2024年内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗中考数学一模试卷

这是一份2024年内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算结果为−2的是( )
A. (−2)×1B. −1+1C. +|−2|D. −12
2.如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是( )
A. 2+ 5= 7B. (−2a3)2=4a5
C. 6a8÷3a2=2a6D. (a−b)2=a2−b2
4.如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是( )
A. 邗江区明天将有85%的时间下雨B. 邗江区明天将有85%的地区下雨
C. 邗江区明天下雨的可能性较大D. 邗江区明天下雨的可能性较小
5.能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是( )
A. B.
C. D.
6.一元二次方程x2−4x+3=0的解为( )
A. x1=−1，x2=3B. x1=1，x2=3
C. x1=1，x2=−3D. x1=−1，x2=−3
7.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其平面示意图，则∠1的度数为( )
A. 130°B. 120°C. 110°D. 60°
8.如图，一次函数y=34x+92的图象与y=kx+b的图象相交于点P(−2,n)，则关于x，y的方程组3x−4y+18=0kx−y+b=0的解是( )
A. x=−2y=2
B. x=−2y=3
C. x=3y=−2
D. x=2y=−2
9.在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
10.若点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y111.如图，所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作弧BC，弧AC，弧AB，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为3π，则它的面积为( )
A. 9π2−9 32B. 3π2−9 34C. 9 32−3π2D. π2+ 32
12.已知二次函数y=(x−a−1)(x−a+1)−2a+9(a是常数)的图象与x轴没有公共点，且当x<−2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是( )
A. a>−2B. a<4C. −2≤a<4D. −2第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.因式分解：−3b2+12a2= ______．
14.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD=______度．
15.分式方程4x=2x+1的解是______．
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则S△CBD：S△ABD= ______．
17.如图，在正方形ABCD中，E为AD上的中点，P为AB上的一个动点，若AB=2，则PE+PC的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：(−1)2019+(−12)−2−|2− 12|+4sin60°+(π−3)0．
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A(2,n)，B(−4,−2)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)直接写出关于x的不等式kx+b>mx的解集．
20.(本小题6分)
如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是多少米？
21.(本小题6分)
我们学习利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器.如图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长.三分角器的使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．

根据该操作过程，回答问题：
(1)直线DE与圆O的位置关系是______，依据是______；
(2)求证：∠1=∠2=∠3；
(3)若被测量的∠MEN=3α，AB=m，则DB的长度至少为______，才保证该三分角器能够三等分该角.(用含有α，m的代数式表示)
22.(本小题7分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程．
23.(本小题7分)
遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间(单位：h)的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
课外劳动时间频数分布表
解答下列问题：
(1)频数分布表中a=______，m=______；将频数分布直方图补充完整；
(2)若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
(3)已知课外劳动时间在60h≤t<80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
24.(本小题8分)
如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，AC，BC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若AD=6，tan∠DCB=23，则：
①求CD的长；
②求CE长．
25.(本小题10分)
某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y(元/千克)与保存时间x(天)的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．
(1)若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为______(元/千克)，获得的总利润为______(元)；
(2)设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w(元)与保存时间x(天)之间的函数关系式；
(3)求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．
26.(本小题13分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=−x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y=ax2+2x+c的图象于点E．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
(3)已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、(−2)×1=−2，故符合题意；
B、−1+1=0，故不符合题意；
C、+|−2|=2，故不符合题意；
D、−12=−1，故不符合题意；
故选：A．
利用有理数的加法，乘法，绝对值以及乘方法则分别计算即可判断．
此题考查了有理数的加法，乘法，乘方以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故选：D．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2与 5不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、(−2a3)2=4a6，原式计算错误，不符合题意；
C、6a8÷3a2=2a6，原式计算正确，符合题意；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减计算，积的乘方，单项式除以单项式和完全平方公式计算即可．
本题主要考查了二次根式的加减计算，积的乘方，单项式除以单项式和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：“扬州市邗江区明天的降水概率为85%”表示“邗江区明天下雨的可能性较大”，
故选：C．
根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．
本题主要考查了概率的意义的理解，掌握相关概念是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、如图，两个角都是30°，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
B、如图，两个角都是30°，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：A．
根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可．
本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6.【答案】B
【解析】解：∵x2−4x+3=0，
∴(x−1)(x−3)=0，
则x−1=0或x−3=0，
解得x1=1，x2=3，
故选B．
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查因式分解法解一元二次方程．
7.【答案】B
【解析】解：如图2，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=AF=EF，∠BAF=(6−2)×180°6=120°，
∴∠ABF=∠AFB=180°−120°2=30°，
同理∠EAF=30°，
∴∠1=180°−30°−30°=120°，
故选：B．
根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，等腰三角形以及三角形内角和定理，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
8.【答案】B
【解析】解：把点P(−2,n)代入y=34x+92得，n=34×(−2)+92=3，
∴P(−2,3)，
∵一次函数y=34x+92的图象与y=kx+b的图象相交于点P(−2,3)，
∴关于x，y的方程组3x−4y+18=0kx−y+b=0的解是x=−2y=3，
故选：B．
利用一次函数的解析式求得点P的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
9.【答案】C
【解析】解：半径为15cm、圆心角为120°的扇形弧长是：120π×15180=10π (cm)，
设圆锥的底面半径是r cm，
则2πr=10π，
解得：r=5．
故选：C．
根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求解即可．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．熟记这两个关系是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵k=−6，
∴双曲线在二、四象限，且每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴A(−1,y1)分布在第二象限，B(1,y2)，C(3,y3)在第四象限，
∴y2故选：D．
先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
11.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
AB=13×3π=π，∠BCA=60°，
∴π=60π×CB180，
解得CB=3，
∴一个曲边三角形的面积是：[60π×32360−12×3×(3×sin60°)]×3+12×3×(3×sin60°)=9π2−9 32，
故选：A．
根据题意和图形，可以计算出BC的长，然后根据扇形面积公式和三角形的面积，可以求得曲边三角形的面积．
本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】C
【解析】解：y=(x−a−1)(x−a+1)−2a+9
=x2−2ax+a2−2a+8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴△=(−2a)2−4(a2−2a+8)<0
解得a<4；
∵抛物线的对称轴为直线x=−−2a2=a，抛物线开口向上，且当x<−2时，y随x的增大而减小，
∴a≥−2，
∴实数a的取值范围是−2≤a<4．
故选：C．
先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴没有公共点，得出判别式△<0，从而解得a<4；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x<−2时，y随x的增大而减小，可得a≥−2，从而得出选项．
本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】−3(b+2a)(b−2a)
【解析】解：−3b2+12a2=−3(b2−4a2)
=−3(b+2a)(b−2a)．
故答案为：−3(b+2a)(b−2a)．
直接提取公因式−3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14.【答案】140
【解析】解：∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠A=70°，
∵∠BOD=2∠A，
∴∠BOD=140°，
故答案为：140．
根据圆内接四边形的对角互补，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题．
本题考查圆周角定理和圆内接四边形性质，解题的关键是明确它们各自内容，灵活运用，解答问题．
15.【答案】x=−2
【解析】解：去分母得：4x+4=2x，
解得：x=−2，
经检验x=−2是分式方程的解，
故答案为：x=−2
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16.【答案】1：2
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
则BC=12AB，
由作图可知：BP平分∠ABC，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
∴S△CBDS△ABD=12BC⋅CD12AB⋅DE=BCAB=12，
故答案为：1：2．
过点D作DE⊥AB于点E，根据含30°角的直角三角形的性质得到BC=12AB，根据角平分线的性质得到DC=DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、尺规作图，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17.【答案】 13
【解析】解：作点C关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，
则此时，PE+PC的值最小，PE+PC的最小值=EQ，
过E作EF⊥BC于F，
则四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=2，BF=AE=12AD=1，
∴QF=3，
∴EQ= EF2+QF2= 22+32= 13，
故答案为： 13．
作点C关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，则，得到PE+PC的最小值=EQ，过E作EF⊥BC于F，根据矩形的性质得到EF=AB=2，BF=AE=12AD=1，根据勾股定理即可得到结论．
此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据两点之间线段最短得到AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
18.【答案】解：(−1)2019+(−12)−2−|2− 12|+4sin60°+(π−3)0
=−1+4−( 12−2)+4× 32+1
=−1+4−2 3+2+2 3+1
=6．
【解析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再化简二次根式和绝对值，最后计算加减法即可．
本题主要考查了二次根式的加减计算，熟练掌握求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂运算是关键．
19.【答案】解：(1)∵反比例函数y=mx的图象经过点B(−4,−2)，
∴m=−4×(−2)=8．
∴反比例函数的表达式为y=8x
又∵点A(2,n)在反比例函数y=8x的图象上．
∴n=82=4，即A(2,4)．
∵一次函数y=kx+b的图象经过A(2,4)、B(−4,−2)两点．
∴2k+b=4−4k+b=−2，
解得k=1b=2，
∴一次函数的表达式为y=x+2；
(2)观察图象，关于x的不等式kx+b>mx的解集是−42．
【解析】(1)先把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)根据图象即可求得．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．
20.【答案】解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，则四边形ADCE是矩形，

在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=150m，
∴CD=AD⋅tan30°=150× 33=50 3(m)，
∴AE=CD=50 3m．
在Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，AE=50 3m，
∴BE=AE⋅tan30°=50 3× 33=50(m)，
∴BC=AD−BE=150−50=100(m)．
答：这栋楼的高度为100米．
【解析】过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，在Rt△ACD中，求出CD的长，则AE=CD，在Rt△ABE中，求出BE的长，然后根据BC=AD−BE即可得到这栋楼的高度．
此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
21.【答案】相切 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线的圆的切线 mtanα
【解析】(1)解：∵直线DE经过圆O的半径外端点B，且DB⊥AC于点B，
∴直线DE与圆O的位置关系是相切，依据是：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
故答案为：相切；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)如图2，连接OF，
∵AB=BO，DB⊥AO于点B，
∴EA=EO，
又∵AB=BO，
∴∠1=∠2，
∵EB，EF分别切圆O于B和F，
∴OB⊥EB于B，OF⊥EF于F，OB=OF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3；
(3)∵DB⊥AO于点B，
∴∠ABE=90°，
∵∠MEN=3α，∠1=∠2=∠3，
∴∠1=α，
在Rt△ABE中，∠1=α，AB=m，
tanα=ABBE，
∴BE=mtanα，
即DB的长度至少为mtanα．
故答案为：mtanα．
(1)根据切线的定义进行判断即可推出直线DE与圆O的位置关系，再写出依据即可；
(2)根据线段垂直平分线的定义推出EA=EO，然后根据等腰三角形的三线合一性推出∠1=∠2，再根据切线的性质和角平分线性质定理的逆定理推出∠2=∠3即可得证；
(3)根据锐角三角函数的意义在△ABE中根据边角关系即可求出BE的长度与α，m的关系即可解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查圆的切线的判定及性质，线段垂直平分线的定义及性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC，∠DCF=∠ACF=12∠ACD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠B=∠DAB=CD∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)；
(2)解：当△ABC满足AB=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：
由(1)可知，∠CAE=∠ACF，
∴AE//CF，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】(1)由ASA证△ABE≌△CDF即可；
(2)由(1)可知，∠CAE=∠ACF，则AE/​/CF，再由全等三角形的性质得AE=CF，则四边形AECF是平行四边形，然后由等腰三角形的在得∠AEC=90°，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
23.【答案】解：(1)5；0.2
补全的直方图如图所示：
(2)400×(0.25+0.15)=160(人)；
(3)根据题意画出树状图，
由树状图可知：
共有20种等可能的情况，
1男1女有12种，
故所选学生为1男1女的概率为：
P=1220=35．
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数(率)分布直方图，解决本题的关键是掌握概率公式．
(1)根据频数分布表所给数据即可求出a，m；进而可以补充完整频数分布直方图；
(2)根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
(3)根据题意画出用树状图即可求所选学生为1男1女的概率．
【解答】
解：(1)a=(2÷0.1)×0.25=5，
m=4÷20=0.2，
补全的直方图如图所示：
故答案为5；0.2；
(2)见答案；
(3)见答案．
24.【答案】(1)证明：连接OC，如图，

∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵∠DCB=∠CAD，OC=OA，
∴∠DCB=∠OCA=∠CAD，
∴∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：①如图所示，连接OE，
∵EC，EA都是切线，
∴EC=EA，∠DAE=90°，
又∵OC=OA，
∴OE垂直平分AC，
∴∠AEO+∠EAC=90°=∠EAC+∠CAD，
∴∠DCB=∠CAD=∠AEO，
∴tan∠AEO=tan∠DCB=OAAE=23，
∵∠D=∠D，∠OCD=∠EAD=90°，
∴△OCD∽△EAD，
∴CDAD=OCAE=OAAE=23，
∴CD=23AD=4；

②设AE=CE=x，则DE=x+4，
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2=AD2+AE2，
∴(x+4)2=x2+62，
解得x=52，
∴CE=52．
【解析】.(1)连接OD，OB，根据对称的性质可得点D必在⊙O上，OD是⊙O的半径，∠POD=12∠BOD，根据圆周角定理有∠PAD=12∠BOD，从而∠POD=∠PAD，进而得到∠ADO=∠APO，由O A⊥P C得到∠PAO+∠APO=90°，因此∠ADE+∠ADO=90°，即ED⊥OD，得证结论；
(2)先求得∠APO=∠PAD=∠DAO=30°，进而∠PAO=∠AOD+∠PAD=60°，∠AED=90°，因此DE=12AD，根据OA=OB，∠PAO=60°，得到△OAB是等边三角形，根据三线合一得到AD⊥OB，AF=12AD，而在Rt△AOF中AF=OA×cs30°=32，从而DE=AF=32．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线长定理，解直角三角形．
25.【答案】解：(1)62，10340；
(2)由题意得：w=(60+2x)(500−10x)−40x−500×40
=−20x2+360x+10000；
(3)w=−20x2+360x+10000=−20(x−9)2+11620
∵0≤x≤8，x为整数，当x≤9时，w随x的增大而增大，
∴x=8时，w取最大值，w最大=11600．
答：批发商所获利润w的最大值为11600元．
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题用函数表示出来，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．
(1)将x=1代入水果的售价y(元/千克)与保存时间x(天)的函数关系为y=60+2x即可求得该种水果的售价，然后乘以水果质量求得利润即可；
(2)根据利润=售价×销售量−成本列出函数关系式即可；
(3)利用配方法即可求出利润最大值．
【解答】
解：(1)当x=1时，y=60+2x=62(元)，
利润为：62×(500−10)−500×40−40=10340(元)；
(2)见答案；
(3)见答案．
26.【答案】解：(1)在y=−x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=3，
∴B(3,0)，C(0,3)，
把B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+2x+c得：
0=9a+6+c3=c，解得a=−1c=3，
∴二次函数的表达式为y=−x2+2x+3；
(2)如图：
在y=−x2+2x+3中，令y=0得x=3或x=−1，
∴A(−1,0)，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC，AB=4，BC=3 2，
∴∠ABC=∠MFB=∠CFE=45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E(m,−m2+2m+3)，则F(m,−m+3)，
∴EF=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m，CF= m2+m2= 2m，
①△ABC∽△CFE时，ABCF=BCEF，
∴4 2m=3 2−m2+3m，
解得m=32或m=0(舍去)，
∴EF=94，
②△ABC∽△EFC时，ABEF=BCCF，
∴4−m2+3m=3 2 2m，
解得m=0(舍去)或m=53，
∴EF=209，
综上所述，EF=94或209．
(3)连接NE，如图：
∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE=∠FCE，CF=CN，
∵EF/​/y轴，
∴∠NCE=∠CEF，
∴∠FCE=∠CEF，
∴CF=EF=CN，
由(2)知：
设E(m,−m2+2m+3)，则F(m,−m+3)，EF=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m，CF= m2+m2= 2m，
∴−m2+3m= 2m，解得m=0(舍去)或m=3− 2，
∴CN=CF= 2m=3 2−2，
∴N(0,3 2+1)．
【解析】(1)由y=−x+3得B(3,0)，C(0,3)，代入y=ax2+2x+c即得二次函数的表达式为y=−x2+2x+3；
(2)由y=−x2+2x+3得A(−1,0)，OB=OC，AB=4，BC=3 2，故∠ABC=∠MFB=∠CFE=45°，以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E(m,−m2+2m+3)，则F(m,−m+3)，EF=−m2+3m，CF= 2m，①△ABC∽△CFE时，ABCF=BCEF，可得EF=94，②△ABC∽△EFC时，ABEF=BCCF，可得EF=209；
(3)连接NE，由点N、F关于直线EC对称，可得CF=EF=CN，故−m2+3m= 2m，解得m=0(舍去)或m=3− 2，即得CN=CF= 2m=3 2−2，N(0,3 2+1)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．劳动时间分组
频数
频率
0≤t<20
2
0.1
20≤t<40
4
m
40≤t<60
6
0.3
60≤t<80
a
0.25
80≤t<100
3
0.15