第二章　§2.1　函数的概念及其表示-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.1　函数的概念及其表示
1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.函数的概念一般地，设A，B是　　　　　　　，如果对于集合A中的　　　一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　　　　　的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素：　　　　、　　　　　、　　　.(2)如果两个函数的　　　　相同，并且　　　　　完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示法表示函数的常用方法有　　　　、图象法和　　　　.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.(　　)(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　)(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.(　　)(4)函数f(x)＝　　　　的定义域为R.(　　)
2.(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是
在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象.
3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是
对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数；
对于D选项，y＝1的定义域是R，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数.
4.已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是______________.
f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.
例1　(1)(多选)下列说法中正确的有
对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；
(2)(2024·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(2x－1)的定义域为_________.
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.
跟踪训练1　(1)下列各组函数表示同一个函数的是
对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；
(2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)的定义域为[2,8]，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域为A.[4,16] B.(－∞，1]∪[3，＋∞)C.[1,3] D.[3,4]
所以函数h(x)的定义域为[1,3].
例2　(1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).
则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2).
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴f(x)＝2x＋7(x∈R).
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式.
(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2， ①∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2， ②由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，∴f(x)＝3x－2(x∈R).
函数解析式的求法(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________________.
因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)，因为f(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立，
所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；
当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误.
(2)已知函数f(x)＝ 若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是______________________.
[－3，－1)∪[4，＋∞)
解得a＝－2或a＝5.
解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞).
分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
跟踪训练3　(1)(2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ 则f(2 023)等于A.0 B.1 C.2 D.3
由题设，当x>0时，f(x)＝f(x－3)，即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数，则f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1)＝f(－2)＝lg2[2－(－2)]＝lg24＝2.
对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确；
对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确；对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确.
一、单项选择题1.(2023·西安模拟)函数f(x)＝ ＋ln(1－x)的定义域是A.(－2,1) B.(－3,1)C.(1,2) D.(1,3)
故函数f(x)的定义域是(－2,1).
2.函数f(x)＝ 的值域是A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)∪(－2，＋∞)D.(－∞，1)∪(1，＋∞)
3.(2023·驻马店统考)已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于A.－4 B.－2 C.2 D.4
令2x＋1＝3，得x＝1，则f(3)＝2－1－3＝－2.
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是
水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加的由快变慢，中间增加的最慢，最后增加的由慢变快，由图可知选项A符合.
5.已知f(x)＝ 实数a满足f(a)由题意可知，a≠0.当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以由f(a)0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，所以由f(a)0，解得a>2，所以a的取值范围是(－2,0)∪(2，＋∞).
∵当x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，又f(x)的值域为R，故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0).
二、多项选择题7.(2023·汕头模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0,1]交汇函数”的是
由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0,1].
y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，C错误；
8.下列说法正确的是A.函数f(x＋1)的定义域为[－2,2)，则函数f(x)的定义域为[－1,3)
对于A，对于f(x＋1)，令t＝x＋1⇒x＝t－1∈[－2,2)，则t∈[－1,3)，所以f(t)，即f(x)的定义域为[－1,3)，故A正确；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数，故B不正确；
对于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，
要使函数f(x)有意义，
(0,1)∪(1,2]
故函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2].
10.若f( ＋1)＝x－1，则f(x)＝_____________.
令 ＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f(x)＝x2－2x(x≥1).
当a≥1时，f(a)>a⇔a2>a，解得a>1；当a<1时，f(a)>a⇔2a＋1>a，解得－1(－1,1)∪(1，＋∞)
12.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝ 若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝______.
作出函数f(x)的图象，如图所示.因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)画出这个函数的图象；
此分段函数的图象如图所示.在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象.
(3)求f(x)的最大值.
由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
15.(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数.如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.设f(x)＝x－[x]，则下列结论正确的有A.f(－1.1)＝0.9B.函数f(x)的图象关于原点对称C.f(x＋1)＝f(x)＋1D.函数f(x)的值域为[0,1)
对于A，因为f(x)＝x－[x]，所以f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故A选项正确；对于B，因为f(0.5)＝0.5－[0.5]＝0.5－0＝0.5，f(－0.5)＝－0.5－[－0.5]＝－0.5－(－1)＝0.5，所以f(0.5)＋f(－0.5)＝1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B选项错误；对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x所以f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－(k＋1)＝x－k，f(x)＝x－[x]＝x－k，故C选项错误；对于D，由C选项分析可知∀x∈R，总有f(x＋1)＝f(x)，即f(x)是周期为1的周期函数，不妨设0≤x<1，则此时有0≤f(x)＝x－[x]＝x－0＝x<1，因此函数f(x)的值域为[0,1)，故D选项正确.
16.已知函数f(x)＝ 的定义域为R，则实数m的取值范围是_____________，若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是__________.
若函数f(x)的定义域为R，则有m>0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0，
令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0，