专题04 二元一次方程组全章复习攻略（2个概念2个解法6个应用1个技巧4种思想专练）（人教版）（原卷版+解析版）

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专题04 二元一次方程组全章复习攻略（2个概念2个解法6个应用1个技巧4种思想专练） 2个概念【考查题型一】二元一次方程（组）二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．二元一次方程组的定义（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【例1】（2023秋•成都期末）下列是二元一次方程的是　　A． B． C． D．【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．【解答】解：选项，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，符合题意；选项，的次数是2，不符合题意；选项，不是整式方程，不符合题意；选项，不含两个未知数，不符合题意；故选：．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．【变式1-1】．（2023秋•东明县期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是　　A． B． C． D．【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．【解答】解：．含有三个未知数，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意；．符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；．第2个方程的未知数的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．．第2个方程含未知数的项的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．故选：．【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【变式1-2】．（2023春•浦江县期末）已知是关于、的二元一次方程组，求是　　A．15 B．3 C．9 D．12【分析】把已知条件中两个方程相加，求出，再把的值代入所求代数式计算即可．【解答】解：，①②得，，，．故选：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握应用加减消元法解二元一次方程组．【变式1-3】．（2023春•东丽区期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，且，满足关于，的二元一次方程．（Ⅰ）求，的坐标．（Ⅱ）若点为轴负半轴上的一个动点．如图，，当时，与的平分线交于点，求的度数．【分析】（1）根据二元一次方程的定义列式计算；（2）作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）由题意得，，，，解得，，，则点的坐标为，点的坐标为；（2）如图，作，，，，，，，，与的平分线交于点，，，，，，，．【点评】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质，掌握二元一次方程的定义、平行线的性质和正确作辅助线是解题的关键．【考查题型二】二元一次方程（组）的解二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．【例2】．（2023秋•苍梧县期末）下列哪对，的值是二元一次方程的解　　A． B． C． D．【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．【解答】解：．当，，得，那么，不是的解，故不符合题意．．当，，得，那么，不是的解，故不符合题意．．当，，得，那么，是的解，故符合题意．．当，，得，那么，不是的解，故不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．【变式2-1】．（2023秋•信宜市期末）写出二元一次方程的一组整数解 　 　．【分析】用表示出，确定出整数解即可．【解答】解：方程，解得：，当时，，则二元一次方程的一组整数解为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-2】．（2023秋•丰顺县期末）已知是方程的解，则代数式的值为 　　．【分析】把代入方程得出，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：把代入方程得：，所以．故答案为：9．【点评】本题考查了二元一次方程的解，能求出是解此题的关键．【变式2-3】．（2023秋•运城期末）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是　　A． B． C． D．【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．【解答】解：选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意；选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意；选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意；选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键．2个解法【考查题型三】二元一次方程组的解法（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．【例3】．（新罗区期末）解方程组【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．【解答】解：①②，可得，解得，把代入①，解得，原方程组的解是．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．【变式3-1】．（2023秋•叶县期末）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．【解答】解：（1），由②，可得：③，③代入①，可得：，解得，把代入③，解得，原方程组的解是．（2）原方程组可化为：，①②，可得，解得，把代入①，解得，原方程组的解是．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．【变式3-2】．（2023秋•蒙城县期末）解方程组．【分析】先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解．【解答】解：原方程组可化为：，（2）（1）得：，，把代入（1）得：．．【点评】解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方程组．【考查题型四】三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．【例4】．（2023春•南安市期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．体会思想：（1）已知二元一次方程组，则　　；（2）三元一次方程组的解是 　　．【分析】（1）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答；（2）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．【解答】解：（1），①②得：，解得：，故答案为：5；（2），①②③得：，解得：④，①④得：，②④得：，③④得：，原方程组的解为：，故答案为：．【点评】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．【变式4-1】．（2023春•唐河县期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．如①②可得：，①②可得：．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．体会思想：（1）已知二元一次方程组，则　　，　　；（2）已知方程组：，则　　；（3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 　　元．【分析】（1）利用①②，可得出的值；利用①②，可得出的值，方程两边再同时除以5，即可求出的值；（2）利用①②③，可得出的值，方程两边再同时除以2，即可求出的值；（3）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，可列出关于，，的三元一次方程组，利用①①，可得出，再将其代入中，即可求出结论．【解答】解：（1），①②得：；①②得：，．故答案为：，5；（2），①②③得：，．故答案为：6；（3）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据题意得：，①①得：，，购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．故答案为：30．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用、解三元一次方程组以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握利用“整体思想”解二元一次方程组的方法；（2）熟练掌握利用“整体思想”解三元一次方程组的方法；（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．6个应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．【考查题型五】二元一次方程的应用【例5】．（2023春•庄河市期末）如图，6块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？【分析】设长方形地砖的长为，宽为，根据图中长宽，2个长个长个宽，列出二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设长方形地砖的长为，宽为，由题意得：，解得：，答：长方形地砖的长为，宽为．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式5-1】．（2023春•会同县期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①，将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，求的值．【分析】根据每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．【解答】解：根据题意得：，解得：，．答：的值为1．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式5-2】．（2023春•滨江区期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．（1）若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？（2）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）是5的整数倍，设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是5的整数倍．【解答】解：（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据题意得：，解得：．答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个；（2）是5的整数倍，理由如下：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据题意得：，，又，均为正整数，是5的整数倍．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【考查题型六】二元一次方程组与实数的综合应用【例6】．（2023春•崆峒区期末）在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，，其中，满足关系式，求，两点的坐标．【分析】根据非负数的性质得到二元一次方程组，求出，的值，得到，两点的坐标．【解答】解：，解得：，两点的坐标分别为：，．【点评】本题考查了解二元一次方程组，解决本题的关键是根据非负数的性质得到关于，的二元一次方程组．【考查题型七】二元一次方程组与点的坐标的综合应用【例7】．（2023春•南通期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是　　A． B． C． D．【分析】本题结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看：长方形的两个宽一长；从水平方向看，两个长方形的长一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点的坐标．【解答】解：设长方形的长为，宽为，则，解得，则，；点在第二象限，，，故选：．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，体现了数形结合思想，方程建模思想，并考查了学生的计算能力，观察能力．而解出长方形的长与宽之后，学生容易忘记从代数问题回归到几何问题，考虑第二象限坐标的正负性问题，是本题的易错点．【考查题型八】二元一次方程组与几何的综合应用【例8】．（2023春•沛县期末）如图，已知边长分别为、的两个正方形，其面积之差为32．（1）根据题意，请你列出一个关于、的方程组 　 　；（2）请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组；（3）分别求两个正方形的面积．【分析】（1）根据两边之和等于16，面积之差等于32，列出方程组即可；（2）根据平方差公式，将分解因式得，再将，代入即可；（3）根据（2）直接求出，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意可知：，故答案为：．（2），又，，转化为一个二元一次方程组为：．（3），解得：，故面积为：，．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是掌握因式分解，理解题意．【变式8-1】．（2023春•农安县期末）如图，将三个相同的长方形沿着“横竖横”的顺序排列在一个边长分别为，的长方形中，则图中空白部分的面积为 　　．【分析】由图形可看出：小长方形的2个长加1个宽等于大长方形的长，设小长方形的长为，则宽为，依据小长方形的2个宽加1个长等于大长方形的宽列出方程求解，最后用大长方形的面积减去3个小长方形的面积即可得答案．【解答】解：设小长方形的长为，则宽为，依题意可得：，解得：，则，故：小长方形的长为，则宽为，则空白部分的面积为：，故答案为：．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用；解题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程．【变式8-2】．（2023春•平舆县期末）汛期即将来临，防汛指挥部在长江某一危险地带的两岸各安置了一个探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且，满足，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．（1）　　，　　．（2）若灯先转动20秒，灯才开始转动，在灯射出的光线到达之前，灯转动多长时间时，两灯射出的光线互相平行？【分析】（1）根据，联立方程组可得；（2）根据情况分别进行讨论．【解答】解：（1），，，故：，解得：．故答案为：3；1；（2）设灯转动秒时，两灯射出的光线互相平行（记灯射出的光线为，灯射出的光线为，，，，①当时，此时在右侧，则在左侧，且，即，解得，②当时，此时在右侧，则在左侧，且，即，解得，③当时，该情况不存在，④当时，在左侧，则在右侧，且，即，解得（不合题意，舍去）．综上所述，当秒或85秒时，两灯的光束互相平行．【点评】本题考查了二元一次方程组的解和平行线的判断，掌握解二元一次方程组的方法和平行线的判断方法是关键．【变式8-3】．（2023春•德清县期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到型长方形纸板和型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板，如图1所示．（单位：（1）每张原材料板材可以裁得型纸板 　　张或裁得型纸板 　　张；（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到型与型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的，型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？【分析】（1）根据题意，可得每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张；（2）设用张原材料板材裁剪型纸板，可得：，即可解得答案．【解答】解：（1）根据题意，每张原材料板材可裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板，每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张；故答案为：9，15；（2）设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板，根据题意得：，解得，，，用200张原材料板材裁剪型纸板，用60张原材料板材裁剪型纸板，能做450个纸盒．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．【变式8-4】．（2023春•赵县期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位：（1）列出方程（组，求出图甲中与的值；（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张；②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值．【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解；（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生型板材和型板材的张数；②根据竖式与横式礼品盒所需要的、两种型号板材的张数列出关于、的二元一次方程组，然后求解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，答：图甲中与的值分别为：60、40；（2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，所以两种裁法共产生型板材为（张，由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，所以两种裁法共产生型板材为（张，故答案为：64，38；②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，则型板材需要个，型板材需要个，所以，解得．【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出、的值，根据图示列出算式以及关于、的二元一次方程组．【考查题型九】二元一次方程组在古代算数中的应用【例9】．（2023春•东湖区校级期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶．根据题意，可列方程组为　　A． B． C． D．【分析】根据题意，列方程求解即可．【解答】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，根据“总共饮19瓶酒”可得：根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：综上：，故选：．【点评】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．【变式9-1】．（2023春•西丰县期末）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是　　A． B． C． D．【分析】根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组．【解答】解：由题意可得，，故选：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．【变式9-2】．（2023春•南通期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？（2）某商人准备用28两银子买牛和羊（要求既有羊又有牛，且银两须全部用完），且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．【分析】（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用28两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的2倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可．【解答】解：（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，依题意得：，解得：，答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；（2）设购买头牛，只羊，依题意得：，整理得：，、均为正整数，为2的倍数，羊的数量不少于牛数量的2倍，，或，商人有2种购买方法：①购买2头牛，11只羊；②购买4头牛，8只羊．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．【考查题型十】二元一次方程组在实际中的应用【例10】．（2023春•通道县期末）小芳家新房装修，厨房采用彩色地砖和单色地砖搭配使用，彩色地砖24元块，单色地砖12元块，购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元，求购买的彩色地砖数和单色地砖数．若设彩色地砖数是，单色地砖数是，则列的方程是　　A． B． C． D．【分析】根据“购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元”，可列出关于，的一元二次方程，以此即可选择．【解答】解：设彩色地砖数是，单色地砖数是，由题意得：．故选：．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理清题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组．【变式10-1】．（2023春•莘县期末）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示：（1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？（2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？【分析】（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，利用总价单价数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设商场是打折出售这两种商品的，利用总价单价数量，列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，依题意得：，解得：，答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元；（2）设商场是打折出售这两种商品的，依题意得：，解得：，答：商场是打7折出售这两种商品的．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．【变式10-2】．（2023春•新乡期末）随着生活水平的提高，人们越来越重视运动健身．为了满足大众需求，某体育运动品牌店铺推出了，两种运动套装，每套运动套装的成本为120元，每套运动套装的成本为100元，每套运动套装的售价比每套运动套装的售价少40元，卖3套运动套装的利润和卖4套运动套装的利润相同．（1）求每套运动套装和运动套装的售价；（2）为了吸引顾客，该体育运动品牌店铺针对这两种运动套装新推出以下两种促销方案：方案一：50元购买一张打折优惠券后（限购一张），买这两种运动套装均打七五折；方案二：每满50元立减10元．若小明准备购买1套运动套装和1套运动套装，请你算算，哪种方案更划算？【分析】（1）根据“卖3套运动套装的利润和卖4套运动套装的利润相同”列方程求解；（2）先算每种方案所需要的钱数，再比较大小．【解答】解：（1）设每套运动套装的售价为元，则每套运动套装的售价为元，由题意得：，解得：，，答：每套运动套装的售价为200元，则每套运动套装的售价为160元；（2）按照方案一：（元，按照方案二：，（元，，选择方案二更划算．【点评】本题考查了方程的应用，找到相等关系是解题的关键．【变式10-3】．（2023春•路桥区期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？（2）后来该玩具店以60元个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的捐赠给“希望工程”，求该玩具店捐赠了多少元？【分析】（1）设该玩具店购进“琮琮” 个，“莲莲” 个，利用总价单价数量，结合玩具店花费6600元购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用该玩具店捐赠钱数每个吉祥物的销售利润销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设该玩具店购进“琮琮” 个，“莲莲” 个，根据题意得：，解得：．答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个；（2）根据题意得：（元．答：该玩具店捐赠了820元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．1个技巧【考查题型十一】换元法【例11】．（2023春•樊城区期末）阅读探索．【知识累积】解方程组解：设，，原方程组可变为解方程组，得：即 解得此种解方程组的方法叫换元法．【举一反三】运用上述方法解下列方程组：【能力运用】已知关于，的方程组的解为则关于，的方程组的解能求出代数式的值为 　　．【分析】（1）根据换元法设，，进行求解计算即可；（2）根据换元法设，进行求解计算即可．【解答】解：（1）设，，原方程组可变为：解得：即解得：（2）设，可得，解得：．【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．【变式11-1】．（2024春•襄汾县月考）阅读材料，回答问题．解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法．（1）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么在关于，的二元一次方程组中，的值为 　　，的值为 　　；（2）用材料中的方法解二元一次方程组．【分析】（1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解；（2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解．【解答】解：（1）设，，原方程组可化为，的解为，，故答案为：，10；（2）设，，原方程组可化为，解得，即，解得，原方程组的解为．购买甲商品的数量购买乙商品的数量购买总费用第一次55900第二次671180第三次981064琮琮莲莲进价（元个）6070售价（元个）80100