第1章《三角形的证明》【易错题拔高卷】-2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节复习检测卷

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考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.50
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023秋•德化县期末）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则能作为判定△ABC为直角三角形的条件是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝1：2：3
C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝4，b＝6，c＝8
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a：b：c＝1：2：3，
∴设a＝k，b＝2k，c＝3k，
∴a+b＝k+2k＝3k＝c，
∴不能组成三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝52+122＝169，c2＝132＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵a2+b2＝42+62＝52，c2＝82＝64，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
2．（2分）（2023秋•甘井子区期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABC的周长为19cm，则△ABD的周长为（ ）
A．10cmB．13cmC．16cmD．18cm
解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，
∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm，
∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+BC＝13cm，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13cm．
故选：B．
3．（2分）（2023•攸县一模）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
4．（2分）（2022秋•潢川县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∴∠ABE＝∠MEB，∠ACE＝∠NEC，
∴MB＝ME，NE＝NC，
∵AB＝3，AC＝4，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+ME+EN+AN
＝AM+MB+CN+AN
＝AB+AC
＝3+4
＝7，
故选：C．
5．（2分）（2023秋•庐阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的角平分线，MF垂直平分AE，垂足为点H，分别交AB、AD、AC于点N、G、F，交CB的延长线于点M，连接EF，下列结论中错误的是（ ）
A．∠M＝∠DAEB．
C．EF∥ABD．∠EFC＝2∠M+∠C
解：∵AD⊥BC，FM⊥AE，
∴∠ADB＝∠AHG＝90°，
∴∠M+∠MGD＝90°，∠DAE+∠AGH＝90°，
∵∠MGD＝∠AGH，
∴∠M＝∠DAE；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD
＝∠BAC﹣∠BAD
＝（180°﹣∠ABC﹣∠C）﹣（90°﹣∠ABC）
＝90°﹣∠ABC﹣∠C﹣90°+∠ABC
＝（∠ABC﹣∠C）；
∵FM是AE的垂直平分线，
∴FA＝FE，
∴∠CAE＝∠FEA，
∴∠BAE＝∠FEA，
∴AB∥FE；
∴∠ABC＝∠FEC，
∵∠DAE＝∠M，∠DAE＝（∠ABC﹣∠C），
∴∠M＝（∠ABC﹣∠C），
∴2∠M＝∠ABC﹣∠C，
∴2∠M+∠C＝∠ABC，
∴2∠M+∠C＝∠FEC，
故A、B、C都正确，D不正确，
故选：D．
6．（2分）（2023秋•彰武县期末）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（ ）
A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定
解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，
∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，
∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，
∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，
∵c2＝a2+b2，
∴S1+S3＝S2+S4，
故选：C．
7．（2分）（2023秋•南山区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．B．0.8C．3﹣D．
解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，
又∵CE＝3，
∴CD＝3﹣，
故选：C．
8．（2分）（2023春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
9．（2分）（2023春•莲池区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列五个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°；⑤连接BM，若S△ABC＝16，则S△ABM＝8，其中正确的结论有（ ）
A．①②④B．①②③C．①②③⑤D．①②③④⑤
解：如图，连接FN，
∵CN⊥AF，
∴∠AMC＝∠AMN＝90°，
∵∠BAC的平分线AF交CD于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
在△AMN和△AMC中，
，
∴△AMN≌△AMC（ASA），
∴AC＝AN，故②正确；
∵△AMN≌△AMC，
∴CM＝NM，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，
∵∠BAC的平分线AF交CD于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵CM⊥AF，
∴EM＝FM，
∴四边形ENFC是菱形，
∴EN＝FC，EN∥BC，故①③正确；
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC≠BC，
∴∠B≠45°，故④错误；
∵四边形ENFC是菱形，
∴CM＝MN，
∴S△ACM＝S△ANM，S△BCM＝S△BMN，
∴S△ANM+S△BMN＝S△ACM+S△BCM＝S△ABC，
∴S△ABM＝S△ABC，
∴S△ABC＝16，则S△ABM＝8．故⑤正确．
综上所述：①②③⑤．
故选：C．
10．（2分）（2020秋•市南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（ ）
A．32°B．64°C．77°D．87°
解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023春•九江期末）如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠APB的度数为 100° ．
解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PC＝PB，
∴∠PAC＝∠PCA＝20°，∠PCB＝∠PBC＝30°，
∵∠ACB+⊥ABC+∠BAC＝180°，
∴∠PCA+∠PCB+∠PAC+∠PBC+∠PAB+∠PBA＝180°，
∴∠PAB+∠PBA＝80°，
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝100°，
故答案为：100°．
12．（2分）（2023秋•和平区校级期中）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若BC＝15，则△ADE的周长为 15 ．
解：∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∵BC＝15，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE
＝BD+DE+EC
＝BC
＝15，
故答案为：15．
13．（2分）（2023春•宁德期末）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的长为20m，倾斜角为30°，则自动扶梯的垂直高度BC等于 10 m．
解：由题意得：BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，AB＝20m，
∴BC＝AB＝10（m），
∴自动扶梯的垂直高度BC等于10m，
故答案为：10．
14．（2分）（2023春•鄂州期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是 192 cm2．
解：如图，设图中正方形的面积分别为A，B，C，D，E，F，
由勾股定理得，A+B＝E，C+D＝F，E+F＝82＝64，
∴图中所有正方形的面积的和64×3＝192（cm2），
故答案为：192．
15．（2分）（2023秋•惠州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 15 ．
解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．
16．（2分）（2023秋•南昌期中）已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30°，点C在直线l上，若△ABC是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是 30°或150°或120° ．
解：如图：
分三种情况：
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线l于点C1，C2，
∵∠BAC1＝30°，
∴∠BAC2＝180°﹣∠BAC1＝150°，
当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线l于点C3，
∴∠BAC3＝∠BC3A＝30°，
∴∠ABC3＝180°﹣∠BAC3﹣∠BC3A＝120°，
当C4A＝C4B时，作AB的垂直平分线，交直线l于点C4，
∴∠BAC4＝∠ABC4＝30°，
∴∠AC4B＝180°﹣∠BAC4﹣∠ABC4＝120°，
综上所述：若△ABC是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数是30°或150°或120°，
故答案为：30°或150°或120°．
17．（2分）（2023春•酒泉期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发 2.5或4 秒时，△ACP是等腰三角形．
解：分两种情况：
当点P移动到AB的中点时，
∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，
∴CP＝AP＝AB＝5（cm），
∴点P出发的时间＝＝＝2.5（cm/s）；
当点P移动到AP＝AC时，
∴点P出发的时间＝＝＝4（cm/s）；
综上所述：点P出发2.5或4秒时，△ACP是等腰三角形，
故答案为：2.5或4．
18．（2分）（2023春•宝安区期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点E，边BC的垂直平分线交BC
于点F，两条垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若∠PEF＝20°，则∠APC的度数为 140 °．
解：如图：设AB的垂直平分线交AB于点G，
∵PG是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，PG⊥AB，
∴∠APB＝2∠BPG，
∵PF是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，PF⊥BC，
∴∠BPC＝2∠BPF＝2∠FPC，
∵PF⊥BC，
∴∠PFC＝90°，
∵∠PEF＝20°，
∴∠FPE＝90°﹣∠PEF＝70°，
∴∠GPF＝180°﹣∠FPE＝110°，
∴∠GPB+∠BPF＝110°，
∴∠APB+∠BPC＝2∠GPB+2∠FPC＝220°，
∴∠APC＝360°﹣（∠APB+∠BPC）＝140°，
故答案为：140．
19．（2分）（2023秋•邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 3或或2 ．
解：分三种情况：
①如图1所示：
当AD＝AB时，
由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3；
②如图2所示：
当AD＝BD时，
设CD＝x，则AD＝x+3，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
（x+3）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴CD＝；
③如图3所示：
当BD＝AB时，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
∴BD＝5，
∴CD＝5﹣3＝2；
综上所述：CD的长为3或或2．
故答案为：3或或2．
20．（2分）（2022春•锦江区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ 4∠BPC﹣360° ．
解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023秋•平阴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E．已知∠A＝40°，
（1）求∠CBE的度数；
（2）已知△BCE的周长为8cm，AC﹣BC＝2cm，则AB＝ 5 cm．
解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
∴∠CBE的度数为30°；
（2）∵△BCE的周长为8cm，
∴BE+CE+BC＝8cm，
∵AE＝BE，
∴AE+EC+BC＝8cm，
∴AC+BC＝8cm，
∵AC﹣BC＝2cm，
∴AC＝5cm，BC＝3cm，
∴AB＝AC＝5cm，
故答案为：5．
22．（6分）（2023春•岳阳楼区校级期末）某大型机械厂因工作需要，要焊接一个如图所示的钢架，已知AD＝2m，CD＝4m，BD＝8m，且已知CD⊥AB于D．
（1）求焊接一个这样的钢架大约需要多少钢材？（≈2.236，结果精确到0.01m）（2）求证：△ACB是直角三角形．
（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵AD＝2m，CD＝4m，BD＝8m，
∴AC＝＝＝2（m），
BC＝＝＝4（m），
∴AC+BC+CD+AD+BD＝2+4+4+2+8≈27.42（m），
∴焊接一个这样的钢架大约需要27.42m的钢材；
（2）证明：∵AD＝2m，BD＝8m，
∴AB＝AD+BD＝10（m），
∵AC2+BC2＝（2）2+（4）2＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
23．（8分）（2022春•肥西县期末）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积及AC边上的高．
解：（1）△ABC为直角三角形，
理由：由题意得：
AB2＝22+32＝13，
CB2＝42+62＝52，
AC2＝12+82＝65，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ABC＝90°；
（2）设AC边上的高为h，
由（1）得：
AB＝，BC＝＝2，AC＝，
∴△ABC的面积＝AB•BC＝××2＝13，
∵△ABC的面积＝AC•h，
∴×h＝13，
∴h＝，
∴△ABC的面积为13，AC边上的高为．
24．（8分）（2022春•铜梁区校级期末）已知，△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10．
（1）如图1，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数；
（2）如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．
解：（1）在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，
∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝DA＝AB，
∴∠A＝∠DCA＝50°，
∴∠DCA的度数为50°；
（2）如图：当CE⊥AB时，线段CE最小，
∵△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，
∴AB•CE＝AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8，
∴线段CE的最小值为4.8．
25．（8分）（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．
26．（8分）（2023春•兰州期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒．
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 4 秒；
（2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由；
（3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系．
解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得：
t+2t＝AC+AB+BC＝12，
解得：t＝4；
故答案为：4；
（2）如图1：若△APQ是等边三角形，
此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8），
解得：t＝；
（3）PQ与AC互相垂直，理由如下：
如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP，
取AQ的中点N，
∵∠PAQ＝60°，
∴△APN是等边三角形，
∴PN＝AN＝NQ，
∴△APQ是直角三角形，
∴∠APQ＝90°，
即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直．
27．（8分）（2023春•福州期中）定义：若某三角形的三边长a，b，c满足ab+a2＝c2，则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由；
（2）若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，求∠A的度数；
（2）如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，且∠B＞∠A．证明：△ABC为“类勾股三角形”．
（1）解：等边三角形不是“类勾股三角形”，
理由：设等边三角形的三边长分别为a，b，c，
则a＝b＝c，
∴ab+a2＝a2+a2＝2a2＞c2，
∴等边三角形不是“类勾股三角形”；
（2）解：∵等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AC＝BC，AB＞AC，
∴AC•BC+AC2＝AB2，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠A的度数为45°；
（3）证明：过点B作BG⊥AC，垂足为G，在GA上截取GD＝GC，连接BD，
∴BG是CD的垂直平分线，
∴BD＝BC＝a，
∴∠C＝∠BDC，
∵∠C＝2∠A，
∴∠BDC＝2∠A，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠ABD，
∴DA＝BD＝a，
∴CD＝AC﹣AD＝b﹣a，
∴DG＝CG＝CD＝，
∴AG＝AD+DG＝a+＝，
在Rt△ABG中，BG2＝AB2﹣AG2＝c2﹣（）2，
在Rt△BGC中，BG2＝BC2﹣CG2＝a2﹣（）2，
∴c2﹣（）2＝a2﹣（）2，
∴a2+ab＝c2，
∴△ABC为“类勾股三角形”．
28．（8分）（2023秋•蒲城县期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，
①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（18﹣x）2＝x2+36，
解得x＝8；
②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝36+（18﹣x）2，
解得x＝10，
综上所述，BN＝8或10．