2023-2024学年陕西省西安市新城区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市新城区九年级上学期数学期末试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 计算的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，把特殊角的三角函数值代入算式计算即可得到结果，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出DF∥BC，则△EFD∽△EBC，AD∥BC，得△EFD∽△BFA，从而得出△BFA∽△EBC．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥CB，AB∥DC，
∴△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，
∴△BFA∽△EBC．
共3对．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．
3. 已知反比例函数的图象经过点，那么下列四个点中也在这个函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据点，在反比例函数的图象上求出的值，再根据的特点对各选项进行逐一判断．
【详解】反比例函数的图象经过点，
，
A.，此点不在反比例函数图象上，不符合题意；
B.，此点不在反比例函数图象上，不符合题意；
C.，此点在反比例函数图象上，符合题意；
D.，此点不在反比例函数图象上，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是求反比例函数解析式，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．
4. 在数据1，，5，中，任选两个数均是一元二次方程根的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、解一元二次方程因式分解法．利用因式分解法求出一元二次方程的根，再列表可得出所有等可能的结果数以及任选两个数均是一元二次方程的根的结果数，利用概率公式可得出答案．
【详解】解：，
，
或，
解得，．
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中任选两个数均是一元二次方程的根的结果有：，，共2种，
任选两个数均是一元二次方程的根的概率为．
故选：A．
5. 已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线图象性质可得A点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.
【详解】∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故选D.
【点睛】本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式.
6. 如图，已知、分别是正方形的边与的中点，与交于点，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质．连接，可证得，可得，推出，可判断A错误；由，可得，
即，可判断B错误；利用证明，即可推出，即可判断C正确；先证明，可得，推出，可判断D错误．
【详解】解：连接，如图，
是的中点，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，即，
故A错误；
，
，
，
，
故B错误，
四边形是正方形，
，，
是的中点，为的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，即
选项C成立，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故D错误，
故选：C．
7. 如图，反比例函数图象过第二象限内一点P，过点P的直线分别交x轴，y轴于点A，B，轴于点C，轴于点D，若，则k的值为（ ）
A. B. 6C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，通过相似三角形得出是解题的关键．
利用与相似即可解决问题．
【详解】解：轴，轴，
，轴，
，
，
∴．
又，
，
即．
又∵点P在反比例函数的图象上，
，
则，
又∵反比例函数的一支位于第二象限，
，
．
故选：C．
8. 如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（ ）m．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
根据题意可得：，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
，
∴，
∴，
解得：，
∴窗户的高为，
故选：D．
9. 如图，某体育场看台一人行台阶的示意图，是铅垂线，是水平线，与的夹角为，现要在台阶上铺一条红地毯，已知，台阶宽度，则地毯的面积至少为（ ）（已知：）
A. 16.10B. 18.66C. 22.44D. 23.45
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，由题意知是直角三角形，所需地毯的长度为与长度之和，通过解求出，进而求出，乘以台阶宽度即可得出地毯的面积．
【详解】解：在中，，
∴，
∴地毯的面积至少为．
故选C．
10. 如图，在等边中，点D，E分别是上点，，，则等于（ ）
A. 5B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是证明三角形相似．
方法一：根据等边三角形性质先计算，再由两角相等证明，所以，即解出，进而求解即可．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
即，
而，
，
，
，
，即，
解得，
．
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11. 已知是关于x的方程的一个根，则______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义，将代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可．
【详解】解：把是关于x的方程
得：，
解得：，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了是一元二次方程的根，解题的关键是将方程根代入原方程得到关于m的一元一次方程．
12. 若，则＝___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．根据比例的性质可得，然后把变形后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
13. 如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．但在史籍中却少有记载，现在史料中最早的记载是“汉书•律历志•制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 _______投影．
【答案】平行
【解析】
【分析】本题考查了平行投影．熟练掌握平行投影的定义是解题的关键．
根据平行投影的定义进行判断作答即可．
【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
故答案为：平行．
14. 已知抛物线，经过四点，则与的大小关系是_____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】本题考查二次函数的对称性，比较二次函数的函数值大小，根据对称性求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，比较函数值大小即可．解题的关键是确定对称轴．
【详解】解：由抛物线经过知抛物线对称轴为直线，且，
∴抛物线上的点离对称轴距离越小，对应函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：＜．
15. 如图，点A，B是曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，构成多个矩形分别代表所在的小矩形的面积，则的值是 _____．
【答案】0
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．设图中阴影部分的矩形面积为S，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，由此可得出的值．
【详解】解：设图中阴影部分的矩形面积为S，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：
，
．
故答案为：0．
16. 如图，在中，点在上，与相交于点，若，则_________．

【答案】
【解析】
【分析】先求出，根据平行四边形的性质得到，BC=AD，AD//BC，由平行得相似，得出△BEF∽△DAF，再利用相似三角形的对应边成比例得到即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD//BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴,
即=．
故答案为．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．证明△BEF∽△DAF是解决问题的关键.
17. 如图，等腰中，，，点D是上一点，，则AD的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】作于点E，先利用勾股定理求出，然后证明是等腰直角三角形，得到，设，则，则，在中，，则，再由，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，如图，
∴，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，设，则，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的方法．
18. 如图，在平面直角坐标系中，将一块含有的直角三角板按照如图方式摆放，顶点A、B的坐标为、，直角顶点C的坐标为，若反比例函数 的图象与直角三角板的边有三个交点时，则k的值为 ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，函数与方程的关系，明确当反比例函数（）的图象与直线有一个交点时，与直角三角板的边有三个交点是关键．根据题意当反比例函数（）的图象与直线有一个交点时，与直角三角板的边有三个交点，根据根的判别式即可求解．
【详解】解：当反比例函数的图象经过A时，；
当反比例函数的图象经过B时，；
∴当反比例函数的图象经过A（或B）时，与直角三角板的边有两个交点，
设直线为，
把点A、B的坐标为、代入得，，
解得，
∴直线为，
∴当反比例函数的图象与直线有一个交点时，与直角三角板的边有三个交点，
∴方程，即中，，
，
解得，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，计66分，解答题应写出过程）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；；（2），
【解析】
【分析】（1）移项，利用平方差公式解一元二次方程即可解答；
（2）直接利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）原方程可化为，
则，
即，
∴；；
（2）∵，
∴△==3＞0，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，根据方程结构特点灵活选择简便解法是解答的关键．
20. 如图，在中，点分别在边上，，．
（1）求证：；
（2）设，若，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）由，得到，，即可求证；
（）由得到，再证明，得到，进而得到，代入计算即可求解；
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：在与 中，
∵，，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴．
21. 如图，某市要进行城市道路改造，原来从地铁口地到地标建筑广场地的道路需经过地，千米，测得，，因城市规划的需要，增大流通效率，将在，两地之间修建一条笔直的道路．参考数据：，，，
（1）求改直的道路的长；
（2）求道路改直后比原来缩短了多少千米？
【答案】（1）改直的公路的长约为千米
（2）公路改直后比原来约缩短了千米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，
（1）作 于点，点，结合题意分别在和中，进行计算各边长，然后相加即可得出结论；
（2）在（1）的结论中，求出原来公路的长度，再作差求解即可．
【小问1详解】
解：作 于点，如图：
中，，
，
在 中，，
，
千米，
故改直的公路的长约为千米．
【小问2详解】
在 中，，
，
千米，
则公路改直后比原来约缩短了千米．
22. 如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长．
【答案】的长为．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含角的直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识．由菱形的性质得，，再证，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，得，然后证，即可解决问题．
【详解】解：四边形为菱形，
∴，，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为．
23. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】23. 反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为
24. 或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力．（1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由题意得出函数的图象总在函数的图象上方，即可得出结果．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为 ，
点在反比例函数的图象上，
，
点B的坐标为 ，
一次函数的图象经过点A、B，将A、B两个点的坐标代入，
得：，
解得：，
一次函数的表达式为；
【小问2详解】
画出图象：
观察函数图象可知：符合条件的x取值范围是： 或．
24. 如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值．
【答案】（1）
（2），8
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来．
（1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可；
（2）连接，设点P坐标为（m，），，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可．
【小问1详解】
解：∵、，，
设抛物线表达式：，
将C代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
连接，设点P坐标为．
∵、，，
可得：，，，
∴
，
∴当时，面积最大值为8，
∴四边形的面积最大值为8．
25. （1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，（1）中结论是否依然成立，说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，点P为线段上一点，点C为线段上一点，，当满足时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）2或10
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，等边对等角．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由，，可知，证明，则，进而结论得证；
（2）利用（1）的方法求解即可；
（3）证明，可得：；可得，再建立方程求解即可．
【详解】证明：（1）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）依然成立，理由如下：
设，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，，而，
∴，
∴，
由（1）（2）可得：；
又∵，
∴，
∴，
∴或，
∴的长为2或10．
1
5
1
5