2025高考数学一轮课时作业第二章函数2.2函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性（附解析）

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1. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ D ）
A. B.
C. D.
解：对于，函数的定义域为，，所以 为奇函数.对于，函数的定义域为，，所以 为偶函数.对于，函数的定义域为，，所以 为奇函数.只有 既不是奇函数也不是偶函数.故选.
2. 函数的图象关于 （ B ）
A. 轴对称B. 原点对称C. 轴对称D. 直线对称
解：由 得 或.
又,所以 是奇函数，图象关于原点对称.故选.
3. 已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（ B ）
A. B. C. D.
解：因为 是偶函数，所以.所以.又，所以.所以故选.
4. 函数的图象大致为（ D ）
A. B.
C. D.
解：的定义域为，且，故函数为偶函数，排除，．又，排除.故选．
5. 若函数为奇函数，则（ C ）
A. 0B. 1C. D. 1或
解：（方法一）因为 是奇函数，所以，即.显然，整理得，即.该式对任意 恒成立，故，解得.
（方法二）因为 为奇函数，定义域为.观察函数解析式，取，则，解得.故选.
6. [2021年全国甲卷]设是定义域为的奇函数，且.若，则（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意，可得故选.
7. 已知函数满足.若，则 .
解：由题意，知，则.用 代替，得.故 为周期函数，且4为 的一个周期.若，则.故填.
8. 已知函数为上的偶函数，当时，单调递减，若，则的取值范围是,..
解：结合题意,要满足,则,解得,.故填,.
【综合运用】
9. [2021年新课标Ⅰ卷]已知函数是偶函数，则（ A ）
A. 1B. 0C. 2D. 3
解：.因为 为偶函数，所以，即 整理得，故.故选.
10. [2020年新课标Ⅰ卷Ⅱ卷]若定义在的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ D ）
A. B.
C. D.
解：因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且，所以 在 上也是单调递减，且，.所以当 时，，当 时，.由，得
或
或，
解得 或.
所以满足 的 的取值范围是.故选.
11. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为 ．
解：因为函数 为偶函数，所以，即.因为函数 为奇函数，所以，即.
联立①②，可得.又，当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最小值为．故填.
12. 已知的定义域为，，且.
（1） 证明：是偶函数.
解：证明：的定义域为，关于原点对称.
令，，得，即.又，所以.
令，得，所以.所以，所以 是偶函数.
（2） 求.
[答案]因为 为偶函数，所以.令，得.所以.
【拓广探索】
13. 【多选题】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为以下四个命题，其中真命题有（ ABD ）
A. 是偶函数
B. 的周期是任意非零有理数
C. 是奇函数
D. ，，
解：对于，当 为有理数时，为有理数，则．当 为无理数时，为无理数，则．故当 时，，所以 是偶函数，故 是真命题.
对于，且，当 是有理数时，是有理数，.当 是无理数时，是无理数，.所以，，故 是真命题.
对于，是偶函数，不是奇函数，故 是假命题.
对于，当，时，是无理数，则，，满足，故 是真命题.故选.