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第1章《整式的乘除》【易错题拔高卷】-2023-2024学年北师大版数学七年级下册章节复习检测卷
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这是一份第1章《整式的乘除》【易错题拔高卷】-2023-2024学年北师大版数学七年级下册章节复习检测卷，文件包含第1章《整式的乘除》教师版docx、第1章《整式的乘除》学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.54
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．2a6÷a2＝2a3
C．2a2•3a3＝6a6D．（3a3）2＝9a6
解：A、a与a2不能合并，故A不符合题意；
B、2a6÷a2＝2a4，故B不符合题意；
C、2a2•3a3＝6a5，故C不符合题意；
D、（3a3）2＝9a6，故D符合题意；
故选：D．
2．（2分）（2023秋•防城区期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
3．（2分）（2023秋•城关区校级期末）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（ ）
A．35B．19C．12D．10
解：∵2a＝5，4b＝7，
∴2a+2b＝2a•22b
＝2a•（22）b
＝2a•4b
＝5×7
＝35，
故选：A．
4．（2分）（2023秋•凤山县期末）计算（﹣1）2021×（）2023的结果等于（ ）
A．1B．﹣1C．﹣D．﹣
解：（﹣1）2021×（）2023
＝（﹣）2021×（）2021×（）2
＝[（﹣）×（）]2021×（）2
＝（﹣1）2021×（）2
＝﹣1×
＝﹣，
故选：D．
5．（2分）（2023秋•和田地区期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2．
解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
6．（2分）（2023秋•三亚期末）下列运算中正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．a2•a3＝a6
C．a5÷a2＝a3D．a5+a5＝2a10
解：∵（a2）3＝a2×3＝a6，
∴A不正确，不符合题意；
∵a2•a3＝a2+3＝a5，
∴B不正确，不符合题意；
∵a5÷a2＝a5﹣2＝a3，
∴C正确，符合题意；
∵a5+a5＝2a5，
∴D不正确，不符合题意；
故选：C．
7．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．
故选：A．
8．（2分）（2022秋•江汉区校级期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；
剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
9．（2分）（2023春•拱墅区期末）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（ ）
A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等
B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等
C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等
D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等
解：（x+a）（2x+b）
＝2x2+bx+2ax+ab
＝2x2+（b+2a）x+ab，
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab，
∵多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q，
∴p＝b+2a，q＝2b+a，
∵p+q＝6，且p，q均为正整数，
∴b+2a+2b+a＝6，
整理得：a+b＝2．
又p＝b+2a，q＝2b+a，
∴p＝a+2，q＝b+2．
∴a＝p﹣2，b＝q﹣2．
∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1．
∵p，q均为正整数，
∴p的取值为1，2，3，4，5．
∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3．
∵a＝p﹣2，b＝q﹣2，
∴＝＝＝＝＝﹣1+（q≠2）．
∵p，q均为正整数，
∴q的取值为1，2，3，4，5．
∴的最大值为1，的最小值为﹣3．
故选项A正确，符合题意．
故选：A．
10．（2分）（2021秋•中山区期末）从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
解：原来租的土地面积：a2（平方米）．
现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．
∵a2＞a2﹣16．
∴张老汉的租地面积会减少．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023秋•宜阳县期末）计算：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝ ﹣4 ．
解：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy
＝（x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷xy
＝（﹣4xy）÷xy
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
12．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是 8 ．
解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得：
，
∴x+y＝6，
∴（x+y）2＝36，
∴x2+2xy+y2＝36
∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，
∴xy＝8，
∴长方形ABCD的面积是8，
故答案为：8．
13．（2分）（2023春•历城区校级月考）如果定义一种新运算，规定＝ad﹣bc，请化简：＝ ﹣3 ．
解：由题意得：＝（x﹣1）（x+3）﹣x（x+2）
＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2﹣2x
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
14．（2分）（2022秋•淅川县期末）若关于x的多项式（x+m）（2x﹣3）展开后不含x项，则m的值为 ．
解：原式＝2x2+（2m﹣3）x﹣3m，
∵多项式展开后不含x项，
∴2m﹣3＝0，
∴m＝；
故答案为：．
15．（2分）（2023春•东阿县期末）探索题：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣l；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；…
根据前面的规律，回答问题：
当x＝3时，（32023+32022+32021+…+33+32+3+1）＝ ．
解：根据规律可得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1，
∴，
∴32023+32022+32021+…+33+32+3+1＝＝．
故答案为：．
16．（2分）（2023春•正定县期中）如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片（a＞b），用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②所示的正方形．
（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为 a﹣b ；
（2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
解：（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
17．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）如图，长为50cm，宽为x cm的大长方形被分割成7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y cm．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y为 ．
解：由题意得：
阴影A的面积＝（50﹣3y）（x﹣2y）＝（50x﹣100y﹣3xy+6y2）cm2，
阴影B的面积＝3y[x﹣（50﹣3y）]＝3y（x﹣50+3y）＝（3xy﹣150y+9y2）cm2，
∴阴影A的面积﹣阴影B的面积＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣（3xy﹣150y+9y2）
＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣3xy+150y﹣9y2
＝﹣3y2+50y+50x﹣6xy
＝﹣3y2+50y+（50﹣6y）x，
∵阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，
∴50﹣6y＝0，
∴y＝，
故答案为：．
18．（2分）（2022秋•怀化期末）定义一种新运算：，例如．若，则k＝ ﹣2 ．
解：由题意得，
（﹣x﹣2）dx＝k﹣1﹣2﹣1＝﹣＝﹣1，
即﹣＝﹣1，
解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
19．（2分）（2022秋•铁西区期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为 41 ．
解：S阴影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF
＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2+2ab）﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
∵a+b＝10，ab＝6；
∴原式＝×102﹣×6
＝×100﹣9
＝41
故答案为：41．
20．（2分）（2021春•东台市期中）如图，一块直径为2a+2b的圆形钢板，从中挖去直径分别为2a与2b的两个圆，已知剩下钢板的面积与一个长为a的长方形面积相等，则这个长方形的宽为 2πb ．
解：设长方形的宽为x，
S阴影＝π×（a+b）2﹣π×a2﹣πb2＝ax．
∴2πab＝ax．
∴x＝2πb．
故答案为：2πb．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023秋•宜阳县期末）计算：
（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3；
（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）．
解：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3
＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3﹣7y3
＝8x3﹣8y3；
（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）
＝{（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣[（a+5b）2﹣（a﹣5b）2]}÷（a﹣b）2
＝（a2﹣6ab+9b2+9a2+6ab+b2﹣20ab）÷（a﹣b）2
＝（10a2﹣20ab+10b2）÷（a﹣b）2
＝10（a﹣b）2÷（a﹣b）2
＝10．
22．（6分）（2022秋•巩义市期末）杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论：
根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值．
解：小红说得对，
理由：（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+3y）2+6xy
＝x2﹣4y2﹣（x2+6xy+9y2）+6xy
＝x2﹣4y2﹣x2﹣6xy﹣9y2+6xy
＝﹣13y2，
∴这道题与x的值无关，是可以解的，
当y＝﹣1时，原式＝﹣13×（﹣1）2
＝﹣13×1
＝﹣13．
23．（8分）（2022秋•章丘区校级期末）观察下列等式：
（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1，
（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1，
（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4﹣1．
（1）根据上面各式的规律，请写出第5个等式： （m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1 ；
（2）根据上面各式的规律可得（m﹣1）（mn+mn﹣1+……+m2+m+1）＝ mn+1﹣1 ；（n为正整数，且n≥2）．
（3）求22022+22021+…+22+2的值．
解：（1）由所列举的式子的规律可得，第5个等式为（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1，
故答案为：（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1；
（2）由所列举的式子的规律可得，
（m﹣1）（mn+mn﹣1+……+m2+m+1）＝mn+1﹣1，
故答案为：mn+1﹣1；
（3）∵（2﹣1）（22022+22021+…+22+2+1）＝22023﹣1，
∴22022+22021+…+22+2+1＝22023﹣1，
∴22022+22021+…+22+2＝22023﹣2，
答：22022+22021+…+22+2的值为22023﹣2．
24．（8分）（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ，图2 （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ；（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（1）已知a+b＝7，ab＝12，求a2+b2的值；
（2）已知（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，求（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值．
拓展运用：如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2.若AB＝m，S＝S1+S2，则直接写出Rt△ACF的面积．（用S，m表示）．
解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
数学思考：（1）∵a+b＝7，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝72﹣2×12
＝49﹣24
＝25，
∴a2+b2的值为25；
（2）设2024﹣x＝a，2022﹣x＝b，
∴a﹣b＝2024﹣x﹣（2022﹣x）＝2，
∵（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，
∴ab＝2023，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝22+2×2023
＝4+4046
＝4050，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值为4050；
拓展运用：Rt△ACF的面积＝，
理由：设AC＝a，BC＝b，
∵AB＝m，
∴a+b＝m，
∵S＝S1+S2，
∴S＝a2+b2，
∴Rt△ACF的面积＝AC•CF
＝ab
＝×[（a+b）2﹣（a2+b2）]
＝．
25．（8分）（2023春•定边县期末）将两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例：若a﹣b＝4，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a﹣b＝4，ab＝1，
所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18．
根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝56，（a+b）2＝100，则ab＝ 22 ；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2020）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为35，求图中阴影部分的面积之和．
解：（1）∵（a+b）2＝100，a2+b2＝56，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝100﹣56
＝44，
∴ab＝22，
故答案为：22；
（2）设2023﹣x＝a，x﹣2020＝b，
∴a+b＝2023﹣x+x﹣2020＝3，
∵（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，
∴a2+b2＝2021，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝9﹣2021
＝﹣2012，
∴ab＝（2023﹣x）（x﹣2020）＝﹣1006，
∴（2023﹣x）（x﹣2020）的值为﹣1006；
（3）∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD＝10，
∵BC＝6，BE＝DF＝x，
∴CF＝CD﹣DF＝10﹣x，CE＝BC﹣BE＝6﹣x，
设CF＝10﹣x＝a，CE＝6﹣x＝b，
∴a﹣b＝10﹣x﹣（6﹣x）＝4，
∵长方形CEPF的面积为35，
∴CF•CE＝ab＝35，
∴图中阴影部分的面积之和＝正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积
＝CF2+CE2
＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝16+2×35
＝16+70
＝86，
∴图中阴影部分的面积之和为86．
26．（8分）（2023春•蚌埠期末）[阅读理解]
[迁移运用]
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（x﹣2023）2+（x﹣2026）2＝31，求（x﹣2023）（x﹣2026）的值；
（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
解：（1）设 x﹣2023＝a，x﹣2026＝b，
∴a﹣b＝x﹣2023﹣（x﹣2026）＝3，
∵（x﹣2023）2+（x﹣2026）2＝31，
∴a2+b2＝31，
∴2（x﹣2023）（x﹣2026）＝2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝31﹣32＝31﹣9＝22，
∴（x﹣2023）（x﹣2026）＝11，
∴（x﹣2023）（x﹣2026）的值为11；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∵长方形EMFD的面积是48，
∴FM•DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝48，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，
∴ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196，
∴a+b＝14或a+b＝﹣14（舍去），
∴阴影部分的面积＝正方形MFRN的面积﹣正方形GFDH的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28，
∴阴影部分的面积是28．
27．（8分）（2023春•平湖市期中）小马同学化简[（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）]÷（2y）的过程如下：
解：原式＝（x2﹣y2﹣x2﹣y2）÷（2y）①
＝（﹣2y2）÷（2y）②
＝﹣y③
（1）请把x＝3，y＝1分别代入原式[（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）]÷（2y）以及化简后的式子﹣y，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？
（2）指出小马同学化简错误的步骤： ① （填写序号）；并写出正确的化简过程．
解：（1）当x＝3，y＝1时，[（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）]÷（2y）
＝[（3﹣1）2﹣（3﹣1）（3+1）]÷（2×1）
＝（4﹣2×4）÷2
＝（4﹣8）÷2
＝﹣4÷2
＝﹣2；
当x＝3，y＝1时，﹣y＝﹣1；
∵﹣2≠﹣1，
∴小马同学的化简结果不对；
（2）小马同学化简错误的步骤：①，
正确的化简过程如下：[（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）]÷（2y）
＝（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（2y）
＝（2y2﹣2xy）÷（2y）
＝y﹣x，
故答案为：①．
28．（8分）（2023春•城阳区期末）阅读理解：
若x满足（60﹣x）（x﹣40）＝20，求（60﹣x）2+（x﹣40）2的值．
解：设60﹣x＝a，x﹣40＝b，
则ab＝20，a+b＝60﹣x+x﹣40＝20．
∴（60﹣x）2+（x﹣40）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×20＝360；
类比探究：
（1）若x满足（70﹣x）（x﹣20）＝﹣30，求（70﹣x）2+（x﹣20）2的值．
（2）若x满足（3﹣4x）（2x﹣5）＝，求（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2的值．
友情提示（2）中的4（2x﹣5）2可通过逆用积的乘方公式变成[2（2x﹣5）]2．
（3）若x满足（2023﹣x）2+（2020﹣x）2＝2061，求（2023﹣x）（2020﹣x）的值．
解决问题：
（4）如图，正方形AEGO和长方形KLMC重叠，重叠部分是长方形BEFC其面积是300，分别延长FC、BC交AO和OG于D、H两点，构成的四边形ABCD和CFGH都是正方形，四边形ODCH是长方形．设CM＝x，KC＝3CM＝3x，KB＝54，FM＝20，延长AO至P，使OP＝2OD，延长AE至R，使RE＝2BE，过点P、R作AP、AR垂线，两垂线交于点N，求正方形ARNP的面积．（结果是一个具体的数值）
解：（1）设70﹣x＝a，x﹣20＝b，
则ab＝﹣30，a+b＝70﹣x+x﹣20＝50，
∴（70﹣x）2+（x﹣20）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝502﹣2×（﹣30）
＝2500+60
＝2560，
∴（70﹣x）2+（x﹣20）2的值为2560；
（2）∵（3﹣4x）（2x﹣5）＝，
∴（3﹣4x）[2（2x﹣5）]＝9，
∴（3﹣4x）（4x﹣10）＝9，
设3﹣4x＝m，4x﹣10＝n，
则m+n＝3﹣4x+4x﹣10＝﹣7，mn＝9，
∴（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2
＝（3﹣4x）2+[2（2x﹣5）]2
＝（3﹣4x）2+（4x﹣10）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝（﹣7）2﹣2×9
＝49﹣18
＝31，
∴（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2的值为31；
（3）设2023﹣x＝p，2020﹣x＝q，
则p﹣q＝2023﹣x﹣（2020﹣x）＝3，p2+q2＝2061，
∴2pq＝p2+q2﹣（p﹣q）2
＝2061﹣32
＝2061﹣9
＝2052，
∴（2023﹣x）（2020﹣x）＝pq＝1026，
∴（2023﹣x）（2020﹣x）的值为1026；
（4）∵CM＝x，KC＝3CM＝3x，KB＝54，FM＝20，
∴BC＝KC﹣KB＝3x﹣54，CF＝CM﹣FM＝x﹣20，
∵长方形BEFC的面积是300，
∴BC•CF＝（3x﹣54）（x﹣20）＝300，
由题意得：AB＝BC＝3x﹣54，CF＝BE＝x﹣20，
∵ER＝2BE，
∴BR＝3BE＝3（x﹣20），
∴AR＝AB+BR＝（3x﹣54）+3（x﹣20）＝（3x﹣54）+（3x﹣60），
∵（3x﹣54）（x﹣20）＝300，
∴（3x﹣54）[3（x﹣20）]＝900，
∴（3x﹣54）（3x﹣60）＝900，
设3x﹣54＝a，3x﹣60＝b，
则a﹣b＝3x﹣54﹣（3x﹣60）＝6，ab＝900，
∴正方形ARNP的面积＝AR2
＝[（3x﹣54）+（3x﹣60）]2
＝（a+b）2
＝（a﹣b）2+4ab
＝62+4×900
＝36+3600
＝3636，
∴正方形ARNP的面积为3636
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（x﹣4）2+（9﹣x）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.54
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．2a6÷a2＝2a3
C．2a2•3a3＝6a6D．（3a3）2＝9a6
解：A、a与a2不能合并，故A不符合题意；
B、2a6÷a2＝2a4，故B不符合题意；
C、2a2•3a3＝6a5，故C不符合题意；
D、（3a3）2＝9a6，故D符合题意；
故选：D．
2．（2分）（2023秋•防城区期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
3．（2分）（2023秋•城关区校级期末）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（ ）
A．35B．19C．12D．10
解：∵2a＝5，4b＝7，
∴2a+2b＝2a•22b
＝2a•（22）b
＝2a•4b
＝5×7
＝35，
故选：A．
4．（2分）（2023秋•凤山县期末）计算（﹣1）2021×（）2023的结果等于（ ）
A．1B．﹣1C．﹣D．﹣
解：（﹣1）2021×（）2023
＝（﹣）2021×（）2021×（）2
＝[（﹣）×（）]2021×（）2
＝（﹣1）2021×（）2
＝﹣1×
＝﹣，
故选：D．
5．（2分）（2023秋•和田地区期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2．
解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
6．（2分）（2023秋•三亚期末）下列运算中正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．a2•a3＝a6
C．a5÷a2＝a3D．a5+a5＝2a10
解：∵（a2）3＝a2×3＝a6，
∴A不正确，不符合题意；
∵a2•a3＝a2+3＝a5，
∴B不正确，不符合题意；
∵a5÷a2＝a5﹣2＝a3，
∴C正确，符合题意；
∵a5+a5＝2a5，
∴D不正确，不符合题意；
故选：C．
7．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．
故选：A．
8．（2分）（2022秋•江汉区校级期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；
剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
9．（2分）（2023春•拱墅区期末）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（ ）
A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等
B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等
C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等
D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等
解：（x+a）（2x+b）
＝2x2+bx+2ax+ab
＝2x2+（b+2a）x+ab，
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab，
∵多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q，
∴p＝b+2a，q＝2b+a，
∵p+q＝6，且p，q均为正整数，
∴b+2a+2b+a＝6，
整理得：a+b＝2．
又p＝b+2a，q＝2b+a，
∴p＝a+2，q＝b+2．
∴a＝p﹣2，b＝q﹣2．
∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1．
∵p，q均为正整数，
∴p的取值为1，2，3，4，5．
∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3．
∵a＝p﹣2，b＝q﹣2，
∴＝＝＝＝＝﹣1+（q≠2）．
∵p，q均为正整数，
∴q的取值为1，2，3，4，5．
∴的最大值为1，的最小值为﹣3．
故选项A正确，符合题意．
故选：A．
10．（2分）（2021秋•中山区期末）从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
解：原来租的土地面积：a2（平方米）．
现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．
∵a2＞a2﹣16．
∴张老汉的租地面积会减少．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023秋•宜阳县期末）计算：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝ ﹣4 ．
解：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy
＝（x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷xy
＝（﹣4xy）÷xy
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
12．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是 8 ．
解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得：
，
∴x+y＝6，
∴（x+y）2＝36，
∴x2+2xy+y2＝36
∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，
∴xy＝8，
∴长方形ABCD的面积是8，
故答案为：8．
13．（2分）（2023春•历城区校级月考）如果定义一种新运算，规定＝ad﹣bc，请化简：＝ ﹣3 ．
解：由题意得：＝（x﹣1）（x+3）﹣x（x+2）
＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2﹣2x
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
14．（2分）（2022秋•淅川县期末）若关于x的多项式（x+m）（2x﹣3）展开后不含x项，则m的值为 ．
解：原式＝2x2+（2m﹣3）x﹣3m，
∵多项式展开后不含x项，
∴2m﹣3＝0，
∴m＝；
故答案为：．
15．（2分）（2023春•东阿县期末）探索题：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣l；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；…
根据前面的规律，回答问题：
当x＝3时，（32023+32022+32021+…+33+32+3+1）＝ ．
解：根据规律可得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1，
∴，
∴32023+32022+32021+…+33+32+3+1＝＝．
故答案为：．
16．（2分）（2023春•正定县期中）如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片（a＞b），用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②所示的正方形．
（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为 a﹣b ；
（2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
解：（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
17．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）如图，长为50cm，宽为x cm的大长方形被分割成7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y cm．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y为 ．
解：由题意得：
阴影A的面积＝（50﹣3y）（x﹣2y）＝（50x﹣100y﹣3xy+6y2）cm2，
阴影B的面积＝3y[x﹣（50﹣3y）]＝3y（x﹣50+3y）＝（3xy﹣150y+9y2）cm2，
∴阴影A的面积﹣阴影B的面积＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣（3xy﹣150y+9y2）
＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣3xy+150y﹣9y2
＝﹣3y2+50y+50x﹣6xy
＝﹣3y2+50y+（50﹣6y）x，
∵阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，
∴50﹣6y＝0，
∴y＝，
故答案为：．
18．（2分）（2022秋•怀化期末）定义一种新运算：，例如．若，则k＝ ﹣2 ．
解：由题意得，
（﹣x﹣2）dx＝k﹣1﹣2﹣1＝﹣＝﹣1，
即﹣＝﹣1，
解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
19．（2分）（2022秋•铁西区期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为 41 ．
解：S阴影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF
＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2+2ab）﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
∵a+b＝10，ab＝6；
∴原式＝×102﹣×6
＝×100﹣9
＝41
故答案为：41．
20．（2分）（2021春•东台市期中）如图，一块直径为2a+2b的圆形钢板，从中挖去直径分别为2a与2b的两个圆，已知剩下钢板的面积与一个长为a的长方形面积相等，则这个长方形的宽为 2πb ．
解：设长方形的宽为x，
S阴影＝π×（a+b）2﹣π×a2﹣πb2＝ax．
∴2πab＝ax．
∴x＝2πb．
故答案为：2πb．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023秋•宜阳县期末）计算：
（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3；
（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）．
解：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3
＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3﹣7y3
＝8x3﹣8y3；
（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）
＝{（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣[（a+5b）2﹣（a﹣5b）2]}÷（a﹣b）2
＝（a2﹣6ab+9b2+9a2+6ab+b2﹣20ab）÷（a﹣b）2
＝（10a2﹣20ab+10b2）÷（a﹣b）2
＝10（a﹣b）2÷（a﹣b）2
＝10．
22．（6分）（2022秋•巩义市期末）杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论：
根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值．
解：小红说得对，
理由：（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+3y）2+6xy
＝x2﹣4y2﹣（x2+6xy+9y2）+6xy
＝x2﹣4y2﹣x2﹣6xy﹣9y2+6xy
＝﹣13y2，
∴这道题与x的值无关，是可以解的，
当y＝﹣1时，原式＝﹣13×（﹣1）2
＝﹣13×1
＝﹣13．
23．（8分）（2022秋•章丘区校级期末）观察下列等式：
（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1，
（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1，
（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4﹣1．
（1）根据上面各式的规律，请写出第5个等式： （m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1 ；
（2）根据上面各式的规律可得（m﹣1）（mn+mn﹣1+……+m2+m+1）＝ mn+1﹣1 ；（n为正整数，且n≥2）．
（3）求22022+22021+…+22+2的值．
解：（1）由所列举的式子的规律可得，第5个等式为（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1，
故答案为：（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1；
（2）由所列举的式子的规律可得，
（m﹣1）（mn+mn﹣1+……+m2+m+1）＝mn+1﹣1，
故答案为：mn+1﹣1；
（3）∵（2﹣1）（22022+22021+…+22+2+1）＝22023﹣1，
∴22022+22021+…+22+2+1＝22023﹣1，
∴22022+22021+…+22+2＝22023﹣2，
答：22022+22021+…+22+2的值为22023﹣2．
24．（8分）（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ，图2 （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ；（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（1）已知a+b＝7，ab＝12，求a2+b2的值；
（2）已知（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，求（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值．
拓展运用：如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2.若AB＝m，S＝S1+S2，则直接写出Rt△ACF的面积．（用S，m表示）．
解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
数学思考：（1）∵a+b＝7，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝72﹣2×12
＝49﹣24
＝25，
∴a2+b2的值为25；
（2）设2024﹣x＝a，2022﹣x＝b，
∴a﹣b＝2024﹣x﹣（2022﹣x）＝2，
∵（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，
∴ab＝2023，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝22+2×2023
＝4+4046
＝4050，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值为4050；
拓展运用：Rt△ACF的面积＝，
理由：设AC＝a，BC＝b，
∵AB＝m，
∴a+b＝m，
∵S＝S1+S2，
∴S＝a2+b2，
∴Rt△ACF的面积＝AC•CF
＝ab
＝×[（a+b）2﹣（a2+b2）]
＝．
25．（8分）（2023春•定边县期末）将两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例：若a﹣b＝4，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a﹣b＝4，ab＝1，
所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18．
根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝56，（a+b）2＝100，则ab＝ 22 ；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2020）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为35，求图中阴影部分的面积之和．
解：（1）∵（a+b）2＝100，a2+b2＝56，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝100﹣56
＝44，
∴ab＝22，
故答案为：22；
（2）设2023﹣x＝a，x﹣2020＝b，
∴a+b＝2023﹣x+x﹣2020＝3，
∵（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，
∴a2+b2＝2021，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝9﹣2021
＝﹣2012，
∴ab＝（2023﹣x）（x﹣2020）＝﹣1006，
∴（2023﹣x）（x﹣2020）的值为﹣1006；
（3）∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD＝10，
∵BC＝6，BE＝DF＝x，
∴CF＝CD﹣DF＝10﹣x，CE＝BC﹣BE＝6﹣x，
设CF＝10﹣x＝a，CE＝6﹣x＝b，
∴a﹣b＝10﹣x﹣（6﹣x）＝4，
∵长方形CEPF的面积为35，
∴CF•CE＝ab＝35，
∴图中阴影部分的面积之和＝正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积
＝CF2+CE2
＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝16+2×35
＝16+70
＝86，
∴图中阴影部分的面积之和为86．
26．（8分）（2023春•蚌埠期末）[阅读理解]
[迁移运用]
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（x﹣2023）2+（x﹣2026）2＝31，求（x﹣2023）（x﹣2026）的值；
（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
解：（1）设 x﹣2023＝a，x﹣2026＝b，
∴a﹣b＝x﹣2023﹣（x﹣2026）＝3，
∵（x﹣2023）2+（x﹣2026）2＝31，
∴a2+b2＝31，
∴2（x﹣2023）（x﹣2026）＝2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝31﹣32＝31﹣9＝22，
∴（x﹣2023）（x﹣2026）＝11，
∴（x﹣2023）（x﹣2026）的值为11；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∵长方形EMFD的面积是48，
∴FM•DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝48，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，
∴ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196，
∴a+b＝14或a+b＝﹣14（舍去），
∴阴影部分的面积＝正方形MFRN的面积﹣正方形GFDH的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28，
∴阴影部分的面积是28．
27．（8分）（2023春•平湖市期中）小马同学化简[（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）]÷（2y）的过程如下：
解：原式＝（x2﹣y2﹣x2﹣y2）÷（2y）①
＝（﹣2y2）÷（2y）②
＝﹣y③
（1）请把x＝3，y＝1分别代入原式[（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）]÷（2y）以及化简后的式子﹣y，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？
（2）指出小马同学化简错误的步骤： ① （填写序号）；并写出正确的化简过程．
解：（1）当x＝3，y＝1时，[（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）]÷（2y）
＝[（3﹣1）2﹣（3﹣1）（3+1）]÷（2×1）
＝（4﹣2×4）÷2
＝（4﹣8）÷2
＝﹣4÷2
＝﹣2；
当x＝3，y＝1时，﹣y＝﹣1；
∵﹣2≠﹣1，
∴小马同学的化简结果不对；
（2）小马同学化简错误的步骤：①，
正确的化简过程如下：[（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）]÷（2y）
＝（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（2y）
＝（2y2﹣2xy）÷（2y）
＝y﹣x，
故答案为：①．
28．（8分）（2023春•城阳区期末）阅读理解：
若x满足（60﹣x）（x﹣40）＝20，求（60﹣x）2+（x﹣40）2的值．
解：设60﹣x＝a，x﹣40＝b，
则ab＝20，a+b＝60﹣x+x﹣40＝20．
∴（60﹣x）2+（x﹣40）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×20＝360；
类比探究：
（1）若x满足（70﹣x）（x﹣20）＝﹣30，求（70﹣x）2+（x﹣20）2的值．
（2）若x满足（3﹣4x）（2x﹣5）＝，求（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2的值．
友情提示（2）中的4（2x﹣5）2可通过逆用积的乘方公式变成[2（2x﹣5）]2．
（3）若x满足（2023﹣x）2+（2020﹣x）2＝2061，求（2023﹣x）（2020﹣x）的值．
解决问题：
（4）如图，正方形AEGO和长方形KLMC重叠，重叠部分是长方形BEFC其面积是300，分别延长FC、BC交AO和OG于D、H两点，构成的四边形ABCD和CFGH都是正方形，四边形ODCH是长方形．设CM＝x，KC＝3CM＝3x，KB＝54，FM＝20，延长AO至P，使OP＝2OD，延长AE至R，使RE＝2BE，过点P、R作AP、AR垂线，两垂线交于点N，求正方形ARNP的面积．（结果是一个具体的数值）
解：（1）设70﹣x＝a，x﹣20＝b，
则ab＝﹣30，a+b＝70﹣x+x﹣20＝50，
∴（70﹣x）2+（x﹣20）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝502﹣2×（﹣30）
＝2500+60
＝2560，
∴（70﹣x）2+（x﹣20）2的值为2560；
（2）∵（3﹣4x）（2x﹣5）＝，
∴（3﹣4x）[2（2x﹣5）]＝9，
∴（3﹣4x）（4x﹣10）＝9，
设3﹣4x＝m，4x﹣10＝n，
则m+n＝3﹣4x+4x﹣10＝﹣7，mn＝9，
∴（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2
＝（3﹣4x）2+[2（2x﹣5）]2
＝（3﹣4x）2+（4x﹣10）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝（﹣7）2﹣2×9
＝49﹣18
＝31，
∴（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2的值为31；
（3）设2023﹣x＝p，2020﹣x＝q，
则p﹣q＝2023﹣x﹣（2020﹣x）＝3，p2+q2＝2061，
∴2pq＝p2+q2﹣（p﹣q）2
＝2061﹣32
＝2061﹣9
＝2052，
∴（2023﹣x）（2020﹣x）＝pq＝1026，
∴（2023﹣x）（2020﹣x）的值为1026；
（4）∵CM＝x，KC＝3CM＝3x，KB＝54，FM＝20，
∴BC＝KC﹣KB＝3x﹣54，CF＝CM﹣FM＝x﹣20，
∵长方形BEFC的面积是300，
∴BC•CF＝（3x﹣54）（x﹣20）＝300，
由题意得：AB＝BC＝3x﹣54，CF＝BE＝x﹣20，
∵ER＝2BE，
∴BR＝3BE＝3（x﹣20），
∴AR＝AB+BR＝（3x﹣54）+3（x﹣20）＝（3x﹣54）+（3x﹣60），
∵（3x﹣54）（x﹣20）＝300，
∴（3x﹣54）[3（x﹣20）]＝900，
∴（3x﹣54）（3x﹣60）＝900，
设3x﹣54＝a，3x﹣60＝b，
则a﹣b＝3x﹣54﹣（3x﹣60）＝6，ab＝900，
∴正方形ARNP的面积＝AR2
＝[（3x﹣54）+（3x﹣60）]2
＝（a+b）2
＝（a﹣b）2+4ab
＝62+4×900
＝36+3600
＝3636，
∴正方形ARNP的面积为3636
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（x﹣4）2+（9﹣x）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
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