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2025高考数学一轮课时作业第六章数列专题突破12数列的综合问题（附解析）

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这是一份2025高考数学一轮课时作业第六章数列专题突破12数列的综合问题（附解析），共6页。试卷主要包含了已知数列满足,等内容，欢迎下载使用。
（1）求的通项公式.
解：设数列为公差为的等差数列.
，即，即.
，，依次成等比数列，可得
，即，
解得.
则.
（2）设数列的前项和为，证明：.
证明：.
则,
即,.
因为,所以.
2. 已知数列满足,.
（1）证明为常数列，并求数列的通项公式.
解：证明：因为，所以.
所以，即.
所以为常数列.
又，所以，即.
（2）设为数列落在区间,内的项的个数，求数列的前项和.
[答案]
由题意，得，
所以.所以.
故.所以数列是首项为2，公比为3的等比数列.
所以.
3. 在，，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并作出解答.
问题：已知数列的前项和，等比数列的前项和为，，且，判断是否存在唯一的，使得，且.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：数列的前项和.
当时，，
当时，.
经检验，当时也适合上式.
故数列的通项公式为.
所以.
若选①：因为，所以，.
又，所以.
则等比数列的公比为.
故数列是递增的等比数列，且.
故不存在，使得，且.
若选②：因为，所以.
又，则等比数列的公比为，故数列的通项公式为，所以数列是递减的等比数列.
当时，，,
故存在唯一的，使得，且.
若选③：因为，所以.
设等比数列的公比为，则，解得，所以数列是摆动的等比数列，且.
当时，，
当时，，
故不存在唯一的，使得，且.
4. [2023年新课标Ⅱ卷]已知为等差数列，记，分别为数列，的前项和，，.
（1）求的通项公式.
解：设等差数列的公差为.
则,,
于是解得则.
所以数列的通项公式是.
（2）证明：当时，.
证明：（方法一）由（1），知，
当为偶数时，，
.
当时，，因此.
当为奇数时，.
当时，，因此.
综上，当时，.
（方法二）由（1），知，
当为偶数时，.
当时，，因此.
当为奇数时，若，则.显然满足上式.因此当为奇数时，，
当时，，因此.
综上，当时，.