高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用当堂检测题

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一、选择题
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝3，B＝60°，则△ABC的面积为( )
A．12 B．32 C．1 D．3
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C等于( )
A．π3 B．3π4 C．2π3 D．5π6
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－14，则bc等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
4．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是( )
A．a＝3，b＝4，A＝π6
B．a＝3，b＝4，cs B＝35
C．a＝3，b＝4，C＝π6
D．a＝3，b＝4，B＝π6
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是( )
A．a2＝b2＋c2－2bccs A
B．asin B＝bsin A
C．a＝bcs C＋ccs B
D．acs B＋bcs C＝c
二、填空题
6．在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________．
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cs B＝________．
8．在△ABC中，B＝60°，c＝2，若满足条件的三角形有两个，则b的取值范围为________．
三、解答题
9．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin ∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A．3 B．53 C．63 D．73
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为( )
A．33 B．332 C．3 D．23
12．在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为( )
A．43 B．63 C．83 D．103
13．(2023·全国甲卷) 在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝________．
14．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AB⊥AD，AC⊥CD.
(1)若sin ∠BAC＝14，求sin ∠BCA；
(2)若AD＝3AC，求AC.
15．在△ABC中，已知a+ba＝sinBsinB-sinA，且cs (A－B)＋cs C＝1－cs 2C．
(1)试确定△ABC的形状；
(2)求a+cb的取值范围．