2025高考数学一轮课时作业第二章函数2.1函数的概念及其表示（附解析）

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1. 下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图象是 （ C ）
A. B. C. D.
解：中的值域不满足题意，中的定义域不满足题意，项不是函数的图象，由函数的定义可知 正确故选.
2. 函数的定义域为（ C ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：要使函数 有意义，则 解得，且.所以函数 的定义域为,.故选.
3. 下列各组函数中表示同一函数的是 （ B ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
解：中，的定义域是，的定义域是，不是同一函数.
中，两个函数的定义域都是，且，是同一函数.
中，的定义域是，的定义域是，不是同一函数.
中，的定义域是，的定义域是，不是同一函数.
故选.
4. 【多选题】已知函数则下列结论正确的是（ BD ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. D. 若，则
解：对于，易知 的定义域为，错误.
对于，当 时，；当 时，.所以 的值域为，正确.
对于，，错误.
对于，当 时，由，得，解得（舍去）；当 时，由，得，解得 或（舍去）.综上，，正确.故选.
5. 【多选题】已知函数的定义域和值域均为，则（ ABC ）
A. 函数的定义域为B. 函数的定义域为
C. 函数的值域为D. 函数的值域为
解：函数 中，，解得，故函数 的定义域为，正确.
函数 中，解得，故函数 的定义域为，正确.
函数 和 的值域都为，正确，错误．故选．
6. 已知则（ B ）
A. B. 4C. 2D.
解：因为，，所以.故选.
7. 已知函数 若，则实数 .
解：当 时，，所以 （舍去）.当 时，，所以,符合题意.故填.
8. 求函数的解析式：
（1） 是二次函数,且满足,;
解：设所求的二次函数为.
因为,所以.
又,
所以，
即.
由恒等式性质，得 所以
所以.
（2） 满足.
[答案]
因为，
所以.
，得,
故.
【综合运用】
9. 若，则（ A ）
A. 8B. 3C. 1D. 30
解：（方法一）令，得，则.
则.
（方法二）令,得,故.
故选.
10. 若函数的值域为，则的取值范围为（ B ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：当 时，,.
当 时，,.
因为函数 的值域为,
所以 即,.故选.
11. 已知函数则关于的不等式的解集为,..
解：由题意，可得 或 解得 或.
故不等式的解集为,.故填,.
12. 已知函数，，.
（1） 在同一直角坐标系中，分别画出函数，的图象；
解：函数 和 的图象如图1所示.
图1
（2） ，用表示，中的最小者，记为,，请分别用图象法和解析法表示函数．
[答案]
联立 整理得，解得 或.
结合图1，得当 时，,.
当 时，,.
当 时，,.
所以函数 的解析式为
函数 的图象如图2所示.
图2
【拓广探索】
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：
，.已知函数，则函数的值域为 （B）
A. B. ,C. D.
解：因为，，
所以 是 上的奇函数.
当 时，，
所以当 时，,.
从而 的值域为,.故选.