·1+3c·1)2,即(a2+4b2+9c2]·3≥36,所以a2+4b2+9c2≥12.
当且仅当a=2b=3c,即a=2,b=1,c=23时
取等号.所以a2+4b2+9c2的最小值是12.
答案:12
2.函数y=5x-1+10-2x的最大值为 .
解析：y2=(5x-1+10-2x)2=(5x-1+2·5-x)2≤(52+2)(x-1+5-x)=108,当且仅当x=12727时等号成立,所以y≤63.
答案:63