59-2024年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷

这是一份59-2024年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣10B．C．D．10
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a4）3＝﹣6a12
B．a﹣2+a5＝a3
C．
D．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3
3．（3分）由7个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，下列给出的四个平面图形中不属于该几何体三视图的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为（ ）
A．13.6×108B．1.36×108C．13.6×109D．1.36×109
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为S甲2＝1.5，S乙2＝2.5，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
6．（3分）如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数是（ ）
A．35°48'B．55°12′C．54°12'D．54°52'
7．（3分）实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则﹣（b﹣a﹣2）的化简结果是（ ）
A．2B．2a﹣2C．2﹣2bD．﹣2
8．（3分）点P（x，y）在直线y＝﹣x+4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x﹣6y＝33的解，则点P的位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（ ）
A．8B．16C．12D．24
10．（3分）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A．60，30B．90，120C．60，90D．90，60
11．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米．
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟．
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍．
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：a+2ab+ab2＝ ．
14．（3分）如图，点A（0，﹣2），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是 ．
15．（3分）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 米．（π取3.14，计算结果精确到0.1）
16．（3分）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+3b，例如5※2＝5+3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 ．
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18．（6分）计算：﹣（﹣）﹣3+tan60°+|﹣2|+（π﹣2024）0．
19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣2）÷+3，其中x＝﹣．
20．（6分）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：≈1.7）
21．（6分）从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6．
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面明上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．
四、（本题7分）
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长．
五、（本题7分）
23．（7分）某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，若有60%的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
六、（本题8分）
24．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．⊙O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE＝∠BFD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求扇形OBD的面积．
七、（本题10分）
25．（10分）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
八、（本题13分）
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
2024年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣10B．C．D．10
【分析】根据绝对值的性质进行解题即可．
【解答】解：|﹣|＝．
故选：B．
【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a4）3＝﹣6a12
B．a﹣2+a5＝a3
C．
D．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3
【分析】A．根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
B．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
C．根据同分母的分式加减法则进行计算，然后判断即可；
D．根据多项式乘多项式法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵（﹣2a4）3＝﹣8a12，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则和多项式乘多项式法则．
3．（3分）由7个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，下列给出的四个平面图形中不属于该几何体三视图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图，再进行判断即可．
【解答】解：这个组合体的三视图如下：
故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
4．（3分）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为（ ）
A．13.6×108B．1.36×108C．13.6×109D．1.36×109
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：∵13.6亿＝1360000000，
∴13.6亿用科学记数法表示为1.36×109．
故选：D．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为S甲2＝1.5，S乙2＝2.5，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
【分析】根据随机事件、三角形内角和定理、全面调查与抽样调查、众数和中位数、方差的性质判断即可．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
C、一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是5，故本选项说法错误，不符合题意；
D、在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为S甲2＝1.5，S乙2＝2.5，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查命题与定理，掌握随机事件、全面调查与抽样调查、众数和中位数、方差的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数是（ ）
A．35°48'B．55°12′C．54°12'D．54°52'
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠C＝35.8°，再根据垂直定义可得∠BAC＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠C＝35.8°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝54.2°＝54°12′，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，度分秒的换算，垂线，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
7．（3分）实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则﹣（b﹣a﹣2）的化简结果是（ ）
A．2B．2a﹣2C．2﹣2bD．﹣2
【分析】根据数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，可得a﹣b＜0，然后根据二次根式的性质和去括号法则计算即可．
【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，
∴a﹣b＜0，
∴原式＝b﹣a﹣b+a+2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
8．（3分）点P（x，y）在直线y＝﹣x+4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x﹣6y＝33的解，则点P的位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数与方程的关系，列方程组求解．
【解答】解：解方程组得：，
∴P（6，﹣），
∴P在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与方程的关系，理解一次函数与方程组的关系是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（ ）
A．8B．16C．12D．24
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，AD平分∠BAC，可得CD＝ED，证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得S△ADE＝S△ACD＝8．由题意可得∠EAD＝∠B，则AD＝BD，即△ABD为等腰三角形，则S△ADE＝S△BDE＝8，进而可得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，AD平分∠BAC，
∴CD＝ED．
∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS），
∴S△ADE＝S△ACD＝8．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD＝BD，
即△ABD为等腰三角形，
∴S△ADE＝S△BDE＝8，
∴△ABD的面积为S△ADE+S△BDE＝16．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A．60，30B．90，120C．60，90D．90，60
【分析】设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型机器人每小时搬运化工原料的质量），再将其代入（x+30）中，即可求出A型机器人每小时搬运化工原料的质量．
【解答】解：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，
根据题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝60+30＝90，
∴A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】要求△BEF的周长，就需要知道三边长，经过观察我们会发现只有BF能求出，BE和EF的长可以是变化的，但是EF＝EC，所以BE+EF＝BE+EC＝BC＝2，进而就可以求出周长．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长是2，
∴BD＝＝2，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DC＝DF＝2，EC＝EF，
∴BF＝2﹣2，
△BEF的周长＝BF+BE+EF＝BF+BE+EC＝BF+BC＝2﹣2+2＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．（3分）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米．
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟．
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍．
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据函数的图象与坐标的关系求解．
【解答】解：（1）体育场离该同学家2.5千米，故（1）是正确的；
（2）该同学在体育场锻炼的时间为：30﹣15＝15分钟，故（2）是正确的；
（3）该同学跑步的平均速度：步行平均速度＝（65﹣30）÷15＞2，故（3）是错误的；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，
则：a÷（103﹣88）＝1.5×，
解得：a＝3.75，
故（4）是正确的；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握数形结合思想是解题的关键．
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：a+2ab+ab2＝ a（b+1）2 ．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（1+2b+b2）＝a（b+1）2，
故答案为：a（b+1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（3分）如图，点A（0，﹣2），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是 （4，﹣4） ．
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，利用点A，B的坐标表示出线段OA，OB的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段DE，AE的长，进而得到OE的长，则结论可得．
【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图，
∵点A（0，﹣2）、B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1．
∵线段AB平移得到线段DC，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BC＝AD，
∵BC＝2AB，
∴AD＝2AB，
∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠EAD．
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴△ABO∽△DAE．
∴＝＝＝，
∴DE＝2OA＝4，AE＝2OB＝2，
∴OE＝OA+AE＝4，
∴D（4，﹣4）．
故答案为：（4，﹣4）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
15．（3分）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 28.7 米．（π取3.14，计算结果精确到0.1）
【分析】利用弧长公式构建关系式，可得结论．
【解答】解：由题意﹣＝36，
∴OA﹣OC＝≈28.7（米）．
∴AC＝OA﹣OC＝28.7米．
故答案为：28.7．
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．
16．（3分）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+3b，例如5※2＝5+3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 0≤m＜ ．
【分析】根据所给定义，得出关于x的不等式，再根据此不等式只有一个正整数解，得出关于m的不等式组，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
x※m＝x+3m，
所以x+3m＜2，
解得x＜﹣3m+2．
因为此不等式有且只有一个正整数解，
所以1＜﹣3m+2≤2，
解得0≤m＜．
故答案为：0≤m＜．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 12 ．
【分析】过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，则BC＝OM＝2，OC＝MB＝6，AM＝OA﹣OM＝3，由△ADN∽△ABM得DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝4，由此得点D（4，2），则k＝8，进而得S△OCE＝×8＝4，S梯形OABC＝（BC+OA）•OC＝21，S△AOD＝OA•DN＝5，然后根据S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△AOD可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如下图所示：

∵点A（5，0），B（2，6），BC∥x轴，∠COM＝90°，
∴四边形OMBC为矩形，
∴BC＝OM＝2，OC＝MB＝6，
∴AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，
∵BD＝2AD，
∴AD：AB＝1：3，
∵BM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴BM∥DN，
∴△ADN∽△ABM，
∴DN：BM＝AN：AM＝AD：AB，
即DN：6＝AN：3＝1：3，
∴DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA﹣AN＝5﹣1＝4，
∴点D的坐标为（4，2），
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝8，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OCE＝×8＝4，
∵S梯形OABC＝（BC+OA）•OC＝×（2+5）×6＝21，S△AOD＝OA•DN＝×5×2＝5，
∴S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△AOD＝21﹣4﹣5＝12．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数比例系数的几何意义，理解反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的难点．
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18．（6分）计算：﹣（﹣）﹣3+tan60°+|﹣2|+（π﹣2024）0．
【分析】根据负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质和零指数幂的性质，进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝11．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质和零指数幂的性质．
19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣2）÷+3，其中x＝﹣．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝（+）•+3
＝•+3
＝x+3，
当x＝﹣时，原式＝﹣+3＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（6分）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：≈1.7）
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由锐角三角函数定义得AE＝DE，则BE＝AB﹣AE，再求出DF，即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，
则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB＝80米，DE＝40米，∠ADE＝90°﹣30°＝60°，∠CDF＝90°﹣45°＝45°．
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tan∠ADE＝＝tan60°＝，
∴AE＝DE＝40（米），
∴BE＝AB﹣AE＝（80﹣40）（米），
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝（80﹣40）米，
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠CDF＝∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝（80﹣40）米，
∴BC＝EF＝DE﹣DF＝40﹣80+40≈28（米）．
答：楼BC高约28米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．（6分）从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6．
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面明上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．
【分析】（1）找出五张牌中，牌面数字为4的张数，求出抽取的这张牌的牌面数字是4的概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况数，即可求出所求．
【解答】解：（1）五张牌中，牌面数字分别是4，4，5，5，6，其中牌面数字为4的张数为2，
则P（牌面数字为4）＝；
（2）列表如下：
所有等可能的情况有20种，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况有12种，
则P（抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数）＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、（本题7分）
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长．
【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）证明△ABE是等边三角形，求出AB可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠EBO，
∵O是BF的中点，
∴OB＝OF，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴OA＝OC，
∵OB＝OF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABE＝60°，
∵AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝BC，AF＝BE，
∴EC＝DF＝1，
∵DF∥EC，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴CD＝EF，
∵AB+BC+CD+AD＝22，
∴AB+BE+1+CD+AF+1＝22，
∴4AB＝20，
∴AB＝AE＝5．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
五、（本题7分）
23．（7分）某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 200 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，若有60%的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图；
（2）用360°乘“敬老服务”所占的百分比即可得出“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“文明宣传”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查的师生共有：40÷20%＝200（人），
“文明宣传”的人数为：200﹣40﹣80﹣20＝60（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：200；
（2）在扇形统计图中，“敬老服务”对应的圆心角度数为：360°×＝144°；
（3）2000×60%×＝360（名），
答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数大约为360名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
六、（本题8分）
24．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．⊙O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE＝∠BFD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求扇形OBD的面积．
【分析】（1）连接OD，则∠ODB＝∠ABC，由∠DAE＝∠BFD，∠DAB＝∠BFD，得∠DAE＝∠DAB，由AB是⊙O的直径，得∠ADC＝∠ADB＝90°，则＝cs∠DAE＝cs∠DAB＝，所以AC＝AB，则∠C＝∠ABC，所以∠ODB＝∠C，则OD∥AC，所以∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）由AC＝AB，AD⊥BC，得BD＝CD＝2，可求得∠BAD＝60°，则∠BOD＝2∠BAD＝120°，由＝＝sin60°＝，求得AB＝4，则OB＝AB＝2，即可根据扇形的面积公式求得S扇形OBD＝．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵∠DAE＝∠BFD，∠DAB＝∠BFD，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴＝cs∠DAE＝cs∠DAB＝，
∴AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝2，
∵∠ADB＝90°，∠ABD＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，
∵＝＝sinBAD＝sin60°＝，
∴AB＝4，
∴OB＝AB＝2，
∴S扇形OBD＝＝，
∴扇形OBD的面积为．
【点评】此题重点考查圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、切线的判定定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
七、（本题10分）
25．（10分）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【分析】（1）根据“甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程组求解；
（2）根据“y＝甲乙两种水果的利润和”列出函数关系式，再根据一次函数的性质求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴a＝14，b＝19；
（2）当50≤x≤80时，y＝（22﹣14）x+（25﹣19）（150﹣x）＝2x+900，
∵2＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y取最大值，为：2×80+900＝1060（元），
当80＜x≤120时，y＝（22﹣14）×80+（22﹣14﹣5）（x﹣80）+（25﹣19）（150﹣x）＝﹣3x+1300，
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y有极大值，为：﹣3×80+1300＝1060（元），
综上所述：当购进价水果80千克，乙水果70千克时，利润最大，为1060元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，找到相等关系和掌握一次函数的性质是解题的关键．
八、（本题13分）
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求直线解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将P、D坐标用m表示出来，用P的纵坐标减去D的纵坐标即可得出PD的关系式，从而求最值；
（3）由∠AOC＝90°得到△AOC是直角三角形，要使△BPD与△AOC相似，则△BPD也是直角三角形，分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛二次函数经过O（0，0），A（4，0），B（1，3），
∴将三点坐标代入解析式得，
解得：a＝﹣1，b＝4，c＝0，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；
∵直线经过A、B两点，设直线AB解析式为：y＝kx+n，
∴将A、B两点代入得，
解得：k＝﹣1，n＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）．
（2）①∵点P在直线AB上方，
∴0≤m≤4，
由题知P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PD＝yP﹣yD＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m﹣）+，
∵﹣1＜0
∴当m＝时，PD＝是最大值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称，
∴P（3，3）；
（Ⅱ）当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥PB，
∵kAC＝﹣1，
∴kBP＝1，
∴直线BP的解析式为：y＝x+2，
联立方程组得，
解得：或，
∴P（2，4）
综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/13 14:33:26；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
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水果种类
进价（元/千克）
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