2024年广东省肇庆市怀集县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省肇庆市怀集县中考数学二模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024的倒数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.一滴水的质量约为0.0000512kg，将0.0000512用科学记数法表示为( )
A. 0.512×10−4B. 5.12×10−5C. 51.2×10−6D. 512×10−7
3.有五张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5.从中随机抽取一张，编号是奇数的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用.下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图所示是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，与“读”字相对面的字是( )
A. 悦
B. 花
C. 都
D. 美
6.下列运算中，正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 15÷ 5= 3
C. a6÷a2=a3D. (a+b)2=a2+b2
7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=120°，则∠AOC的大小为( )
A. 130°
B. 50°
C. 100°
D. 120°
8.为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得( )
A. 12x(x−1)=28B. 12x(x+1)=28C. x(x−1)=28D. x(x+1)=28
9.已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
10.甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是( )
A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B. 当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C. 当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D. 当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.要使分式1x−3有意义，则x的取值范围是______．
12.因式分解：ax+ay=______．
13.已知一次函数y=−x+m与y=2x−1的图象如图所示，则关于x，y的方程组y=−x+my=2x−1的解为______．
14.如图，l1//l2，A、B分别是直线l1，l2上的点，AB=3，sinα=23，则直线l1与l2之间的距离为______．
15.如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC= 3，以C为圆心，CA为半径的圆弧分别交AB、CB于点D、E，则图中阴影部分面积之和为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程组：2x+y=132x−y=3．
(2)计算：|−3|−6sin60°−(3.14−π)0+ 27+(−12)−2．
17.(本小题7分)
以下是某同学化简分式(x+1x2−4−1x+2)÷3x−2的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第______步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
18.(本小题7分)
问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB=AC；②DB=DC；③∠BAD=∠CAD.若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？______(填“全等”或“不全等”)，理由是______；
(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．
19.(本小题9分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O；
(1)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AC=4，BD=2，求cs∠BCE的值．
20.(本小题9分)
如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A坐标为(1,4)，点B坐标为(4,n)．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请说明直线AB向下平移了几个单位长度．
21.(本小题9分)
“七⋅一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
(1)求A，B奖品的单价；
(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
22.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA．
(1)求证：∠BDC=∠BCE；
(2)连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G.当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE；
(3)若⊙O的半径为6，在(2)的条件下，求图中阴影部分面积．
23.(本小题12分)
如图1，射线OM⊥ON，点B在ON上，且OB=4，点A是射线OM上的动点．
(1)当OA=OB时，
①求∠ABO的度数；
②如图2，若P是∠MON内的一点，∠APB=90°且PA+PB=5 2，求线段PO的长；
(2)如图3以AB为直角边构造Rt△ABC，其中∠BAC=90°，且S△ABC=12，点D是线段BC的中点，点E与点A关于点D对称，连接OE，当线段OE取最大值时，求ACAB的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2024的倒数是12024；
故选：C．
根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000512=5.12×10−5．
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3.【答案】C
【解析】解：随机抽取卡片有5种等可能结果，其中编号为奇数的有3种可能，则概率为35．
故选：C．
利用直接列举法求出概率即可．
本题考查列举法求概率，掌握列举法求概率是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：把展开图折叠成小正方体，与“读”字相对面的字是美，
故选：D．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、 15÷ 5= 3，故B符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，除法法则，同底数幂的除法，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，同底数幂的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠B=120°，
∴∠D=180°−120°=60°，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠D=120°，
故选：D．
根据圆内接四边形的性质求出∠D，再根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意得：12x(x−1)=28．
故选：A．
利用比赛的总场数=参赛队伍数×(参赛队伍数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象，可知：a<0，b>0，
则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
根据二次函数的图象可以得到a<0，b>0，然后即可得到一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过哪几个象限．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出a、b的正负．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
利用函数图象的意义可得答案．
本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
11.【答案】x≠3
【解析】解：若分式有意义，则x−3≠0，
∴x≠3，故答案为x≠3．
分式有意义的条件是分母不为0．
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
12.【答案】a(x+y)
【解析】解：ax+ay=a(x+y)．
故答案为：a(x+y)．
提取公因式a即可求得答案．
此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式．
13.【答案】x=2y=3
【解析】解：∵y=−x+m与y=2x−1的图象交于(2,3)，
∴关于x、y的方程组y=−x+my=2x−1的解是x=2y=3．
故答案为：x=2y=3．
根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案．
本题考查了一次函数与二元一次方程组交点问题，可直接根据交点写出．
14.【答案】2
【解析】解：作AC⊥l2于C，
∵sinα=ACAB，
∴AC=AB⋅sinα，
∵AB=3，sinα=23，
∴AC=3×23=2，
则直线l1与l2之间的距离为2．
故答案为：2．
作AC⊥l2于C，根据三角函数的定义计算即可．
本题考查了三角函数的计算，牢记三角函数的定义是解题关键．
15.【答案】14π
【解析】解：连接CD，
∵∠B=30°，
∴∠CAB=90°−∠A=60°，
∵CD=CA，
∴△CDA为等边三角形，
∴∠DCA=60°，AD=CD=AC= 3，
∴∠DCE=90°−60°=30°，
∴∠DCE=∠B，
∴CD=BD，
∴AD=BD，
∴S△ACD=S△CBD=12S△ABC，
∵S扇形ACD=60π×( 3)2360=12π，S扇形DCE=30π×( 3)2360=14π，
∴阴影部分的面积=S扇形ACD−S△ACD+S△CBD−S扇形DCE=S扇形ACD−S扇形DCE=12π−14π=14π.
故答案为：14π.
连接CD，由扇形ACD面积减扇形DCE面积求解．
本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形ACD为等边三角形．
16.【答案】解：(1)2x+y=13①2x−y=3②，
①+②得：4x=16，
解得：x=4，
把x=4代入①得：8+y=13，
解得：y=5，
故原方程组的解是：x=4y=5；
(2)原式=3−6× 32−1+3 3+4
=3−3 3−1+3 3+4
=6．
【解析】(1)方程组利用加减消元法求解即可；
(2)分别根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂的定义以及负整数指数幂的定义化简即可．
本题考查了解二元一次方程组以及实数的运算，掌握消元的方法以及相关定义是解答本题的关键．
17.【答案】③
【解析】解：(1)第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
(2)原式=[x+1(x+2)(x−2)−1x+2]×x−23，
=[x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)]×x−23，
=x+1−x+2(x+2)(x−2)×x−23，
=3(x+2)(x−2)×x−23，
=1x+2．
故答案为：1x+2．
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
18.【答案】(1)全等；三边对应相等的两个三角形全等；
(2)树状图：
所有可能出现的结果(①②)(①③)(②①)(②③)(③①)(③②)共有六种等可能的情况，符合条件的有(①②)(①③)(②①)(③①)有四种，
令△ABD≌△ACD为事件A，则P(A)=23．
【解析】解：(1)在△ABD和△ACD中，
AB=ACAD=ADDB=DC，
∴，△ABD≌△ACD(SSS)．
故答案为：全等，三边对应相等的两个三角形全等；
(2)见答案．
(1)根据全等三角形的判定定理解答即可；
(2)先画树状图或列表，再根据所得的结果再判断△ABD≌△ACD的概率即可．
本题主要考查了全等三角形的判定定理和随机事件的概率，熟练掌握相关性质定理和求概率的方法是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，CE为所作；

(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC=12AC=2，OB=OD=12BD=1，AC⊥BD，AB=BC，
在Rt△OAB中，AB= OA2+OB2= 22+12= 5，
∵AB⋅CE=12AC⋅BD，
∴CE=12×2×4 5=4 55，
∵BC=AB= 5，
∴cs∠BCE=CEBC=4 55 5=45．
【解析】(1)利用基本作图，过C点AB的垂线即可；
(2)先根据菱形的性质得到OA=OC=2，OB=OD=1，AC⊥BD，AB=BC，则利用勾股定理可计算出AB= 5，则BC= 5，再利用面积法计算出CE=4 55，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
20.【答案】解：(1)把(1,4)代入y=k2x，
解得：k2=1×4=4，
∴y=4x，
把(4,n)代入y=4x得，n=44=1，
∴B(4,1)，
把(1,4)和B(4,1)代入y=k1x+b得：k1+b=44k1+b=1，
解得k1=−1b=5，
∴y=−x+5；
(2)将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得直线解析式为y=−x+5−m，
∵直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
∴4x=−x+5−m，
整理得x2+(m−5)x+4=0，
∵Δ=(m−5)2−4×1×4=0，
解得m=9或m=1，
即m的值为1或9．
【解析】(1)根据待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)由于将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得直线解析式为y=−x+5−m，则直线y=−x+5−m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程4x=−x+5−m只有一组解，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，将求反比例函数与一次函数的交点坐标问题，转化为将两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为(x−25)元，
由题意得：800x×3=1700−800x−25，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，
则x−25=15，
答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；
(2)设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为(100−m)件，
由题意得：40×0.8×m≥720,40×0.8×m+15×0.8×(100−m)≤1700,
解得：22.5≤m≤25，
∵m为正整数，
∴m的值为23，24，25，
∴有三种方案：
①购买A种奖品23件，B种奖品77件；
②购买A种奖品24件，B种奖品76件；
③购买A种奖品25件，B种奖品75件．
【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出分式方程；(2)找出不等关系，列出一元一次不等式组．
(1)设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为(x−25)元，由题意：预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为(100−m)件，由题意：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
22.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵直线CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵∠OCB+∠ACO=90°，∠OCB+∠BCE=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵∠CAO=∠BDC，
∴∠BDC=∠BCE；
(2)证明：如图，
∵F点为AC的中点，
∴DF⊥AC，
即DF垂直平分AC，
∴DA=DC，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CD，
即AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AC=CD=AD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠BAC=∠BAD=30°，
∴∠BOC=∠BOD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠OBD=60°，
∵∠BOC=∠OBD，
∴DG//OC，
∵OC⊥CE，
∴DG⊥CE；
(3)解：图中阴影部分面积=S扇形BOD−S△BOD=60×π×62360− 34×62=6π−9 3．
【解析】(1)证明：连接OC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠CAO=∠BDC，利用切线的性质得到∠OCE=90°，则根据等角的余角相等得到∠ACO=∠BCE，由于∠CAO=∠ACO，则利用等量代换可得到结论；
(2)如图，先根据垂径定理得到DF垂直平分AC，AB垂直平分CD，则AC=CD=AD，所以△ACD为等边三角形，则根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠BAD=30°，再利用圆周角定理得到∠BOC=∠BOD=60°，然后证明DG//OC，则利用OC⊥CE得到DG⊥CE；
(3)根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积=S扇形BOD−S△BOD进行计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理和扇形面积的计算．
23.【答案】解：(1)①∵OM⊥ON，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°．
②∵OA=OB，∠AOB=90°，
将△OAP绕点O顺时针旋转90°得到△OBP′，
∴∠OAP=∠OBP′，∠AOP=∠BOP′，AP=BP′，OP=OP′，
∵∠APB=∠AOB=90°，
∴∠OAP+∠OBP=360°−∠APB−∠AOB=180°，
∴∠OBP′+∠OBP=180°，
∴P，B，P′三点共线，
∴PP′=P′B+BP=AP+BP=5 2，
∵∠AOP+∠BOP=90°，
∴∠BOP′+∠BOP=90°，即∠POP′=90°，
在Rt△POP′中，OP=OP′，
∴OP= 22PP′=5，

(2)连接BE、CE，

在Rt△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD=12BC=CD=BD，
∵点E与点A关于点D对称，
∴AD=DE=CD=BD，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∵AE=BC，
∴四边形ACEB是矩形，
过点B作BF⊥ON交CE于点F，
∵S△ABC=12，
由同底等高可得S△ABF=12，
∵S△ABF=12BF⋅OB=2BF=12，
∴BF=6，
∵∠FEB=90°，
∴点E在以BF为直径的半圆上，
取BF的中点G，连OG，延长OG与圆交于点E.此时线段OE取得最大值．

∴BG=EG=12BF=3．
在Rt△ABC中，OG= OB2+BG2=5，
过点E作EH⊥ON，
∵EH//BG，
∴BGEH=OGOE=58，
∴EH=85BG=245，
∵∠BAO+∠ABO=90°，∠ABO+∠EBH=90°，
∴∠BAO=∠EBH，
∵∠BOA=∠EHB=90°．
∴△BHE∽△AOB，
∴EBAB=EHOB=2454=65，
∴ACAB=EBAB=65．
【解析】(1)①根据由△AOB是等腰直角三角形解答；
②将△OAP绕点O顺时针旋转90°得到△OBP′，得到PP′=P′B+BP=AP+BP=5 2，而且△POP′是等腰直角三角形，由此即可解题；
(2)连接BE、CE，过点B作BF⊥ON交CE于点F.证明点E在以BF为直径的半圆上．再根据面积求出BF=6，进而取BF的中点G，连OG，延长OG与圆交于点E.此时线段OE取得最大值，求出此时ACAB的值．
本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．本题的综合较强，难度较大．解：原式=[x+1(x+2)(x−2)−1x+2]×x−23①
=[x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)]×x−23②
=x+1−x−2(x+2)(x−2)×x−23③
…
解：